Unicidade

Nesta se¸c˜ao vamos obter a unicidade de medidas de m´axima entropia e prova- remos que elas est˜ao suportada num conjunto de medida total. Para conseguir esse resultado, adicionalmente `as hip´oteses anteriores assumiremos que F seja topologicamente exata(ver defini¸c˜ao 1.1.2) e deg(F ) := supx∈Xdeg(fx) < +∞.

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Teorema A2 (Unicidade). Seja F : J → J um RDS que satisfazendo (1.4), (2.2) e (2.3). Al´em disso, assumamos que F ´e topologicamente exata e deg(F ) := supx∈Xdeg(fx) < ∞. Ent˜ao a medida maximizante ´e ´unica e positiva sob con-

juntos abertos.

A prova da unicidade decorrera dos Lemas 4.0.6, 4.0.7 e 4.0.8. O seguinte Lema utilizamos a hip´otese de topologicamente exata, para mostrar que a me- dida esta suportada sob conjuntos abertos.

Lema 4.0.6. Seja ν qualquer medida maximizante, ent˜ao νxest´a suportada em

Jx, para P quase todo ponto x ∈ X.

Demonstra¸c˜ao. Vamos supor que νx(Ux) = 0, onde Ux6= φ ´e um aberto em Jx.

Usando a hip´oteses de topologicamente exata, existe Nx∈ N tal que fxNx(Ux) =

JθNx(x). Particionando Ux em subconjuntos Ux,1, ..., Ux,k tal que fxNx|Ux,j ´e injetiva para todo j = 1, ..., k. temos

νθNx(x) fxNx(Ux,j)
= Z Ux,j Jνxf Nx x dνx= 0 da aqui, νθNx_(x)(J_θNx_(x)) ≤ k X j=1 νθNx_(x) f_xNx(Ux,j)
= 0

o qual ´e uma contradi¸c˜ao.

Como consequˆencia do lema anterior temos:

Lema 4.0.7. Seja ν qualquer medida maximizante, dado δ > 0 e fx topologica-

mente exata, ent˜ao

νx(Bx(y, δ)) ≥ (pxpθ(x)· · · pθnδ (x)−1(x))−1 (4.3)

para todo y ∈ Jx, onde nδ(x) ´e definido como na Defini¸c˜ao 1.1.2.

Demonstra¸c˜ao. Seja y ∈ Jx e Bx(y, δ) ⊂ Jx. Agora, particionando Bx(y, δ) em

subconjuntos Ux,1, ..., Ux,k tal que cada fxnδ(x)|Ux,j ´e injetora para j = 1, ..., k, temos 1 = ν_θnδ (x)_(x)(fxnδ(x)(Bx(y, δ)) ≤ k X j=1 ν_θnδ (x)_(x)(fxnδ(x)(Ux,j)) ≤ pxpθ(x)· · · pθnδ (x)−1_(x)νx(Bx(y, δ)) (4.4)

Agora, seja µ1 _{e µ}2 _{duas medidas erg´odicas maximizantes. Nosso objetivo}

´e provar que essas medidas coincidem. Primeiro provaremos que µ1x e µ2x s˜ao

equivalentes.

Com efeito, fixada uma parti¸c˜ao P ≻ π−1_X (εX) tal que diam(P) < δ0 e para

cada Px ∈ Px tem interior n˜ao vazio, e a fronteira ∂P tem medida zero para

ambas µ1_{e µ}2_{. Podemos escolher δ > 0 pequeno de modo que P}

x∈ Pxcont´em

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alguma bola de raio δ.

Por outro lado, para n ∈ N tempo hiperb´olico de y ∈ Jx, existe fxn(y) ∈

Pθn_(x)∈ P_θn_(x), ent˜ao P_θn_(x)(f_xn(y)) ⊂ B(f_xn(y), δ₀), portanto f_xn|_g(P

θn(x)(fxn(y))) ´e injetiva, onde g = (fn

x)−1. Usando o Lema 4.0.5 temos

µj_θn_(x)(Pθn_(x)(f_xn(y))) = p_xp_θ(x)· · · p_θn−1_(x)µj_x(g(P_θn_(x)(f_xn(y)))); j = 1, 2. (4.5) Por acima, existe z ∈ Pθn_(x)(f_xn(y)), tal que B(z, δ) ⊂ P_θn_(x)(f_xn(y)), ent˜ao pelo Lema 4.0.7, temos que

µj_θn_(x)(B(z, δ)) ≥ (pθn_(x)p_θ(θn_(x))· · · p_θnδ (θn (x))−1_(θn_(x)))−1 e µj_θn_(x)(Pθn_(x)(f_xn(y))) ≥ (p_θn_(x)p_θ(θn_(x))· · · p_θnδ (θn (x))−1_(θn_(x)))−1≥ (degF )−n ∗ δ. por (4.5) (degF )−n∗δ ≤ p xpθ(x)· · · pθn−1_(x)µ_xj(g(P_θn_(x)(f_xn(y)))) ≤ (degF )n ∗ δ; j = 1, 2. (4.6) Antes de provar a unicidade, enunciaremos o seguinte Lema que nos permitir aproximar a medida de um conjunto mensur´avel sobre uma fibra, atrav´es dos ramos inversos dos tempos hiperb´olicos da parti¸c˜ao P dada acima. Denotamos por Q a fam´ılia de todas as imagens g(Pθn_(x)), para n ∈ N tal que n ´e tempo hiperb´olico para algum y ∈ Jx.

Lema 4.0.8. Dado qualquer conjunto mensur´avel E ⊂ Jx e ε > 0, existe uma

fam´ılia ξ de elementos disjuntos dois a dois de Q tal que µjx E \ [ ξ g(P )
= 0 e µjx [ ξ g(P ) \ E
≤ ε, j = 1, 2.

Demonstra¸c˜ao. Por Lema 3.2.1, todos os expoentes de Lyapunov de µj _s˜ao

maiores que α(F ). Por Lema 2.0.4, existe N ≥ 1 e λ > 0 tal que µj_{− q.t.p. tem}

densidade > 2λ de tempos hiperb´olicos.

Seja U1⊂ Jxaberto e K1⊂ Jxum compacto tal que K1⊂ E ⊂ U1 e µjx(U1\

E) ≤ ε e µj

x(K1) ≥ 1₂µjx(E) para j = 1, 2. Usando Lema 2.0.5, com A = K1 e

νx= µjx/µjx(K1), podemos encontrar n1≥ 1 tal que exp(−αn1/2) < d(K1, U1c)

e o subconjunto L1⊂ K1de pontos y ∈ Jxpara qual n1´e tempo hiperb´olico que

satisfaz µj

x(L1) ≥ λµjx(K1) ≥ (λ/2)µjx(E). Seja ξ1a fam´ılia de todos g(Pθn1(x)),

que intersectam L1, com Pθn1(x) ∈ Pθn1(x) e g o ramo inverso de fxn1. Os

elementos de ξ1 s˜ao disjuntos dois a dois, pois os elementos de Pθn1(x) e g o

ramo inverso de fn1

x . Usando Lema 2.0.3 o diˆametro diam(ξ1) ≤ exp(−αn1/2).

Deste, seja E1 a uni˜ao de todos os elementos de ξ1 que est˜ao contido em U1.

Por constru¸c˜ao, temos

µjx(E1∩ E) ≥ µjx(L1) ≥ λµjx(K1) ≥ (λ/2)µjx(E).

Continuando, consideremos o conjunto aberto U2= U1\E1e K2⊂ E\E1um

conjunto compacto tal que µj

x(K2) ≥ 1₂µjx(E \E1). Observe que µjx(E1\E1) = 0,

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de fato a fronteira dos ´atomos de P tem medida zero e ´e preservada por os ramos inversos, j´a que µj_{´e invariante. Fazendo o mesmo racioc´ınio, existe n}

2> n1tal

que exp(−αn2/2) < d(K2, U2c) e conjunto L2⊂ K2 tal que µjx(L2) ≥ λµjx(K2)

e n2´e tempo hiperb´olico para cada y ∈ L2. Denotamos ξ2a fam´ılia de imagens

inversa g(Pθn2(x)) que interceptam a L2, com Pθn2(x) ∈ Pθn2(x) e g o ramo

inverso de fn2

x . Como antes, os elementos de ξ2 s˜ao disjuntos dois a dois e o

diˆametro diam(ξ2) ≤ exp(−αn2/2). Isso garanta que seu uni˜ao E2esta contido

em U2. Consequentemente, os elementos da uni˜ao ξ1∪ ξ2s˜ao tamb´em disjuntos

dois a dois. Al´em disso,

µjx(E2∩ (E \ E1)) ≥ µjx(L2) ≥ λµjx(K2) ≥ (λ/2)µjx(E \ E1).

Repetindo o processo, constru´ımos uma fam´ılia de ξk, k ≥ 1 de elementos de Q

tal que seus elementos s˜ao disjuntos dois a dois e est˜ao contido em U1, e

µjx(Ek+1∩ (E \ (E1∪ · · · ∪ Ek))) ≥ (λ/2)µjx(E \ (E1∪ · · · ∪ Ek)) (4.7)

para todo k ≥ 1, onde Ei=S_ξig(P ). Assim, µjx(

S∞ k=1Ek\E) ≤ µjx(U1\E) ≤ ε e (4.7) implica que µjx(E \ ∞ [ k=1 Ek) = 0

isso completa a prova do lema, com ξ =S∞_k=1ξk.

Demonstra¸c˜ao da unicidade da medida. Combinando (4.6) com Lema 4.0.8, te- mos que, para qualquer Ex⊂ Jx,

µ1x(Ex) ≤ µ1x(U1) ≤ ε + X ξ=S∞ k=1ξk µ1x(g(Pθnk(x))) ≤ ε + X ξ=S∞ k=1ξk (deg(F ))2n∗δµ2 x(g(Pθnk(x))) ≤ ε + (deg(F ))2n∗ δµ2 x(Ex)

Pela arbitrariedade de ε > 0, temos que µ1x(Ex) ≤ (deg(F ))2n ∗ δµ2

x(Ex). De

maneira similar tem-se µ2

x(Ex) ≤ (deg(F ))2n ∗ δµ1

x(Ex) para qualquer Ex men-

sur´avel. Por Teorema de Radon Nykodym existe uma fun¸c˜ao mensur´avel essen- cialmente ´unica hx: Jx→ R tal que µ1x = hxµ2x. Al´em disso, (deg(F ))−2n

∗

δ ≤

hx ≤ (deg(F ))2n ∗

δ. Agora, seja h : J → R definida h(x, y) = h_x(y) e sabe- mos que para todo mensur´avel Ex ⊂ Jx existe E ⊂ J mensur´aveis tal que

Ex= E ∩ Jx. Ent˜ao, para todo E ⊂ J mensur´avel

µ1(E) = Z X µ1x(E ∩ Jx)dP(x) = Z X µ1x(Ex)dP(x) = Z X Z Ex hxdµ2xdP(x) = Z E h dµ2 Desde que µ1_{, µ}2_{∈ M}1

P,e(F ) s˜ao invariantes, ent˜ao

µ1= F∗µ1= (h ◦ F )F∗µ2= (h ◦ F )µ2

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Como a derivada de Radon Nykodym ´e essencialmente ´unica, temos que h = h ◦ F em µ2_{− q.t.p. Pela ergodicidade h ´e constante em quase todo ponto}

1 = µ1(J ) = h Z J dµ2= hµ2(J ) = h ent˜ao µ1_{= µ}2_{e assim µ}1 x= µ2x para todo x ∈ X.

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´_Indice

α(F ), 8 L1 J(X, C(Y )), 5 Hα(Jx), 5 πX−1(εX), 5 εX, 5 n∗ ξ, 5 conjunto separ´avel, 18 densidade positiva, 10 desigualdade Jensen, 22 entropia relativa, 15 espa¸co fun¸c˜oes H¨older, 5 estado equil´ıbrio relativo, 19 expoente Lyapunov, 7 f´ormula

Rokhlin’s aleat´oria, 18 Lema Pliss, 10 medida expansora, 10 operador transferˆencia, 5, 6 parti¸c˜ao, 14 geradora, 14 press˜ao topol´ogica relativa, 18 principio variacional aleat´orio, 18 produto exterior, 8 sistema auto-medida maximal, 6 dinˆamico aleat´orio, 4 tempo hiperb´olicos, 10 teorema Margulis-Ruelle, 16 Shannon-McMillan-Breiman, 16 topologicamente exata, 5 30

No documento Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central (páginas 32-39)