Usando (4.36) e (4.42) obtemos para a luminosidade de neutrinos

( ) (4.44) que coincide com (4.39). Notemos que, se m < 0 (emissão) , por

(4.34)

No referencial de Lorentz de um observador com 4-ve locidade V

-ncrgici da radiação bem co::,o o flu;ío de energia (luminosidade) ,

74

medidos localnente por t a l observador, tem a mesma expressão (cf. (4.32))

Q

f^ V'V flir* (4.45)

como em ( 4 . 4 3 ) . De .

" / * • " ! . " * ( 4 . 4 6 )

obtemos

(1- i-mfr) (tf*)* + * / V

- Uo

e tomamos a solução

I (4.47)

que corresponde a Vo > 0, quer dizer, V^*" no interior dos cones de luz locais do futuro. Escrevendo Vo com

{ (4.4/')

e substituindo em (4.45), obtemos

^ ' (4.48)

Assim vemos que o valor da luminosidade total (4.44) observada por um observador em repouso no infinito é um fator (Vo) vezes Ü luminosidade localmente observada. Vamos adiante ver que, em U.48), um fator (Vo) dã conta da dilatação, relativa ao tampo :*oprio do observador, do intervalo ciu no qual a energia ê cnú

• Ulj, devida 5 velocidade V cio observador e"â presança do canpo

oico de desvio para o vermelho gravitacional 57

Sejam x (s) as coordenadas de pontos sobre a linha is universo do observador (4.46), parametrizada com o tempo pró-prio s. Podemos então expressar'

s <**/,»$

e, por (4.47)

(4.49)

Desde que sinais luminosos se propagam ao longo de curvas de u constante, dois sinais emitidos por um observador com intervalo àu são recebidos no infinito com a mesma separação du. Assim, pa-ra um observador epa-ra repouso no infinito, o seu intervalo de tempo próprio é dado por du, desde que

(*)*.

(4.50) Isto pode ter uma interpretação intuitiva . Com a escolha do49 sistema de coordenadas ( «•, r# 61 tf ) para a métrica esfericamente simétrica do problema, um vetor nulo radial qualquer «*> terá com-ponente *<>** u>* a «>3»o , de modo que a velocidade da luz ao lon

~o de direções radiais (dada por "*/„>• ) é infinita. Então pode

"~~ dizer que as coordenadas (u,r) tem o caráter de coordenadas -iv/tonianas e daí, para um observador em repouso no infinito, du

•- o intervalo de tempo Kewtoniano e u o tempo Newtoniano usuais,

""'lidos pelo.observador. Assim (4.50) podo &er expresso

c, por (4.49) ,

M

Se um observador radial emite dois sinais com intervalo de tempo próprio ds, assintoticamente urn observador em repouso vai rece -ter estes sinais com um in-tervalo dT^^ dado por (4.51). Dila

de tempo infinita ocorre para

V 4o

fa

(4.52)

No entanto, pela escolha (4.47), a condição V £ 0 em r=2m(u)não pode em geral se verificar para qualquer observador tipo-tempo ; a igualdade ocorre, por exemplo, para observadores inerciais lo-cais V1 * êG»> ** o

Descrevendo a geometria da hipersuperfacie r=2m(u) com as coordenadas A'sfu, 6#if) , e as coordenadas externas

dadas por u = u, r=2m(u), &s& , <f • tf , temos que a métrica induzida- -* sobre a hipersuperfície por (4.2) é dada por

com componentes não nulas

0 elemento de linha intrínseco â hipersuperficie ê então

-.T-'.'

,-'.;.í'

caracteriza uma hipersuperficie tipo espaço para m < 0. Ela de

tais cones, vamos considerar o vetor nulo tt^s ^ «.,* (rees-calado com o fator 1/{% )

u*» JL Co, i ,o. o ) .

Urna base local de vetores nulos pode ser construída a partir de

U? (cf.-^* ,'Uce 2),

Ü (*,-**» °. °)

7

(4.53b)

(4.53c)

(4.53d)

^ 1

com únicos produtos nao nulos M.' C^*. = - w 'myu. * • . Com os dois vetores radiais (4.53,a,b), na base natural local / 3L

pode-se esboçar os cones de luz no plano (<s r )

- • • • • • • • • • • • : • : , - <

figura podemos ver que um sinal luminoso emitido na região

78

r > 2m (u) ou qualquer partícula material seguindo uma tra -jetória tipo-tempo a partir de um ponto em r > 2m não podem a-tingir a hipersuperfície r=2m(u). Esta situação seria invertida se usássemos a forma

onde v ê uma coordenada tipo nula avançada

Devido ãs propriedades acima da solução exterior, a fonte deste campo potencial exterior não pode estar localizada na região r=2m(u) - um observador ligado ã fonte em r=2m(u), que supomos sempre ser um observador inercial (V - C(0) ) (cf.(4.73)), teria seu intervalo de tempo próprio observado assintoticamente con dilatação infinita (cf. (4.51)) e, correspondentemente, quaJL quer quantidade de fluxo de neutrinos emitida através de r=2m(u) taria que ter uma energia infinita para ser observada assintoti-camente (cf. (4.48)). Portanto a fase de emissão de neutrinos deve corresponder a uma fonte limitada por uma superfície esféri^

ca de raio R_=R (u), H. >2m(u), com a métrica no interior dife -s -s • * . . • ,

rente da métrica (4.2) devido â presença da fonte. Esta descri -ção poderia eventualmente representar um estágio imediatamente an ^ terior ao de um objeto no interior de seu raio de Schwarzschild/*

desde que, por (4.34), a variação de massa é devida puramente à , emissão de neutrinos com conseqüente contração até valores de den

sidade críticos . Quando m = 0, a configuração final da solu-ção exterior será a solusolu-ção do vazio de Schwarzschild, descrita

c^nvenientemente em coordenadas de Kruskal . Excluimos a si

-*!1ação imorovãvel de toda massa do objeto ser emitida sob for

"- de neutrinos, sem antes atingir seu raio de -•I'<v/arzschild. As ' condições que climinan tal

plica rg> m) .

0 PROBLEMA INTERIOR; ESTUDO DE UMA CLASSE DE SOLUÇÕES

Como ja foi dito, consideramos a região interior co mo sendo constituída de uma distribuição de matéria e neutrinos fluindo radialxnente para o exterior. A distribuição de matéria é uma esfera de fluido perfeito, de densidade $ , pressão P e raio r e que emite neutrinos. Os neutrinos são supostos se move

s •. . ^

rent radialmente quando emitidos ou, equivalentemente, sõ neutri-nos radiais contribuem para o tensor momentum-energia. Neutrineutri-nos uma vez emitidos, interagem somente com a gravitação, não sendc espalhados ou absorvidos pela matéria adjacente, quer dizer, a distribuição de matéria é transparente para os neutrinos. Com as hipóteses acima, as equações de Einstein e a conservação local d tensor momentum-energia total, podemos tirar suficientes informa ções sobre o comportamento do modelo: duas soluções analíticas exatas são obtidas e as propriedades de uma delas discutidas ac longo desta seção. Nesta solução, o fluido emitindo neutrinos te equação de estado p = - y £ . Esta equação decorre simultaneamei te das equações de campo e da conservação local do tensor momen-tum-energia total. Como para fs - "j § , o tensor rromentumenergia do fluido tem diverçsncia covariante nula e o tensor momen -tvir/.-enerçjia do neutrino também tem divergência covariante nula ,

80

independentemente, dizemos que para p = ~ y ? os neutrinos estão da matéria. Cora a finalidade de evitar equações de estado com pressão negativa, somos ievados a introduzir um termo tico cosmológico nas equações de Einstain, mantendo a mesma so Lu çgo para as funções métricas mas redefinindo $ e p . A s identi dades de Bianchi implicam então que a divergência do tensor mo --entuia-energia total ê proporcional a ura 4-gradiente de uma fun-çào A , que dã conta dos processos locais de troca de energia do fluido emitindo neutrinos. Para processos quasiestacionãri -05, A permite descrever o análogo de uma pressão de radiação para neutrinos. A junção das soluções interior e exterior na su-perfície de raio r { U.) & considerada, permitindo fixar vários

s