Universalidade

Uma abordagem para a defini¸c˜ao quantitativa das classes ´e considerar o grau de pre- visibilidade do resultado da evolu¸c˜ao do autˆomato celular, dado um conhecimento do estado inicial.

Para a classe 1, a previs˜ao ´e trivial: apesar do estado inicial, o sistema sempre evolui para um estado ´unico e homogˆeneo.

A classe 2 tem a caracter´ıstica de os efeitos de uma c´elula em particular propagar- se somente a uma distˆancia finita, isto ´e, somente a um n´umero finito de c´elulas vizinhas. Assim, a mudan¸ca no valor de uma c´elula inicial afeta somente uma regi˜ao finita de c´elulas ao redor dela, mesmo ap´os um n´umero infinito de passos de tempo. Este comportamento, ilustrado na figura 2.10, implica que a previs˜ao do valor de uma c´elula final requer conhecimento de somente um conjunto finito de valores iniciais da c´elula.

Ao contr´ario, mudan¸cas nos valores iniciais da c´elula em um autˆomato da classe 3 quase sempre se propagam em uma velocidade finita e, portanto, afetam c´elulas cada vez mais distantes, `a medida que o tempo passa. O valor de uma c´elula em particular, ap´os muitos passos de tempo, depende de um n´umero cada vez maior de c´elulas presentes em gera¸c˜oes anteriores na evolu¸c˜ao do autˆomato. Se o estado inicial est´a desordenado, esta dependˆencia pode acarretar a uma sucess˜ao ca´otica de valores para a c´elula. Portanto, na classe 3, a predi¸c˜ao do valor de uma c´elula em tempo infinito requer o conhecimento de um n´umero infinito de valores de c´elulas iniciais.

Autˆomatos Celulares da classe 2 podem ser considerados como filtros que selecio- nam caracter´ısticas particulares do estado inicial. Por exemplo, um autˆomato desta classe pode ser constru´ıdo de modo que as seq¨uˆencias iniciais 111 sobreviver˜ao, mas c´elulas que n˜ao formam esta seq¨uˆencia podem tender seus valores `a 0. Tais autˆoma- tos celulares s˜ao de extrema importˆancia para processamento de imagens digitais, podendo ser usados para selecionar e melhorar padr˜oes particulares de pixels.

Ap´os um tempo suficientemente longo, um autˆomato celular da classe 2 evolui para um estado constitu´ıdo de blocos de c´elulas com valor diferente de zero sepa- rados por regi˜oes com valor zero. Estes blocos consistem de repeti¸c˜oes do valor de

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uma c´elula em particular (por exemplo, 101010. . . ). Estes blocos podem n˜ao mudar durante a evolu¸c˜ao ou repetir-se ciclicamente entre alguns estados.

Enquanto um autˆomato da classe 2 evolui para estruturas persistentes em pe- quenos per´ıodos, autˆomatos da classe 3 exibem comportamento ca´otico aperi´odico. Embora ca´otico, estes padr˜oes gerados n˜ao s˜ao completamente aleat´orios, pois po- dem exibir um comportamento auto-organizado.

As configura¸c˜oes de um autˆomato celular infinito s˜ao constitu´ıdas de uma seq¨uˆencia infinita de valores de c´elulas. Esta seq¨uˆencia pode ser considerada como d´ıgitos de um n´umero real, de modo que cada configura¸c˜ao completa corresponde a um n´umero real e esta configura¸c˜ao forma um conjunto de Cantor. A figura 2.13 ilustra duas constru¸c˜oes para o conjunto de Cantor.

0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 (a) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 10 10 10 10 10 1 (b)

Figura 2.13: Constru¸c˜oes para o conjunto de Cantor

Na constru¸c˜ao (a) da figura 2.13, inicia-se com o conjunto dos n´umeros reais no intervalo de 0 a 1. Primeiro, exclui-se o ter¸co m´edio do intervalo, ent˜ao o ter¸co m´edio do intervalo resultante e assim por diante. No limite do conjunto tem-se um n´umero infinito de pontos desconectados. As posi¸c˜oes no intervalo podem ser representadas na base 3, por isso a constru¸c˜ao ret´em os pontos cujas posi¸c˜oes s˜ao representadas na base 3 que n˜ao contenham o digito 1 (ou seja, o ponto 0.2202022 est´a na constru¸c˜ao, j´a n˜ao ocorre para o ponto 0.22010220). A caracter´ıstica importante do limite deste conjunto ´e a sua auto-similaridade (na forma de fractal), ou seja, uma parte do conjunto, quando aumentada, ´e indistingu´ıvel do todo.

Na constru¸c˜ao (b), o conjunto de Cantor ´e formado a partir das folhas de uma ´arvore bin´aria infinita. Cada ponto no conjunto ´e alcan¸cado por um ´unico caminho a partir da raiz da ´arvore. Este caminho ´e especificado por uma seq¨uˆencia infinita

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de d´ıgitos bin´arios, onde os sucessivos d´ıgitos indicam que ramo tomar em cada n´ıvel da ´arvore. Cada ponto no conjunto de Cantor corresponde unicamente a uma seq¨uˆencia infinita de d´ıgitos e, portanto, a uma configura¸c˜ao de um autˆomato celu- lar infinito. A evolu¸c˜ao do autˆomato celular corresponde aos mapeamentos iterados (tamb´em chamados de fun¸c˜oes iteradas) do conjunto de Cantor a ele mesmo.

Os conjuntos de Cantor s˜ao parametrizados pelas suas dimens˜oes. Wolfram usa a seguinte defini¸c˜ao para dimens˜ao, baseada na constru¸c˜ao (a) da figura 2.13. Divide-se o intervalo de 0 a 1 em kn _{partes, cada um de largura k−n. N (n) ´e o}

n´umero destas partes que cont´em pontos no conjunto. Para n grande, este n´umero comporta-se de acordo com:

N(n) ∼ kdn _(2.2)

e d ´e definido como a dimens˜ao do conjunto de Cantor. Se o conjunto cont´em todos os pontos no intervalo 0 a 1, ent˜ao com esta defini¸c˜ao sua dimens˜ao simplesmente seria 1. De acordo com a equa¸c˜ao 2.2, a dimens˜ao do conjunto de Cantor da constru¸c˜ao (a) ´e log32 ' 0.63.

Wolfram ([39]) tamb´em mostra uma defini¸c˜ao alternativa para dimens˜ao baseada em auto-similaridade da constru¸c˜ao (a). Contrai-se o conjunto por um fator de k−m_{. Em virtude de sua auto-similaridade, o conjunto na sua totalidade ´e idˆentico}

`

a M (m) c´opias de sua c´opia contra´ıda. Para m grande, M (m) ≈ kdm_{, onde d ´e,}

como indicado anteriormente, a dimens˜ao do conjunto.

Com estas defini¸c˜oes, a dimens˜ao do conjunto de Cantor de todas as confi- gura¸c˜oes poss´ıveis para um autˆomato celular unidimensional infinito ´e 1. Um am- biente desordenado onde cada configura¸c˜ao ocorre com probabilidade igual tem dimens˜ao 1.

Como esperado da irreversibilidade da evolu¸c˜ao do autˆomato celular, as dife- rentes configura¸c˜oes possuem probabilidades diferentes a medida que evoluem, as probabilidades para algumas configura¸c˜oes tendem `a zero. Este fenˆomeno se mani- festa pela dilui¸c˜ao das configura¸c˜oes nos sucessivos passos de tempo. O conjunto das configura¸c˜oes que sobrevivem com probabilidades diferentes de zero ap´os mui- tos passos de tempo da evolu¸c˜ao do autˆomato celular constituem-se os atratores da evolu¸c˜ao e, ainda, este conjunto resultante ´e um conjunto de Cantor.

Wolfram ([39]) afirma: quanto maior a irreversibilidade na evolu¸c˜ao do autˆoma- to celular, menor ´e a dimens˜ao do conjunto de Cantor correspondente aos atratores da evolu¸c˜ao. Se o conjunto dos atratores para um autˆomato celular tem dimens˜ao 1, ent˜ao todas as configura¸c˜oes do autˆomato celular podem ocorrer em tempos maiores. Se o conjunto atrator tem dimens˜ao menor que 1, logo uma fra¸c˜ao cada vez menor de todas as configura¸c˜oes poss´ıveis s˜ao geradas ap´os muitos passos da evolu¸c˜ao.

A dimens˜ao de um conjunto de configura¸c˜oes de um autˆomato celular ´e direta- mente proporcional ao limite da entropia por c´elula, da seq¨uˆencia de valores das c´elulas que formam as configura¸c˜oes. Se a dimens˜ao do conjunto for 1, ent˜ao todas as seq¨uˆencias poss´ıveis dos valores das c´elulas poderiam ocorrer, logo a entropia destas seq¨uˆencias seria m´axima. As dimens˜oes menores que 1 correspondem a con- juntos onde algumas seq¨uˆencias de valores das c´elulas est˜ao ausentes, portanto,

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neste caso, a entropia ´e reduzida. Assim, a dimens˜ao do atrator para um autˆomato celular est´a diretamente relacionado `a entropia alcan¸cada com a sua evolu¸c˜ao.

A dimens˜ao ´e uma medida muito crua da estrutura do conjunto de configura¸c˜oes alcan¸cadas em um autˆomato celular para tempos longos. A teoria das linguagens formais pode prover uma caracteriza¸c˜ao mais completa do conjunto.

Linguagens consistem de um conjunto de palavras, de tamanho finito ou infinito, formadas a partir de uma concatena¸c˜ao de letras seguindo regras gramaticais. As configura¸c˜oes de um autˆomato celular s˜ao an´alogas a palavras em uma linguagem formal cujas letras s˜ao os k valores poss´ıveis de cada c´elula do autˆomato. Ent˜ao, uma gram´atica d´a uma especifica¸c˜ao sucinta para um conjunto de configura¸c˜oes de um autˆomato celular.

As linguagens podem ser classificadas de acordo com a complexidade das m´aquinas necess´arias para ger´a-las. Uma classe de linguagens especificada por gram´aticas re- gulares podem ser geradas por m´aquinas de estados finitos. Uma m´aquina de esta- dos finito ´e representada por um grafo de transi¸c˜ao de estados (an´alogo ao grafo de transi¸c˜ao de estados para um autˆomato celular finito ilustrado na figura 2.7).

As palavras poss´ıveis em uma gram´atica regular s˜ao geradas percorrendo to- dos os caminhos poss´ıveis no grafo de transi¸c˜ao de estados. Estas palavras podem ser especificadas por express˜oes regulares consistindo de seq¨uˆencias de comprimento finito e repeti¸c˜oes arbitr´arias destas. Por exemplo, a express˜ao regular 1(00)∗₁

representa todas as seq¨uˆencias que cont´em um n´umero par de 0’s (repetindo arbi- trariamente a seq¨uˆencia 00) com um par de 1’s, um destes no inicio da seq¨uˆencia e outro no final.

O conjunto das configura¸c˜oes obtidas ao longo da evolu¸c˜ao nos autˆomatos da classe 2 pode ser expressado na forma de linguagens regulares. J´a os atratores (classe 3) correspondem a linguagens mais complexas.