Um modelo teórico de Matemática para o Ensino do Conceito de Função
3. Uma Perspectiva para um modelo teórico de MpE de um conceito
Conforme Bernstein (2000, 2003), toda comunicação é regulada por princípios inerentes à prática pedagógica na qual ela ocorre. Prática pedagógica diz respeito, por exemplo, às relações entre professores e alunos para ensinar e aprender determinados tópicos, porém também pode referir-se às relações entre médico e paciente, pais e filhos, formador e professores (Bernstein, 2000, Morais; Neves, 2007). De maneira mais abrangente, Bernstein (2000) define “[...] prática pedagógica como um contexto social fundamental através do qual a reprodução-produção cultural tem lugar.” (p. 3). Por conseguinte, a comunicação sobre conceitos matemáticos veiculada e produzida na prática pedagógica no contexto escolar é regulada por princípios imanentes a essa prática, o que ratifica a nossa inferência, na primeira seção, de que as configurações comunicativas na realização do ensino do conceito de função são específicas.
Os princípios reguladores da comunicação das práticas pedagógicas são denominados por Bernstein (2000, 2003) de classificação e enquadramento66. O princípio de classificação cria, regula e legitima fronteiras entre sujeitos, espaços, discursos, práticas e objetos, posicionando-os em categorias, por intermédio do isolamento; assim, as categorias simbolizam essas fronteiras (Bernstein, 2000, 2003). É esse isolamento que gera espaço para uma categoria tornar-se específica (Bernstein, 2000). O princípio de
66 Esses princípios são derivados, respectivamente, da distribuição de poder e controle social, gerados pela estrutura social que caracteriza uma determinada sociedade (Morais; Neves, 2007).
classificação estabelece sinalizadores de demarcação que são as regras de reconhecimento. São essas regras que fornecem os meios para distinguir a especificidade (comunicativa) de uma categoria pela natureza dos seus textos (Bernstein, 2000, 2003). Texto, nesse estudo, é compreendido de acordo com Bernstein (2000), isto é, como qualquer ato comunicativo expresso por alguém, abrangendo textos verbais, escritos, gestuais ou espaciais. As relações entre as categorias (grau de isolamento entre elas) são caracterizadas por variação nos valores de classificação e esses valores podem variar de uma classificação mais forte (C+) a uma classificação mais fraca (C-)67. Diz-se que existe uma C+, quando as categorias estão fortemente isoladas, ou seja, as suas fronteiras são explícitas; nesse caso, as categorias são mais especializadas. Ocorre C-, quando o isolamento é reduzido (Bernstein, 2000, 2003). Por exemplo, a gradação do princípio classificatório pode ser usada para analisar as relações entre as disciplinas (Matemática, Português, Geografia, etc.) de uma determinada escola, de forma que, se há uma C+ entre as disciplinas, existe uma relação reduzida ou até mesmo ausente entre os seus respectivos textos. Assim, tal grau de classificação gera um conjunto de regras de reconhecimento que cria uma sintaxe específica para cada uma das disciplinas (Afonso; Neves, 2000; Bernstein, 2003).
O princípio de enquadramento, que é limitado pelo princípio de classificação, tange à natureza do controle sobre as regras comunicativas68, regulando e legitimando as formas de comunicação realizadas por/entre categorias de qualquer prática pedagógica (Bernstein, 2000). Analogamente ao princípio de classificação, há variação na gradação do princípio de enquadramento. Diz-se que o enquadramento é mais forte (E+) quando a categoria com maior estatuto em uma prática pedagógica tem controle sobre as regras comunicativas (Morais; Neves, 2007). E, sempre que a(s) categoria(s) com menor estatuto possui (possuem) algum controle sobre a comunicação, diz-se que há enquadramento mais fraco (E-)69 (Morais; Neves, 2007). O estatuto de uma categoria em relação a outras é determinado pelo princípio de classificação (relações de poder), que se traduz por relações hierárquicas entre essas categorias (Bernstein, 2000, 2003). De forma que, por exemplo, na relação professor-alunos, a categoria professor tem maior estatuto. O princípio de enquadramento regula as regras de realização, que fornecem critérios para selecionar e tornar públicos os textos legítimos para cada categoria, isto é, para geração do que conta como comunicação legítima e, por conseguinte, a gama de textos possíveis (Bernstein, 2003). “Distintos valores de enquadramento agem seletivamente sobre as regras de realização e, então na produção de diferentes textos” (Bernstein, 2000, p. 18).
Dessa perspectiva, uma conceptualização de MpE de um conceito (nesse estudo, do conceito de função) será estabelecida pela caracterização e demarcação das suas fronteiras e formas comunicacionais, por intermédio da explicitação das regras de reconhecimento e realização, originárias, respectivamente, dos valores de classificação e enquadramento, que operam (ou podem ser operados) nas relações pedagógicas efetivadas (ou a serem efetivadas) nos contextos educacionais. Para levar a termo tal propósito, apropriamo-nos dos conceitos de classificação, enquadramento, regras de reconhecimento e realização para caracterizar e construir categorias de formações textuais do conceito de função, produzidas e realizadas no ensino desse tema nos contextos educacionais formais.
Um conceito matemático é compreendido como um conjunto de realizações (Davis, Renert, 2014) (textos) que são associados ou podem ser associadas à palavra que o nomeia. Por conseguinte, o conceito de função é constituído de um conjunto de realizações associadas ou que podem ser associadas à palavra função. As realizações são consideradas como textos que podem tomar a forma de definições, algoritmos, metáforas, analogias, símbolos, aplicações, gestos, desenhos ou objetos concretos (Davis; Renert, 2014).
Algumas realizações do conceito de função são conhecidas na literatura, sob a denominação usualmente de representações, tais como tabela, expressão algébrica e gráfico. Optamos por usar a designação realizações, em virtude da abordagem discursiva que estamos assumindo como aporte teórico dessa investigação. Trata-se de não caracterizar um conceito de uma forma dualista, como se houvesse uma instância autônoma para o objeto matemático (no caso, função) e outra instância para suas
67 Bernstein (2000, 2003) refere-se ao princípio de classificação como forte e fraco. Optamos por usar o advérbio mais, porque pretendemos ressaltar a flutuação desse valor.
68 O enquadramento refere-se também à natureza do controle sobre as regras sociais, as quais dizem respeito às formas que as relações hierárquicas assumem na relação pedagógica (Bernstein, 2000).
69 Bernstein (2000, 2003) considera o princípio de enquadramento como forte e fraco. Nesse caso, também optamos por usar o advérbio mais, porque pretendemos ressaltar a flutuação desse valor.
representações. Com tal perspectiva, um conceito matemático é constituído pelas suas realizações, significando que somente podemos falar de um conceito em termos de suas realizações.
Fundamentados em tais pressupostos, conceptualizamos Matemática no Ensino (MnE) do Conceito de Função como o conjunto de atos comunicacionais (textos), veiculados e produzidos na dinamicidade da realização do ensino do conceito de função pelos agentes responsáveis por tal tarefa, de acordo com os princípios de classificação e enquadramento que operam nas correspondentes práticas pedagógicas nos contextos educacionais.
Com esse entendimento, Matemática para o Ensino (MpE) de um conceito é uma re-presentação da Matemática no Ensino desse conceito. Fizemos uso do vocábulo re-presentação, separando o prefixo com um hífen, porquanto objetivamos evidenciar que MpE de um conceito diz respeito a uma outra apresentação (apresentar novamente) de formas de realizar esse conceito. Por conseguinte, apesar da Matemática para o Ensino referir-se a Matemática no Ensino, esta última realiza-se tão somente na dinâmica emergente da prática pedagógica no contexto escolar.
Como exemplos de Matemática para o Ensino de um conceito, ou seja, de re-presentações de Matemática no Ensino de um conceito, podemos citar: materiais instrucionais abordando esse conceito, professores investigando e apresentando (sistematicamente ou não) propostas para o ensino desse conceito, e alunos simulando uma aula sobre o conceito em cursos de formação. Dentre essas e outras possibilidades, a que é foco nesse estudo diz respeito a uma caracterização de MpE como um modelo teórico. Trata-se de apresentá-la de forma estruturada e sistemática, identificando descritivamente suas categorias e propriedades. Portanto, um modelo teórico de MpE do Conceito de Função é caracterizado por um conjunto coerente de proposições usadas para a compreensão do que reconhecemos como o fenômeno MnE ou mesmo outros MpE – como as mencionadas acima – do Conceito de Função.
Isto posto, o propósito desse estudo é construir um modelo teórico de Matemática para o Ensino do Conceito de Função. O modelo está estruturado em categorias de realizações (panoramas (Davis; Renert, 2014)) do conceito de função, que estão erigidas em conformidade com a convergência das regras de reconhecimento e realização, geradas, respectivamente, pelos princípios de classificação e enquadramento que regulam a comunicação sobre o ensino do conceito de função efetivada (a ser efetivada) nas práticas pedagógicas no contexto escolar.
A MnE do Conceito de Função pode ser constituída por textos de diferentes fontes, após sofrerem modificações quando se tornam ativos na dinamicidade da prática pedagógica no contexto escolar, em decorrência dos princípios e regras operantes nesse contexto. Dentre tais fontes, podemos citar: pesquisas na área de Educação Matemática que investiguem o ensino e/ou aprendizagem desse conceito, livros didáticos, avaliações de larga escala, documentos oficiais e grupos de professores trabalhando conjuntamente, de forma sistemática ou não, na análise do ensino do conceito.
Segundo Davis e Renert (2014), há um expressivo corpo de pesquisas na área de Educação Matemática que investigam a variedade de realizações (denominadas geralmente de representações) no entendimento de um conceito. Em particular, conforme Dubinksy e Wilson (2013), grande parte da literatura sobre funções concentra-se em investigar o papel das suas múltiplas representações no ensino e a aprendizagem desse conceito. Deste modo, a literatura afigura-se como promissora em propiciar visibilidade a uma vasta gama de realizações do conceito de função, fornecendo, inclusive, pressupostos a priori para análise das outras fontes.
O livro didático é um dos principais norteadores da prática pedagógica no contexto escolar, em razão de ser uma ferramenta comunicacional que orienta e auxilia o professor nas tarefas de ensino, fornecendo suporte na seleção e sequenciamento do conteúdo, nas estratégias metodológicas empregadas, na atribuição de tarefas aos alunos e na organização de atividades de avaliação (Alajmi, 2012; Biehl, Bayer, 2009; Mesa, 2004; Nicol; Crespo, 2006; Reis, 2014; Shield; Dole, 2013). Segundo Mesa (2004) e Nicol e Crespo (2006), o livro didático é uma expressão do currículo pretendido (objetivos e metas para o ensino e aprendizagem de matemática, instituídos pelos órgãos normatizadores). De fato, na perspectiva bernsteiniana, o livro didático é resultado da seleção e apropriação de textos oriundos dos campos científicos e dos documentos oficiais estabelecidos pelas instituições reguladoras da educação, trazidos em relação especial um com outro, e transformados em textos com o propósito de ensino e aprendizagem. No Brasil, o livro didático é legitimado pelo sistema educacional (Granville, 2008), que, por intermédio
de um programa de avaliação do livro didático, regula, em seus textos, a expressão dos discursos dos campos científicos e dos órgãos normatizadores da educação.
Os professores desempenham papel central no processo de ensino e aprendizagem (Even; Ball, 2009; Guerrero; Ribeiro, 2014), dado que são participantes vitais na produção da comunicação matemática realizada na prática pedagógica no contexto escolar, indo além dos elementos já estruturados dos conceitos matemáticos (Davis; Renert, 2014), ou seja, não são simples “[...] agentes periféricos que passivamente transmitem os resultados estabelecidos da matemática70” (Davis; Renert, 2009, p. 41). Os professores selecionam e produzem realizações de conceitos matemáticos, culturalmente situadas, que estabelecem e condicionam o desenvolvimento de estruturas interpretativas de um conceito, em conformidade com a pertinência matemática da situação em foco (Davis; Renert, 2009, 2014), a especificidade e legitimidade do contexto escolar. Segundo Davis e Renert (2014), professores trabalhando conjuntamente geram ricas listas de realizações de um conceito, quando o examinam com vistas a situá-lo no contexto de suas experiências de ensino.
Diante de tais considerações, depreendemos que as três fontes supracitadas fornecem uma variabilidade de realizações, que trazem robustez na construção de um modelo teórico de Matemática para o Ensino do Conceito de Função que objetivamos construir. Assim, nesse estudo, usamos como fontes para construção do modelo teórico: análise de pesquisas que investigam o ensino e/ou aprendizagem desse conceito, livros didáticos e um estudo coletivo com professores analisando o ensino do conceito de função.
Os resultados da presente pesquisa apresentam uma transparência comunicativa na sistematização e apresentação da variabilidade e especificidade de formas de realizar o ensino desse conceito. Assim sendo, podem gerar insights e fornecer subsídios que contribuam para o delineamento de estratégias e recursos, por exemplo, para o ensino do conceito de função no contexto escolar, para autores de materiais didáticos na elaboração dos seus textos e para aprendizagem profissional dos professores. Além disso, o quadro analítico e metodológico desenvolvido para edificar o modelo teórico de MpE do Conceito de Função pode propiciar reflexões para pesquisas que investigam esse tema.