Os procedimentos realizados aqui serão sempre análogos aos realizados com espaços to- pológicos. Ou seja, vamos mostrar como uma família de funções, todas com o mesmo domínio (um conjunto sem estrutura alguma inicialmente) e com contradomínio sendo um espaço uniforme arbitrário, podem fornecer uma uniformidade para o conjunto do domínio, de forma que todas essas funções sejam agora uniformemente contínuas. Tal uniformidade será dita uniformidade diagonal fraca induzida pela família de funções2.
Assim conseguimos induzir uma uniformidade em um produto qualquer de espaços uniformes, uma vez usando a família de funções como sendo as projeções em coordenadas, como é de costume. Continuando, conseguimos uma noção de subespaço neste contexto via uniformidade fraca pela inclusão. Também veremos que se um conjunto X está munido de uma família de uniformidades diagonais, então é possível adquirir uma nova uniformidade a partir dessas, dita de supremo.
Dito isto, considere um conjunto não vazio X, uma família de espaços unifor- mes {(Xλ, Dλ); Λ} e para qualquer λ ∈ Λ uma função fλ : X −→ (Xλ, Dλ).
2
Dado λ ∈ Λ, denote a aplicação produto Fλ := fλ× fλ, a família Fλ−1(Dλ) :=
{Fλ−1(D); D ∈ Dλ} ⊂ P(X × X) e ∆λ a diagonal de Xλ.
Dito isto temos o seguinte teorema:
Teorema 6.45. Nas condições acima, a família E = [
λ∈Λ
Fλ−1(Dλ) é uma sub-base de
uniformidade diagonal em X. Mais ainda, esta uniformidade é a menos fina (menor por inclusão) onde todas as funções fλ são uniformemente contínuas.
Demonstração. Vamos usar a Proposição 6.13. Por construção E 6= ∅. Vamos verificar as propriedades de uniformidade. Para isso tome um elemento arbitrário E ∈ E , com E = Fλ−1(Dλ) e Dλ ∈ Dλ. Começamos por (D1). Veja que ∆ ⊂ Fλ−1(∆λ) e por
hipótese ∆λ ⊂ Dλ, assim conseguimos ∆ ⊂ Fλ−1(∆λ) ⊂ Fλ−1(Dλ), portanto ∆ ⊂ E.
Para provarmos (D2) e (D3) usaremos duas simples relações envolvendo imagem inversa de função produto, as quais também serão úteis em resultados posteriores.
Afirmação: Para qualquer função f : X → Y e quaisquer A e B em Y × Y , ao denotar F = f × f, são válidos os seguintes itens:
(a) F−1(A) ◦ F−1(B) ⊂ F−1(A ◦ B);
(b) (F−1(A))−1 = F−1(A−1).
Vejamos o item (a). De fato, se (a, b) ∈ F−1(A) ◦ F−1(B), então existe
x ∈ X de forma que (f (a), f (x)) ∈ A e (f (x), f (b)) ∈ B. Logo (f (a), f (b)) ∈ A ◦ B e, por isso, (a, b) ∈ F−1(A ◦ B), como queríamos (veja que a igualdade valeria se f fosse
sobrejetora). Agora (b). Com efeito, (a, b) ∈ (F−1(A))−1se, e somente se, (b, a) ∈ F−1(A)
se, e somente se, (f(b), f(a)) ∈ A se, e somente se, (f(a), f(b)) ∈ A−1 se, e somente se,
(a, b) ∈ F−1(A−1), como desejado.
Prosseguindo com nossos objetivos, queremos comprovar (D2). Dado F−1(D
λ) ∈ E , por hipótese existe Bλ ∈ Dλ tal que Bλ[2] ⊂ Dλ. Pelo item (a), podemos
dizer imediatamente que (F−1
λ (Bλ) )[2] ⊂ Fλ−1(B [2]
λ ) ⊂ F−1(Dλ) e, como Fλ−1(Bλ) ∈ E , te-
mos o desejado. Por fim mostremos (D3). Da mesma forma, ao considerar F−1(D
λ) ∈ E ,
(Fλ−1(Cλ) )−1 = Fλ−1(C −1
λ ) ⊂ F−1(Dλ) e já que Fλ−1(Cλ) ∈ E temos a sub-base dese-
jada.
Mostremos que, dado λ ∈ Λ, fλ é uniformemente contínua. De fato, conside-
rando B a família de interseções finitas de elementos de E (a qual já sabemos ser base de uniformidade diagonal em X), dado qualquer D ∈ Dλ ocorre Fλ−1(D) ∈ B, o que é
suficiente para termos a continuidade uniforme requerida.
Denotando por D a uniformidade gerada por E , vejamos a minimalidade reque- rida. Se tivermos outra uniformidade D′ em X de modo que todas as f
λ sejam uniforme-
mente contínuas, então para todo λ ∈ Λ dado qualquer Dλ ∈ Dλ teremos Fλ−1(Dλ) ∈ D′.
Deste modo, E ⊂ D′ e por isso D ⊂ D′, como esperado.
Definição 6.46. A uniformidade gerada por E no teorema anterior é dita uniformidade diagonal fraca em X induzida pela família de funções {fλ; λ ∈ Λ}.
Se pensarmos na topologia associada, como dissemos, o resultado é realmente como esperado de sua nomenclatura.
Proposição 6.47. A topologia uniforme τD em X induzida pela uniformidade diagonal
fraca em X mediante às funções fλ : X −→ (Xλ, Dλ) coincide com a topologia fraca τ
induzida pelas “mesmas” funções fλ : X −→ (Xλ, τDλ).
Demonstração. De fato, para ver isso, vamos observar o que acontece numa vizinhança básica de um ponto x ∈ X, digamos D[x], onde D = \
i=1,··· ,n
Fλ−1i (Dλi). Veja que
Fλ−1(Dλ)[x] = {y; (x, y) ∈ Fλ−1(Dλ)} = {y; (fλ(x), fλ(y)) ∈ Dλ} = fλ−1(Dλ[fλ(x)]),
logo D[x] = ( \ i=1,··· ,n Fλ−1i (Dλi) )[x] = \ i=1,··· ,n (Fλ−1i (Dλi)[x]) = \ i=1,··· ,n fλ−1i (Dλi[fλi(x)]). Isso
permite concluir a igualdade entre as topologias.
De fato, um τ−aberto contendo qualquer x precisa conter um conjunto da
forma D = \
i=1,··· ,n
fλ−1i (Dλi[fλi(x)]) devido à definição das topologias τDλ. Assim esse
τ −aberto conterá o D[x] acima e por isso ele é τD−aberto. Reciprocamente, um τD−aberto
contendo um ponto x precisa conter algum D[x], como no começo da demonstração, mas ao passar interior segundo τ (topologia fraca) na igualdade acima teremos D[x] ⊃ D[x]◦ =
( \ i=1,··· ,n fλ−1i (Dλi[fλi(x)]) ) ◦ ⊃ \ i=1,··· ,n fλ−1i ( (Dλi[fλi(x)]) ◦ ) ∋ x, ou seja, o τ D−aberto con-
terá um aberto básico de τ em cada um dos seus pontos, logo ele é aberto de τ. Agora damos uma caracterização de uniformidade fraca a qual usaremos no próximo tipo de construção de uniformidade diagonal, a dita uniformidade diagonal forte (final).
Teorema 6.48 (Caracterização de uniformidade fraca). Sejam {(Xλ, Dλ); λ ∈ Λ} uma
família de espaços uniformes, X um espaço D−uniforme e para todo λ ∈ Λ considere uma função fλ : X −→ (Xλ, Dλ). Então são equivalentes:
(i) D é a uniformidade diagonal fraca em X induzida por {fλ; λ ∈ Λ};
(ii) Para todo espaço uniforme (Y, DY) e qualquer função g : (Y, DY) −→ (X, D), vale
que: g é uniformemente contínua se, e somente se, para todo λ ∈ Λ ocorre que fλ◦ g : (Y, DY) −→ (X, Dλ) é uniformemente contínua.
Demonstração. Vejamos a implicação “(i) ⇒ (ii)”. Nesse caso temos uma equivalência para ser demonstrada. A necessidade segue imediatamente pela Proposição 6.43. Veja- mos a suficiência. Queremos mostrar que g é uniformemente contínua. Tome D ∈ D, precisamos de algum E ∈ DY com (g × g)(E) ⊂ D. Pela construção de uniformidade
fraca, existem Eλi ∈ Dλi com i = 1, · · · , n de forma que
\
i=1,··· ,n
Fλ−1i (Eλi) ⊂ D. De-
notando Gλ = (fλ ◦ g) × (fλ ◦ g), pela continuidade uniforme da hipótese de (ii) te-
remos que para todo λ ∈ {λ1, · · · , λn} existe Aλ ∈ DY tal que Gλ(Aλ) ⊂ Eλ. Essa
última inclusão implica (g × g)(Aλ) ⊂ Fλ−1(Eλ). Tome
\ i=1,··· ,n Aλi = E ∈ DY e terá que (g × g)(E) ⊂ \ i=1,··· ,n Fλ−1i (Eλi) ⊂ D, como queríamos.
Agora nos dedicamos à recíproca “(ii) ⇒ (i)”. Denote por D∗ a uniformidade
diagonal fraca induzida por {fλ; λ ∈ Λ}. Veja que por hipótese D satisfaz a condi-
ção (ii) e como já mostramos “(i) ⇒ (ii)” podemos assumir que D∗ também satisfaz
(ii). Queremos D = D∗. Para mostrar D ⊂ D∗ tome (Y, D
Y) = (X, D∗) e veja que
g = IdX : (X, D∗) −→ (X, D∗) é uniformemente contínua. Usando a necessidade de (ii)
em D∗, podemos dizer que para todo λ ∈ Λ temos f
é uniformemente contínua. Assim, se considerarmos IdX : (X, D∗) −→ (X, D), po-
demos dizer que para todo λ ∈ Λ ocorre que fλ ◦ IdX = fλ : (X, D∗) −→ (Xλ, Dλ)
é uniformemente contínua. Usando a suficiência de (ii) em D podemos afirmar que IdX : (X, D∗) −→ (X, D) é uniformemente contínua. A inclusão procurada segue agora
pela Observação 6.41. Para mostrar que D∗ ⊂ D, basta proceder de maneira análoga a
anterior começando o argumento com g = IdX : (X, D) −→ (X, D).
Temos duas aplicações interessantes para a uniformidade fraca, seguindo o roteiro no trabalho de Roelcke e Dierolf [15].
Uniformidade induzida em subespaço: Serve basicamente para induzir uniformida- des em subconjuntos de um espaço uniforme. O procedimento é simplesmente o seguinte: Seja (X, D) um espaço uniforme e Y ⊂ X. Então ao considerar a função inclusão i : Y −→ (X, D) temos condições de imediatamente colocar a uniformidade diagonal fraca em Y através da família {i} (unitária) de funções. Tal uniformidade é dita uniformidade diagonal do subespaço induzida por D em Y (ou uniformidade diagonal D restrita a Y ).
Os elementos dessa uniformidade tem como base a família D|Y = {D ∩ (Y × Y ); D ∈ D}.
Usualmente, chamam-se os conjuntos D ∩ (Y × Y ) de traço de D em Y . Uma aplicação útil desta abordagem pode ser feita ao considerar funções uni- formemente contínuas.
Proposição 6.49. Se temos uma função f : (X, DX) → (Y, DY) uniformemente con-
tínua e subconjuntos A ⊂ X, B ⊂ Y , então ao considerar as uniformidades induzidas ainda teremos continuidade uniforme, ou seja, g = “f |(A∧B)” : (A, DX|A) → (B, DY|B) é
uniformemente contínua.
Demonstração. De fato, ao considerar qualquer traço D ∩ (B × B) ∈ DY|B, teremos
F−1(D) ∩ (A × A). Como f é uniformemente contínua segue F−1(D) ∈ D
X. Logo,
teremos E sendo traço de F−1(D) em A, ou seja, E ∈ D
X|A, como desejado.
Supremo de Uniformidades: A partir de uma família de uniformidades em um con- junto, podemos enfim resolver o problema de encontrar a (vale unicidade) uniformidade mais fina do que todas as uniformidades da família que seja a menos fina com essa pro- priedade, já que a união não nos serviu para esse fim (conforme no Exemplo 6.20).
A ideia é muito simples, supondo uma família de uniformidades diagonais F = {Dλ; λ ∈ Λ} em um mesmo conjunto X basta considerarmos as funções identidades Idλ : X −→ (X, Dλ) e construir, a partir de todas elas, a uniformidade fraca em X. Tal
uniformidade satisfaz o fato dela ser mais fina do que qualquer uniformidade em F (pois teremos todas as funções gλ = IdX : (X, D) −→ (X, Dλ) sendo uniformemente contínuas)
e a menos fina com essa propriedade, pois é assim que uniformidades fracas se comportam, como visto no Teorema6.45.
Essa uniformidade será denotada por _
λ∈Λ
Dλ e dita o supremo3 das uniformi-
dades em F .
Devemos salientar aqui que essa uniformidade é descrita exatamente pela uni- formidade que possui como sub-base a família dada pela união de todas as uniformidades Dλ. Nesse caso, apesar de podermos argumentar diretamente sobre essa uniformidade supremo (sem exigir a família de identidades) conseguimos uma interessante aplicação de uniformidade fraca.
Uniformidade Produto
Uma terceira aplicação é o caso particular envolvendo o cartesiano arbitrário de espa- ços uniformes. Aqui a ideia é induzir a uniformidade diagonal fraca pelas projeções em coordenadas. Esse tipo de espaço aparece frequentemente em exemplos e aplicações.
Dada a família {(Xλ, Dλ); λ ∈ Λ} de espaços uniformes, então temos imedia-
tamente a uniformidade fraca em Z = Qλ∈ΛXλ induzida pelas projeções πλ : Z −→ Xλ,
as quais serão, nesta uniformidade, uniformemente contínuas. A uniformidade fraca em
3
Z induzida pelas projeções é dita uniformidade diagonal produto em Z.
Além disso, devemos observar que a topologia uniforme induzida pela uni- formidade produto em Z é exatamente a topologia produto das topologias uniformes considerando cada Xλ com a topologia uniforme de Dλ, como visto na Proposição 6.47.
Restringindo nossa atenção para o caso finito Λ = {1, · · · , N} com todos os Xi
iguais e munidos de uma única uniformidade, ou seja, para todo i ∈ {1, · · · , N}, considere (Xi, Di) = (X, D). Nesse caso a uniformidade produto em Z =
QN
1 X, é gerada pela base
B = { \
i=1,··· ,N
Pi−1(Di); (∀ i) Di ∈ D}
(onde Pi = πi × πi). A diferença aqui é que a interseção está construída no conjunto de
índices inteiro e não numa subcoleção. Mas isso não é problema se escolhermos sempre que for preciso um elemento da uniformidade como sendo o espaço cartesiano todo o que não afeta em nada a interseção como está dada.
Um pouco melhor, já que estamos sobre o mesmo espaço nesse produto, seria interessante não precisar considerar elementos distintos na uniformidade do contradomí- nio. Para isso, usando a Observação6.10, conseguimos que a família
B′ = { \
i=1,··· ,N
Pi−1(D); D ∈ D} é também base para a uniformidade diagonal produto em Z = QN
1 X.
Deste modo, veja por exemplo, quando X é um espaço D−uniforme, podemos considerar a uniformidade produto em X × X cuja base de uniformidade diagonal será dada pelos conjuntos Dp ⊂ (X × X) × (X × X) tal que existe D em D de modo que
((x, y), (a, b)) ∈ Dp se, e somente se, (x, a) ∈ D e (y, b) ∈ D.
Isto motiva uma caracterização sobre continuidade uniforme de pseudométri- cas.
Proposição 6.50. Supondo que X é um espaço D−uniforme e ρ uma pseudométrica em X, então considerando a uniformidade produto em X × X e a uniformidade métrica (con- forme Proposição 6.21) em R (com métrica usual) vale que ρ é uniformemente contínua se, e somente se, para todo r > 0 ocorre que Dr
Demonstração. Vejamos a necessidade. Suponha que ρ é uniformemente contínua e tome qualquer r > 0 para mostrarmos Dr
ρ ∈ D. Pelas discussões acima, deve existir E ∈ D
de modo que se (x, a) ∈ E e (y, b) ∈ E, então |ρ(x, y) − ρ(a, b)| < r. Assim, tomando qualquer (x, a) ∈ E e considerando também o ponto (a, a) ∈ E teremos |ρ(x, a)| = |ρ(x, a) − ρ(a, a)| < r, ou seja, (x, a) ∈ Dr
ρ e com isso E ⊂ Drρ. Como D é filtro, teremos
Dr ρ∈ D.
Reciprocamente, temos que todo conjunto Dr
ρ com r > 0 está em D. Mostre-
mos que ρ é uniformemente contínua. Para isso, ao considerar qualquer ǫ > 0, devemos encontrar algum D ∈ D de forma que se {(x, a), (y, b)} ⊂ D, então |ρ(x, y) − ρ(a, b)| < ǫ. Observe inicialmente que para todo r > 0, se {(x, a), (y, b)} ⊂ Dr
ρ, então ρ(x, a) < r e
ρ(y, b) < r. Como ρ(x, y) ≤ ρ(x, a) + ρ(a, b) + ρ(b, y), segue ρ(x, y) − ρ(a, b) < 2r. Tam- bém, ρ(a, b) ≤ ρ(a, x)+ρ(x, y)+ρ(y, b) e disto segue que −(ρ(x, y)−ρ(a, b)) < 2r. Assim, |ρ(x, y) − ρ(a, b)| < 2r. Desta forma, se considerarmos D = Dǫ2
ρ, teremos o resultado.
Corolário 6.51. Supondo que X é um espaço D−uniforme, ρ uma pseudométrica uni- formemente contínua e ∅ 6= A ⊂ X, então a função
g : X −→ R
x 7→ ρ(A, x) := inf{ρ(a, x); a ∈ A} é uniformemente contínua.
Demonstração. Isso segue diretamente pelo fato de que para todo (x, y) ∈ X × X vale a
desigualdade |g(x) − g(y)| ≤ ρ(x, y).
Sobre o produto, temos também o seguinte útil resultado:
Proposição 6.52. Dadas duas famílias de espaços uniformes {(Xα, Dα); α ∈ A} e
{(Yα, Eα); α ∈ A} onde para cada α ∈ A temos uma função bijetora uniformemente
contínua fα : Xα → Yα, então podemos construir uma função f :
Y α∈A Xα → Y α∈A Yα
que também seja bijetora e uniformemente contínua com respeito às uniformidades fracas nesses produtos (respectivamente DP e EP ).
Demonstração. Denote X = Y
α∈A
Xα e Y =
Y
α∈A
Yα com respectivas projeções para cada
índice πX
para todo x ∈ X e α ∈ A a imagem da forma πY
α(f (x)) = fα(παX(x)), ou seja, de modo
que πY
α ◦ f = fα◦ παX. Assim a função está claramente bem definida, vejamos as demais
exigências.
Começamos pela injetividade. Dados x e x′ em X tais que f(x) = f(x′),
então pela definição de igualdade em Y podemos dizer que para todo α ∈ A ocorre πY
α(f (x)) = παY(f (x′)). Disto, para todo α ∈ A vale fα(παX(x)) = fα(παX(x′)). Pela
injetividade da hipótese, para todo α ∈ A, teremos πX
α(x) = πXα(x′). A definição da
igualdade em X garante então x = x′, como desejado.
Agora vamos comprovar a sobrejetividade. Dado qualquer y ∈ Y , pela sobre- jetividade da hipótese podemos dizer que para todo α ∈ A ocorre que existe um xα ∈ X
tal que fα(xα) = παY(y). Agora definindo x ∈ X de modo que para todo α ∈ A tenhamos
πX
α(x) = xα valerá que, para todo α ∈ A ocorre que παY(f (x)) = fα(παX(x)) = πYα(y), ou
seja, f(x) = y, como queríamos.
Por fim vejamos a continuidade uniforme. Denote, como sempre, F = f × f, Fα = fα × fα, PαX = παX × πXα e PαY = παY × παY. É suficiente argumentarmos na sub-
base, ou seja, basta mostrarmos que para cada Eα ∈ Eα, ao denotar E = (PαY)−1(Eα),
ocorre F−1(E) ∈ D
P. Para isso, veja que sempre vale PαY ◦ F = Fα◦ PαX. Logo F−1(E) =
(PX
α )−1(Fα−1(Eα)). Pela continuidade uniforme da hipótese, podemos dizer Fα−1(Eα) ∈ Dα
e pela definição da uniformidade produto temos F−1(E) = (PX
α )−1(Fα−1(Eα)) ∈ DP, como
precisávamos.
Como consequência imediata disto temos mostrado o seguinte:
Corolário 6.53. Os produtos X e Y acima são uniformemente isomorfos, no caso em que cada fα é um isomorfismo uniforme.
6.4 Uniformidade Diagonal Forte (Final)
A uniformidade fraca (inicial) induz uma uniformidade em domínio de funções de uma certa família. Podemos fazer um procedimento análogo à esse visando o contradomínio, assim construímos o que será chamada de uniformidade forte (final). Tal construção abre caminho para certos casos particulares notáveis para essa teoria, como o ínfimo e o
quociente apresentados nesta seção.
Teorema 6.54. Considere um conjunto não vazio X, uma família de espaços uniformes {(Xλ, Dλ); Λ} e para todo λ ∈ Λ uma função fλ : (Xλ, Dλ) −→ X. Então existe uma
uniformidade em X que é a mais fina onde todas as fλ são uniformemente contínuas.
Demonstração. Considere a família F = {D; D é uniformidade em X e (∀ λ ∈ Λ) fλ :
(Xλ, Dλ) −→ (X, D) é uniformemente contínua}. Nesse caso, a uniformidade procurada
pela proposição será dada especificamente pela uniformidade supremo dessas uniformida- des, ou seja, por DS =
_
D∈F
D. De fato, sabemos que DS é uma uniformidade fraca em X induzida pelas identidades IdX : X −→ (X, D) com D ∈ F . Mostremos que DS ∈ F .
Considerando qualquer λ ∈ Λ, queremos mostrar que fλ : (Xλ, Dλ) −→ (X, DS) é unifor-
memente contínua. Denote gD := IdX : (X, DS) −→ (X, D) para todo D ∈ F . Observe
que seja qual for D ∈ F temos fλ = gD ◦ fλ : (Xλ, Dλ) −→ (X, D) uniformemente
contínua pela construção de F . Usando a suficiência do item (ii) do Teorema 6.48 em DS, podemos realmente dizer que fλ : (Xλ, Dλ) −→ (X, DS) é uniformemente contínua, como desejado. Assim conseguimos DS ∈ F . Para ver que ela é a mais fina na família
F, observe que dada qualquer uniformidade D ∈ F , o fato de termos gD uniformemente
contínua, equivale a dizer D ⊂ DS.
Definição 6.55. A uniformidade construída anteriormente é dita uniformidade final (forte) em X induzida pela família de funções {fλ; λ ∈ Λ}.
Como prometido, veremos a seguir dois casos particulares importantes.
Uniformidade Quociente: Se consideramos uma relação de equivalência R em um espaço uniforme (X, D), então podemos munir o conjunto de classes X/R de uma uni- formidade diagonal através da projeção em classes π : X −→ X/R. Para isso, basta considerar a uniformidade final em X/R induzida por π. Essa uniformidade pode ser dita uniformidade diagonal quociente em X/R e pode-se denotá-la por D/R.
Ínfimo de Uniformidades: Dada uma família de uniformidades em um conjunto, pros- seguimos para descrever a uniformidade menos fina do que todas elas, que é a (é única)
mais fina com essa propriedade, suprindo o fato de a interseção não funcionar para esse fim (visto no Exemplo 6.19). A ideia é prosseguir exatamente como feito para o supremo de uniformidades, ou seja, dada uma família F = {Dλ; λ ∈ Λ} de uniformidades dia-
gonais em um mesmo conjunto X, vamos aplicar a uniformidade final em X através da família de identidades Idλ : (X, Dλ) −→ X. Denotando tal uniformidade final por
D := ^
λ∈Λ
Dλ
teremos que nessa uniformidade todas as funções IdX : (X, Dλ) −→ (X, D) são unifor-
memente contínuas, ou seja, onde D ⊂ Dλ, e será a mais fina com essa propriedade, pois
é assim que uniformidades finais se comportam, pelo Teorema6.54.
Reticulado: Um conjunto parcialmente ordenado4 (Z, 4) é dito um reticulado quando
quaisquer dois elementos a e b de Z possuem um supremo (denotado por a ∨ b) e um ínfimo (denotado por a ∧ b), os quais são definidos de forma exatamente análoga ao caso de números com ordem usual. Pelo que vimos até aqui, ao considerar F a família de todas as uniformidades diagonais de um mesmo conjunto X, se parcialmente ordenarmos F por refinamentos, isto é, pela relação D 4 D′ se, e só se, D ⊂ D′, então podemos dizer que (F , 4) é um reticulado, graças ao fato de que os nomes supremo e ínfimo de uniformidades obtidas anteriormente coincidem exatamente com as noções de supremo e ínfimo pela relação 4.
7
Coberturas Uniformes
Como dissemos, Weil já havia cogitado a possibilidade de avançar os estudos abordando coberturas, porém ele não estruturou a teoria, nem definiu o que seria uma uniformidade tratada sob este ponto de vista. Quem propriamente formalizou esta teoria, sob este ponto de vista, foi Tukey em sua tese [22]. Pode-se dizer que o maior benefício desse tipo de uniformidade é pelo fato de que com essa linguagem as demonstrações e a forma de trabalhar fica muito parecida com espaços métricos, onde pode-se geralmente pensar de forma intuitiva nas estrelas como sendo as bolas abertas, diferentemente da uniformidade
4
diagonal, a qual aproxima a linguagem muito mais a de grupos topológicos. Para mais uma percepção de como podemos desenvolver a teoria de uniformidades sob esta abordagem, além é claro do trabalho de Tukey, indicamos o trabalho de Isbell [9], o qual é também uma referência teórica e historicamente relevante.
Antes de prosseguirmos precisamos de um pouco de notação envolvendo co- berturas e refinamentos no conjunto não vazio X (a princípio não há necessidade de mencionarmos nenhum tipo de aberto, ou seja, não precisamos de topologia).
Notação 7.1. Dada uma cobertura U de X e um subconjunto A ⊂ X, usaremos a notação [A, U ] = {U ∈ U ; U ∩ A 6= ∅}.
Nesse caso,
Definição 7.2. Definimos e denotamos a estrela de A com respeito a U como o conjunto
St(A, U ) = [[A, U ] := [
U∈[A,U ]
U.
Observe que, ao usar a notação St({a}, U ) := St(a, U ), é fácil verificar a igualdade
St(A, U ) = [
a∈A
St(a, U ).
Na prática vamos sempre ter em mente a seguinte caracterização:
y ∈ St(x, U ) se, e só se, existe U ∈ U tal que {x, y} ⊂ U se, e só se, x ∈ St(y, U ). Agora, dadas duas coberturas U e V do conjunto X também usaremos as seguintes nomenclaturas (e notações5):
• U é refinamento de V (U 4 V ) significa que
para todo U ∈ U , existe V ∈ V , tal que U ⊂ V ;
5Tukey, em seu artigo [22], afirma que a origem, não totalmente formalizada, de todos esses tipos
de refinamentos são creditados a Urysohn em suas pesquisas sobre metrização. No entanto, um estudo sistemático e propriamente formalizado, fazendo uso inclusive das notações apresentadas acima sobre os refinamentos estrela e baricêntrico, como já dissemos, são de autoria do próprio Tukey. No que eu pude perceber, embora já existisse claramente a ideia de refinamento duplo em resultados clássicos de metrização, a notação e nomenclatura para o refinamento duplo constam primordialmente no trabalho de Patrão e San Martin [13].
• U é refinamento estrela de V (U ∗ 4 V ) expressa que para todo U ∈ U , existe V ∈ V , tal que St(U, U ) ⊂ V ; • U é refinamento baricêntrico de V (U ⊳ V ) indica que
para todo x ∈ X, existe V ∈ V , tal que St(x, U ) ⊂ V ; • U é refinamento duplo de V (U 4 1
2V)
6 diz que
para todos U e U′ em U com U ∩ U′ 6= ∅, existe V em V tal que U ∪ U′ ⊂ V .
Vê-se facilmente que estrelas se comportam bem com inclusões e refinamentos, isto é, dados A e B subconjuntos de X, U e V coberturas de X, temos:
A ⊂ B implica que St(A, U ) ⊂ St(B, U ); U 4 V implica que St(A, U ) ⊂ St(A, V ). Observação 7.3. Como é fácil de perceber, vale que
U∗ 4 V resulta em U ⊳ V o qual fornece U 4 1
2V ( que implica U 4 V ). Mas não valem nenhuma das recíprocas como mostram os exemplos simples sobre a reta R dados a seguir:
• (Duplo não implica baricêntrico e nem estrela) Tome U = {(−n, n) ⊂ R; n ∈ N}. É fácil perceber que U 4 1
2U. Mas nesse caso não ocorre U ∗ 4 U , pois claramente
para qualquer elemento Uk = (−k, k) de U tem-se St(Uk, U ) = R. Assim como
não ocorre U ⊳ U pois também é de fácil verificação que para qualquer α ∈ R temos St(α, U ) = R.
• (Baricêntrico não implica estrela) Tome U = {[n, n + 1] ⊂ R; n ∈ Z}7 e observe
que se α ∈ R temos apenas duas possibilidades St(α, U ) = [k, k + 1] ou St(α, U ) = [k, k + 1] ∪ [k + 1, k + 2] = [k, k + 2], para algum k ∈Z. Deste modo, ao considerar a cobertura V = {[n, n + 2]; n ∈ Z} temos imediatamente U ⊳ V . Agora, observe
6Uma outra opção para denotar, e lembrar da definição, esse refinamento pode ser U 2 4 V . 7
É simples verificar que não vale U 4 1
que não vale U ∗ 4 V pois para qualquer k ∈ Z considerando Uk = [k+1, k+2] ∈ U
temos St(Uk, U ) = [k, k +1]∪[k +1, k +2]∪[k +2, k +3] = [k, k +3]* [n, n+2] ∈ V
seja qual for n ∈ Z.
Deste modo pode-se dizer que o refinamento duplo é o mais geral desses refinamentos. Refinamento duplo tem várias propriedades interessantes, uma delas é a se- guinte:
Proposição 7.4. Se u0 ∈ U ∈ U 4 12W , então St(U, U ) ⊂ St(u0, W ).
Demonstração. Com efeito, tome arbitrariamente U′ ∈ [U, U ], logo U ∩ U′ 6= ∅. Como
U 4 1
2W segue que existe W ∈ W com U ∪ U
′ ⊂ W , ou seja, U′ ⊂ W e u
0 ∈ U ⊂ W .
Logo U′ ⊂ W ∈ [{u
0}, W ], ou seja, U′ ⊂ St(u0, W ), como precisávamos.
Uma certa relação de transitividade entre esses refinamentos será uma con- sequência do seguinte resultado:
Corolário 7.5. Se U 4 1
2W ⊳ V , então U ∗ 4 V .
Demonstração. Dado U ∈ U , tome qualquer u0 ∈ U . Nesse caso o resultado anterior
já garante St(U, U ) ⊂ St(u0, W ). Agora, como W ⊳ V segue que existe V ∈ V onde
St(u0, W ) ⊂ V . Deste modo St(U, U ) ⊂ St(u0, W ) ⊂ V , como buscávamos.
Por sua vez, como uma consequência imediata deste corolário temos que refi- namento baricêntrico de refinamento baricêntrico é refinamento estrela, isto porque refi- namento baricêntrico é refinamento duplo.
Corolário 7.6. Se U ⊳ W ⊳ V , então U ∗ 4 V .
Uma propriedade útil de refinamentos duplos é a seguinte:
Proposição 7.7. Dadas as coberturas U e V do conjunto X e x ∈ X, é válido que se U 4 1
2V, então St
2(x, U ) := St(St(x, U ), U ) ⊂ St(x, V ).
Demonstração. De fato, se y ∈ St2(x, U ), então existem U
1, U2 ∈ V com y ∈ U1, x ∈ U2
e U1 ∩ U2 6= ∅. Como U 4
1
2, existe V ∈ V com {x, y} ⊂ U1 ∪ U2 ⊂ V , logo y ∈
Se não dissermos o contrário, considere pelo texto que as famílias de coberturas de X citadas são não vazias. Fixados esses conceitos básicos, partimos para definir o conceito de uniformidade no contexto de coberturas.
Definição 7.8. Uma família ∅ 6= ω de coberturas de X será dita uniformidade por coberturas em X para significar que ela satisfaz as seguintes propriedades:
(C1) Para quaisquer U1 e U2 em ω, existe V ∈ ω, tal que V ∗ 4 U1 e V ∗ 4 U2
(refinamento estrela simultâneo);
(C2) Se U < U′ e U′ ∈ ω, então U ∈ ω (absorção por refinamentos).
(Os elementos de ω são chamados de coberturas uniformes).
Perceba que essa noção de uniformidade fica aparentemente muito distante da noção de grupos topológicos. Também não é evidente que ela se assemelha mais a espaços métricos nesse momento. Mas com um maior contato com a teoria nesse contexto essas relações começam a aparecer explicitamente.
Como sempre, o conceito de base é realmente útil para o transcorrer da teoria. Definição 7.9. Dada a uniformidade por coberturas ω, vamos dizer que uma subfamília ∅ 6= µ ⊂ ω é uma base de uniformidade por coberturas para ω em X significando que µ “recupera” ω por refinamentos, isto é,
ω = {U ; U cobre X e (∃ U′ ∈ µ) U′ 4 U }.
Podemos pensar em base sem a princípio mencionar a uniformidade dizendo que uma família ∅ 6= µ de coberturas de X é uma base de uniformidade por coberturas em X para significar que a família {U ; U cobre X e (∃ U′ ∈ µ) U′ 4 U } é uma
uniformidade por coberturas em X.
Na prática usamos fielmente o item (i) abaixo, cuja demonstração é elementar. Observações 7.10.
(i) ∅ 6= µ é uma base de uniformidade por coberturas em X se, e somente se, ela satisfaz