Uma palavra sobre terminação

Não precisamos de descrever um processo para a eliminação de corte e mostrar a sua terminação, visto que só estamos interessados nas transformações. Na secção 6.1 utilizaremos estas transformações para definir uma relação de equivalência.

É fácil ver que todas as regras descritas acima, com a importante exceção do casoR!vsCtr(Pág. 24) , reduzem o peso da fórmula de corte ou reduzem a altura do corte sem aumentar o peso da fórmula de corte e portanto o típico argumento indutivo para a eliminação do corte funciona em todos esses casos.

Capítulo 3

Introdução à Teoria das Categorias

Categorias, functores, transformações naturais e limites surgiram simultaneamente num artigo por Saunders MacLane e Samuel Eilenberg [ME45] em 1945 com o objetivo de exprimir a naturalidade de certas construções na topologia algébrica. Apesar destes conceitos originalmente serem vistos como pouco mais do que uma linguagem conveniente, foram utilizados em (essencialmente) todos os ramos da matemática, levando em muitos casos a um entendimento mais profundo.

A ideia fundamental por trás da teoria das categoria é que as relações (morfismos) entre objetos são tão importante quanto os próprios objetos. Isto motiva a definição de categoria como uma entidade matemática constituída por duas classes: uma classe de objetos e uma classe de morfismos entre os objetos. A categoria deve ainda estar munida de uma regra de composição de morfismos associativa e uma certo morfismo identidade para cada objeto, que se deve comportar da forma esperada.

Vamos apenas introduzir os conceitos categóricos necessários para a semântica categorial que definiremos mais à frente. Para uma exposição mais completa da teoria das categorias sugerimos os clássicos [Bor94a], [Bor94b] e [Lan98].

3.1 Categorias

Definição 26 (Grafo). Um grafo é um par de classes: uma classe de arestas e uma classe de vértices munido de duas funções:

dom :{classe das arestas} → {classe dos vértices} e

cod :{classe das arestas} → {classe dos vértices}.

EscrevemosA→ Bf ouf : A→ Bsef for uma aresta, dom(f ) = Ae cod(f ) = B.

Definição 27 (Categoria). Uma categoriaCé um grafo, cujos vértices são chamadosobjetos e cujas

arestas são chamadasmorfismos, munido de:

• um morfismoidentidade para cada objetoA A−→ A1A

• uma operação binária parcialmente definida sobre os morfismos, chamadacomposição:

A−→ Bf B −→ Cg A−→ Cgf

(definida apenas quando dom(g) =cod(f ))que satisfaz as seguintes equações: – f 1A= f = 1Bf,ondeA

f −→ B,

– h(gf ) = (hg)f,ondeA−→ Bf −→ Cg −→ D.h

Escrevemos Ob(C)e Mor(C) para designar a classe dos objetos de C e a classe dos morfismos de C,res- petivamente. Vamos denotar a classe dos morfismos A → B na categoria C por C(A, B), para quaisquer A, B ∈Ob(C).

Uma categoria épequena se a classe dos seus objetos for um conjunto. Uma categoria é grande se a classe dos seus objetos for uma classe própria. Uma categoria é localmente pequena se a classeC(A, B) for um conjunto para quaisquer objetosAeB.

Muitas estruturas matemáticas podem ser vistas como categorias. Vejamos alguns exemplos.

Set: Esta categoria tem todos os conjuntos como objetos e todas as funções como morfismos. Os morfismos identidade e a composição de morfismos são definidos da forma usual.

Graph: Esta categoria tem como objetos os grafos e como morfismosG1 → G2 os pares(Fver, Far)onde

Fver:{classe dos vértices deG1} → {classe dos vértices deG2}

e

Far :{classe das arestas deG1} → {classe das arestas deG2}

de forma a que seA−→ Bf for uma aresta emG1 então

FverA

Far(f )

−→ FverB

também é uma aresta emG2. Os morfismos identidade e a composição de morfismos são definidos da

forma usual.

Rel: Esta categoria tem os mesmos objetos queSetmas os morfismosR : A → B são as relaçõesR ⊆ A× B.A composição é dada peloproduto relacional: seA−→ BR −→ CS então

SR : A → C = {(a, c) ∈ A × C | ∃b ∈ Btal que(a, b)∈ Re(b, c)∈ S}.

3.1. CATEGORIAS 33 Vec_K: Nesta categoria os objetos são os espaços vetoriais sobre o corpoKe os morfismos são as aplicações lineares.

Os morfismos identidade e a composição são definidos da forma usual.

Top: Aqui os objetos são os espaços topológicos e os morfismos são as funções contínuas. As identidades e a composição são definidas da forma usual.

Man: Aqui os objetos são as variedades diferenciáveis e os morfismos são as aplicações diferenciáveis. As identida- des e a composição são definidas da forma usual.

Todos os exemplos acima são categorias grandes. Deixamos ainda alguns exemplos de categorias pequenas que serão úteis na construção de exemplos para conceitos que introduziremos no futuro.

{∗}: A categoria apenas com um único objeto e um único morfismo.

Pré-ordens: Dada uma pré-ordemP = (P, ≤),(ou seja, ≤é uma relação reflexiva e transitiva sobre P) podemos considerá-la como uma categoria cujos objetos são os elementos deP e cada classeP(A, B)é singular sea ≤ be vazia sea ̸≤ b. O morfismo identidade idAé o único elemento deP(A, A), que existe pela reflexividade da relação≤. Dados dois morfismos pertencentes aP(A, B)eP(B, C),respetivamente, a sua composição é o único morfismo deP(A, C),que existe pela transitividade da relação≤.

Monóides: Dado um monóideMpodemos construir a seguinte categoriaCMcomo se segue: A categoria tem um único objeto∗.Definimos C_M(∗, ∗) = M. A composição é simplesmente a operação do monóide. Por outro lado, qualquer categoriaC com apenas um objeto∗, corresponde a um monóide: C(∗, ∗),onde a operação é dada pela composição de morfismos.

Dada uma categoria existem vários processos para construirmos novas categorias. Vejamos uns exemplos ele- mentares.

Definição 28 (Categoria Dual). SejaC uma categoria. A categoriadual deC,Cop_{,é definida como se}

segue:

• Cop_{tem os mesmos objetos queC.}

• os morfismos deCop_{são os morfismosf}op_{que são obtidos invertendo o domínio e o contradomí-}

nio de cada morfismof deC.Por outras palavras, temos uma bijeçãof 7→ fopque leva cada f : A→ B emfop: B → A.

A composiçãofopgop = (gf )opestá definida precisamente quandogf está definida emC.

É fácil ver que(Cop₎op _{= C. Também é fácil estabelecer que invertendo todos os morfismos num diagrama}

comutativo emCobtemos um diagrama comutativo emCop_.

Definição 29 (Produto de Categorias). Sejam C eD duas categorias. A categoriaproduto de C eD, C × D,é definida como se segue:

• os morfismos⟨C, D⟩ → ⟨C′, D′⟩de C × D são os pares⟨f, g⟩ ondef : C → C′ é um morfismo deC eg : D → D′ é um morfismo deD.

A composição

⟨C, D⟩−→ ⟨C⟨f,g⟩ ′_{, D}′_⟩⟨f′,g′⟩

−→ ⟨C′′_{, D}′′_⟩ é feita componente a componente, utilizando as composições emCeD

⟨f′_{, g}′_{⟩⟨f, g⟩ = ⟨f}′_{f, g}′_g⟩.