Uma Classe de A-Loops Comutativos de Ordem p 3

dem p

3

Encerramos esse trabalho construindo um classe de A-loops comutativos finitos de ordem p3_.

Seja Q um A-loop comutativo finito de ordem ´ımpar. Consideremos (vide cap´ıtulo 3) o loop (Q, ◦) onde

x ◦ y = (x−1\xy2₎1_{2 para x, y ∈ Q.}

Sabemos que o loop (Q, ◦) ´e um loop de Bruck e al´em disso sabemos que (Q, ◦) ser´a comutativo se e somente se for isomorfo a Q.

Proposi¸c˜ao 4.4.1. Seja p um primo ´ımpar e seja Q um A-loop comutativo de ordem p, 2p, 4p, p2_{, 2p}2 _{e 4p}2_{. Ent˜ao, Q ´e um grupo abeliano.}

Demonstra¸c˜ao. Como A-loops de ordem menor que ou igual a 5 s˜ao grupos abelia- nos, se mostrarmos o resultado para A-loops de ordem p e p2_{, do Teorema da Decom-}

posi¸c˜ao obteremos os outros casos. Caso |Q| = p, temos que Q ´e o grupo c´ıclico de ordem p pois vale o Teorema de Lagrange em Q e Q associa potˆencias. Caso |Q| = p2_,

Q ´e um grupo pois Burn em Finite Bol Loops, Math. Proc. Cambriage Philos. Soc., vol 84 (1978) n.03 377 − 385 mostrou que todo loop de Bol de ordem p2 ´e um grupo. Assim (Q, ◦) ´e um grupo de ordem p2_{, portanto abeliano. Logo (Q, ◦) ´e isomorfo a}

Qe assim Q ´e um grupo abeliano.

A partir de agora, estudaremos alguns A-loops de ordem p3 _{para p um primo}

´ımpar (Tratamos de A-loops de ordem 8, no in´ıcio desse cap´ıtulo). Lema 4.4.2. N˜ao existe A-loop comutativo cujo centro tem ´ıdice p.

Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que Q seja um A-loop comutativo tal que |Q/Z(Q)| = p, para algum primo p. Ent˜ao, pelo Teorema de Lagrange e porque A-loops asso- ciam potˆencias, temos que Q/Z(Q) ´e o grupo c´ıclico de ordem p. Se xZ(Q) ∈ Q/Z(Q)\{1}, todo elemento de Q pode ser escrito da forma xiz com i = 1, .., p − 1 e z ∈ Z(Q). Suponha 0 ≤ i, j, k < p e z1, z2, z3 ∈ Z(Q), ent˜ao

(xiz1.xjz2)xkz3 = (xixj)xk.z1z2z3 = xiz1(xjz2.xkz3).

Como corol´ario desse lema temos que A-loops finitos, comutativos, n˜ao asso- ciativos e de ordem p3, tˆem centro de ordem 1 ou p. Se p for ´ımpar, o centro de Q tem ordem p.

Defini¸c˜ao 4.4.3. Seja n ≥ 1. definimos o ”overflow indicator”pela fun¸c˜ao (·, ·)n : Zn× Zn−→ {0, 1} dada por

(x, y)n=

(

1, x + y ≥ n

0, x + y < n (4.20)

Denotando por ⊕ a soma em Zn e + a em Z temos que para quaisquer x, y ∈

Zn, vale x ⊕ y = x + y − n(x, y)n e assim

(x, y)n =

x + y − (x ⊕ y)

n . (4.21)

Note que da eqau¸c˜ao 4.21 segue

(x, y)n+ (x ⊕ y, z)n= (y, z)n+ (x, y ⊕ z)n para quaisquer x, y, z ∈ Zn. (4.22)

A partir de agora, n˜_{ao vamos mais fazer diferen¸ca entre os sinais de soma de Z e Z}n.

Defini¸c˜_{ao 4.4.4. Para n ≥ 1 e a, b ∈ Z}n, defina Qa,b(Zn), em Zn× Zn× Zn por

xy = (x1+ y1+ (x2+ y2)x3y3+ a(x2, y2)n+ b(x3+ y3)n, x2+ y2, x3+ y3). (4.23)

onde x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) ∈ Qa,b(Zn).

Temos que Qa,b(Zn) ´e um loop comutativo com elemnto neutro (0, 0, 0) de

ordem n3_{, pois este pode ser visto como extens˜ao de Z}

n por Zn× Zn via o cociclo de

loops

θ((x2, x3), (y2, y3)) = (x2 + y2)x3y3+ a(x2, y2)n+ b(x3, y3)n.

Podemos escrever o cociclo θ como a soma de cociclos θ = µ + ν, onde

µ((x2, x3), (y2, y3)) = (x2 + y2)x3y3 e ν((x2, x3), (y2, y3)) = a(x2, y2)n+ b(x3, y3)n, e

O objetivo ´e estudar exemplos de A-loops comutativos de ordem p3_{, para p,}

um primo ´ımpar, dado por Qa,b(Zp). Temos em [JKV-02], a seguinte proposi¸c˜ao, que

explicita algumas identidades de Qa,b(Zp) e ser´a ´util na demonstra¸c˜ao dos pr´oximos

resultados.

Proposi¸c˜_{ao 4.4.5. Sejam n ≥ 2 e a, b ∈ Z}n. Para x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) e

z = (z1, z2, z3) ∈ Q = Qa,b(Zn), valem:

1. x\y = (y1− x1− (y3− x3)x3y2− a(x2, x2− y2)n− b(x3, y3− x3)n, y2− x2, y3− x3);

2. (xy)\x(yz) = (z1+ y3(x3z2 − x2z3), z2, z3);

3. Q ´e um A-loop n˜ao associativo, comutativo de ordem n3_;

4. Nλ(Q) = Z(Q) = Zn× 0 × 0 e Nµ(Q) = Zn× Zn× 0, como subconjuntos de Q; 5. Q/Z(Q) ' I(Q) e I(Q) = {L(v,v): u, v ∈ Q}; 6. Para todo m ≥ 0, xm =mx1+ 2 m + 1 3  x2x23+ at2+ bt3, mx2, mx3  , onde ti =Pm−1_k=1(xi, kxi)n.

As somas s˜ao consideradas vazias e o coeficiente binomial nulo se m < 2. Lema 4.4.6. Sejam p um n´_{umero primo a, b ∈ Z}p e Q = Qa,b(Zp). Ent˜ao:

1. se (a, b) = (0, 0) e p 6= 3, ent˜ao Q tem expoente p; 2. (a, b) 6= (0, 0) ou p = 3, ent˜ao Q tem expoente p2_;

3. Se a = 0 ent˜ao Nµ(Q) ' Zp × Zp;

Demonstra¸c˜ao. Como |Q| = p3 _{todo elemento de Q tˆem ordem potˆencia de p, ent˜ao}

expoente de Q ´e p, p2 ou p3. Visto que Q n˜ao ´e associativo, ent˜ao Q n˜ao pode ter expoente p3, pois caso contr´ario, Q seria o grupo c´ıclico de ordem p3.

1. Assuma a = b = 0. Pela proposi¸c˜ao 4.4.5 temos que

(x1, x2, x3)p = (2 p+1₃
x2x32, 0, 0). Mas o inteiro 2 p+1₃
´e divis´ıvel por p se e

somente se p 6= 3. Assim, Q tem expoente 2.

2. ´E suficinte mostrar que Q tem expoente p2 _{se (a, b) 6= (0, 0). Primeiro, assuma}

a 6= 0. Ent˜ao (0, 1, 0)p _{= (a, 0, 0) 6= 0 pois} Pp−1

k=1(1, k)p = 1. Da mesma forma

se b 6= 0, ent˜ao (0, 0, 1)p = (b, 0, 0) 6= 0 e isso mostra que Q n˜ao pode ter expoente p.

3. Se a = 0, temos (x1, x2, 0)p = (0, 0, 0) 6= 0, o que mostra que Nµ(Q) ' Zp× Zp.

4. Se a 6= 0, temos que (0, 1, 0)p _{= (a, 0, 0) 6= 0, ou seja N}

µ(Q) ´e um grupo abeliano

em um loop de expoente p2_{, com um elemento n˜ao nulo que n˜ao possui ordem}

p. Logo, Nµ(Q) ' Z2.

No pr´oximo lema, mostraremos que uma condi¸c˜ao suficiente para a1, a2 ∈ Zp,

onde p ´e ´ımpar, para que os loops Qa1,0 e Qa2,0 sejam isomorfos. Na verdade ´e sufi-

ciente que a1a−12 seja um res´ıduo quadr´atico de p. Usando os s´ımbolos de Legendre,

basta que a1 e a2 sejam, simultaneamente res´ıduos quadr´aticos de p ou simultanea-

mente res´ıduos n˜ao quadr´_{aticos. Lembrando que a ∈ Z}p ´e um res´ıduo quadr´atico de

p se a equa¸c˜ao x2 _{≡ a(modp) tem solu¸c˜ao.}

Lema 4.4.7. Sejam p um primo ´ımpar e a1, a2 ∈ Z∗p. Se a1 e a2 s˜ao ambos res´ıduos

quadr´aticos ou ambos res´ıduos n˜ao quad´aticos, ent˜ao Qa1,0 ' Qa2,0.

Demonstra¸c˜ao. Sendo a1a−12 res´ıduo quadr´atico de p, existe u ∈ Z∗p tal que a2 =

a1u2. Definindo ϕ : Qa1,0 −→ Qa2,0 por ϕ(x1, x2, x3) = (u

2_x

1, x2, ux3). Desde que

que

ϕ((x1, x2, x3)(y1, y2, y3)) = ϕ(x1+ y1+ (x2+ y2)x3y3+ a1(x2, y2)p, x2+ y2, x3+ y3) =

= (u2(x1+ y1) + u2(x2+ y2)x3y3+ a1u2(x2, y2)p, x2+ y2, u(x3+ y3)).

Por outro lado,

ϕ(x1, x2, x3)ϕ(y1, y2, y3) = (u2x1, x2, ux3)(u2y1, y2, uy3) =

= (u2(x1+ y1) + u2(x2 + y2)x3y3+ a2(x2, y2)p, x2+ y2, u(x3+ y3)).

Donde segue que ϕ ´e um homomorfismo.

Apresentamos aqui uma forma de construir A-loops comutativos de ordem p3. Jedlicka, Kinyon, Vojtechovsky cojecturam em [JKV-02], uma ”vers˜ao dual”para o lema 4.4.7 que diz que, se p > 3, a1 ∈ Z∗p for res´ıduo quadr´atico de p e a2 ∈ Z∗p n˜ao o

Cap´ıtulo 5

Apˆendice: A-Loops Comutativos

Nilpotentes de Grau 2

Grichkov e Vojtechovsky est˜ao estudando A-loops comutativos nilpotentes de grau 2. Tais loops tˆem a propriedade de qualquer associador se um elemento central. Em outras palavras o A-loop comutativo L ´e tal que

A(L) = {(x, y, z) : x, y, z ∈ L} ⊂ Z(L),

onde (x, y, z) ´e o ´unico elemento de L que satisfaz a equa¸c˜ao (xy)z = [x(yz)](x, y, z). Um dos principais objetivos do estudo deles ´e demonstrar o seguinte teorema: Teorema 5.0.8. Sejam X = {x1, x2, ...} um conjunto enumer´avel, Y = {(xi, xj, xk) :

xi, xj, xk ∈ X, i < k} e A e B grupos abelianos livres gerados por X e Y , respectiva-

mente. Ent˜ao F = A × B admite uma estrutura de A-loop comutativo nilpotente de grau 2, tal que

Nµ(F ) = Nρ(L) = Nλ(L) = B.

Mais ainda (xi, xj, xk) = (xi, xj, xk) ∈ Y se i < k.

Nesse apˆendice, estudaremos um caso particular, onde X possui dois elemen- tos. Para simplificar a nota¸c˜ao, vamos escrever xy.z para indicar (xy)z. Seja L um

A-loop comutativo. Em [BP] vemos que L = G nθZ, onde Z ⊂ Z(L), L/Z = G ´e um

grupo abeliano e θ : G × G → Z ´e um cociclo de loops. Sejam g1, g2 ∈ G e k1, k2 ∈ Z.

Notemos que

(g1, k1)(g2, k2) = (g1g2, k1k2θ(g1, g2)). (5.1)

Vamos denotar por g o elemento (g, 1) ∈ L. De g1g2.g3 = (g1.g2g3)(g1, g2, g3) tiramos

que

(g1, g2, g3) = (1, θ(g1, g2)θ(g1g2, g3)θ(g2, g3)−1θ(g1, g2g3)−1),

que escreveremos apenas como

(g1, g2, g3) = θ(g1, g2)θ(g1g2, g3)θ(g2, g3)−1θ(g1, g2g3)−1. (5.2)

Para g1, g2, g3, g4 ∈ G vale que

g1g2.g3g4 = g1(g2.g3g4)(g1, g2, g3g4)

= g1(g3.g2g4)(g3, g4, g2)(g1, g2, g3g4)

= (g2g4.g3)g1(g3, g4, g2)(g1, g2, g3g4)

= (g1g3.g2g4)(g2g4, g3, g1)(g3, g4, g2)(g1, g2, g3g4),

e assim, por 5.1, temos

θ(g1g2, g3g4) = θ(g1g3, g2g4)(g4g2, g3, g1)(g3, g4, g2)(g1, g2, g3g4). (5.3)

Da mesma forma obtemos

θ(g1g2, g3g4) = θ(g1g3, g2g4)(g1g3, g2, g4)(g2, g1, g3)(g4, g3, g1g2) e (5.4)

θ(g1g2, g3g4) = θ(g1g3, g2g4)(g1g3, g4, g2)(g4, g3, g1)(g2, g1, g3g4). (5.5)

Note que, para quaisquer elementos a, b, x, y no A-loop comutativo L, (ab.x)y = (ab.xy)(ab, x, y) e, visto que, R(x,y)(a)R(x,y)(b) = R(x,y)(ab), temos que (ab, x, y) =

(a, x, y)(b, x, y). Ainda

que implica que (a, x, b) = (b, x, a)−1, e tamb´em

ax.a = (a.xa)(a, x, a) = (a.xa)(a, x, a). Resumindo, para quaisquer a, b, x, y ∈ L, temos

(ab, x, y) = (a, x, y)(b, x, y), (a, x, b) = (b, x, a)−1 e (a, x, a) = 1. (5.6) Como dito antes, vamos supor

X = {x1, x2} e Y = {z1 = (x1, x1, x2), z2 = (x1, x2, x2)}.

Sejam g1 = xi1, g2 = xs2, g3 = xj1, g4 = xt1 ∈ L. Como L associa potˆencias, segue que

θ(xl

k, xmk) = 1 com k = 1, 2 e l, m ∈ Z. Das equa¸c˜oes 5.3, 5.4 e 5.5, temos que

(xs+t₂ , xj₁, xi₁)(xj₁, xt₂, xs₂)(xi₁, xs₂, xj₁xt₂) = (xi+j₁ , xs₂, xt₂)(xt₂, xj₁, xi₁xs₂)(xs₂, xi₁, xj₁) = (xi+j₁ , xt₂, xs₂)(xs₂, xi₁, xj₁xt₂)(xt₂, xj₁, xi₁) Agora, por 5.6, temos

(x1, xs2, x2)t(i+j) = (x1, xt2, x2)s(i+j),

ou seja

(x1, xs2, x2)t= (x1, xt2, x2)s. (5.7)

Fazendo t = 1 temos

(x1, xs2, x2) = (x1, x2, x2)s. (5.8)

Sejam g1, g2, g3, g4, g5, g6 ∈ G. Da equa¸c˜ao 5.2 segue que

(g1g2, g3g4, g5g6) = θ(g1g2, g3g4)θ(g3g4, g5g6)−1θ(g1g3.g2g4, g5g6)θ(g1g2, g3g5.g4g6)−1

e assim, por 5.3 e 5.6 temos

θ(g3g5, g4g6)−1(g4g6, g5, g3)−1(g5, g6, g4)−1(g3, g4, g5)−1(g3, g4, g6)−1

θ(g1g3g5, g2g4g6)(g2g4g6, g5, g1g3)(g5, g6, g2g4)(g1g3, g2g4, g5)(g1g3, g2g4, g6)

θ(g1g3g5, g2g4g6)−1(g2g4g6, g3g5, g1)−1(g3g5, g4g6, g2)−1(g1, g2, g3g5)−1(g1, g2, g4g6)−1.

Note que para (xm

1 , w1), (xl2, w2) ∈ L = G nθZ, (xm₁ , w1)(xs2, w2) = (xm1 x l 2, w1w2θ(xm1 , x l 2)).

Nessa ´ultima igualdade, fazendo w1 = w2 = 1, temos θ(xm1 , xl2) = 1.

Agora, substituindo g1 = xi1, g2 = xs2, g3 = xj1, g4 = xt1, g5 = xk1, g6 = xr2 temos

(g1g2, g3g4, g5g6) = (xi1x s 2, x j 1x t 2, x k 1x r 2) = (x s+t 2 , x j 1, x i 1)(x j 1, x t 2, x 2 2)(x i 1, x s 2, x t 2)(x t+r 2 , x k 1, x j 1) −1 (xk₁, xr₂, xt₂)−1(xj₁, xt₂, xr₂)−1(xs+r+t₂ , xk₁, x₁i+j)(xk₁, xr₂, xs+t₂ )(xi+j₁ , x₂s+t, xr₂)(xs+t+r₂ , xj+k₁ , xi₁)−1 (xj+k₁ , xt+r₂ , xs₂)−1(xi₁, xs₂, xt+r₂ )−1 = zj(ir−ks)₁ z₂t(ir−ks).

Ent˜ao, o que mostramos foi

(xi₁xs₂, xj₁xt₂, xk₁xr₂) = z₁j(ir−ks)z₂t(ir−ks). (5.9) Da equa¸c˜ao 5.3, temos

θ(xi₁xs₂, xj₁xt₂) = θ(xi+j₁ , xs+t₂ )(xs+t₂ , xj₁, xi₁)(xj₁, xt₂, xs₂)(xi₁, x₂s, xj₁)(xi₁, xs₂, xt₂), ou seja,

θ(xi₁xs₂, xj₁xt₂) = z₁−ij(s+t)zts(i+j)₂ . (5.10) Com tudo isso mostramos um caso particular do teorema 5.0.8. Para X{x1, x2}

e Y = {z1, z2} temos que F = Z × Z × Z × Z admite a seguinte estrutura de A-loop

comutativo livre, F = Z × Z nθZ × Z onde

Sejam α = (a, x), β = (b, y) e γ = (c, z) com a = (a1, a2), b = (b1, b2) e c = (c1, c2).

Temos que

(a, x)[(b, y)(c, z)] = [(a, x)(b, y)](c, z) (5.11) se e somente se

a1b1c2 = a2b1c1 e a2b2c1 = a1b2c2. (5.12)

Donde obtemos Nµ(L) = Nλ(L) = Nρ(L) = 0 × 0 × Z × Z e assim Z(L) = N (L) =

0 × 0 × Z × Z.

Al´em disso, desde que (αβ)γ = (abc, θ(ab, c)θ(a, b)xyz), α(βγ) = (abc, θ(a, bc)θ(b, c)xyz) e (α, β, γ) ´e o ´unico elemento de L tal que (αβ)γ = [α(βγ)](α, β, γ) temos

(α, β, γ) = (0, θ(ab, c)θ(a, b)θ(a, bc)−1θ(b, c)−1), (5.13) e, portanto, o associador (F, F, F) est´_{a contido em 0 × 0 × Z × Z. Segue da defini¸c˜ao} do cociclo θ que 0 × 0 × Z × Z ⊂ (F, F, F). Logo (F, F, F) = 0 × 0 × Z × Z.

Referˆencias Bibliogr´aficas

[GJM] GOODAIRE, E.G., JESPERS, E., MILIES, C.P., Alternative loop Rings, Mathematics Studies, 184, North Holland.

[Br] BRUCK, R. H., Contribuctions to the Theory of Loops, Transactions of American Mathematical Society, Vol. 60, No. 02, 1946, pp.245-354. [BP] BRUCK, R. H., PAIGE, L. J., Loops Whose Inner Mappings Are Auto-

morphisms, Annals of Mathematics, vol. 63, No. 2, 1956, pp.308-323. [Gl-01] GLAUBERMAN, G., On Loops of Odd Oreder, Journal of Algebra, vol.

1, 1964 pp.374-396.

[Gl-02] GLAUBERMAN, G., On Loops of Odd Oreder II, Journal of Algebra, vol. 8, 1968 pp.393-414.

[JKV-01] JEDLICKA, P., KINYON, M., VOJTECHOVSKY, P. The Structure of Commutative Automorphic Loops to appear in Transactions of American Mathematical Society.

[JKV-02] JEDLICKA, P., KINYON, M., VOJTECHOVSKY, P. Constructions of Commutative Automorphic Loops to appear in Communications in Al- gebra.

No documento Estrutura e exemplos de A-Loops comutativos finitos (páginas 109-121)