Uso do Aplicativo GeoGebra e as TIC’S no Ensino da Matemática

O avanço das TIC‟s (Tecnologias da Informação e Comunicação) no ambiente educacional proporcionou inúmeras mudanças na aprendizagem dos alunos, principalmente no que diz respeito à forma como o conhecimento é produzido e internalizado. Portanto, entendemos que os ambientes computacionais podem proporcionar uma função imprescindível relacionado aos recursos didático- pedagógicos para o uso e compreensão dos empecilhos encontrados no ensino de cálculo diferencial e integral, pois, aspectos como a visualização, pensamento, e dedução estarão presentes no desenvolvimento do conhecimento, no contexto das TIC‟s, além de suscitar a criatividade e a colaboração entre os participantes. Sendo, as atividades, desenvolvidas por meio do software GeoGebra, poderão colaborar para os desafios enfrentados na compreensão e apropriação dos conceitos do cálculo diferencial e integral.

Com o objetivo de conseguir o êxito as propostas mencionadas, é preciso um breve conhecimento do software GeoGebra. Sendo desenvolvido por Markus Hohenwarter na sua tese de doutorado na Universidade de Salzburgo, na Austrália, em 2002.

O GeoGebra está disponível em http://www.geogebra.org, sendo gratuito, é de multiplataforma1_{, sendo instalado em programas de computadores como}

Windows, Linux ou Mac OS. Este Software recebeu vários prêmios na Europa e no EUA. Com um grande índice de aceitação o GeoGebra vem ficando popular entre as nações, pois é usado em vários países e já foi traduzido em 55 idiomas. O seu desenvolvimento inicial foi utilizado nas series iniciais tendo sua aplicabilidade em combinações como geometria, álgebra, gráfica e tabelas, estatísticas e no cálculo.

Logo a seguir veremos dois exemplos de construção de uma derivada no aplicativo GeoGebra:

Exemplo 1

1. Comece por representar uma função, por exemplo, f(x) = x2. Digitando-a diretamente na linha de comandos.

Imagem 12 _{– Função f(x) = x}2 _{no GeoGebra}

2. Em seguida, vamos adicionar um ponto a esta função, digitando na linha de comandos do GeoGebra A= Ponto (f). Este ponto pode ser arrastado para outra posição qualquer, ao longo da função f.

1 _{Um programa ou sistema que pode ser executado em mais do que uma plataforma, como o Mozilla}

Imagem 13 _{– GeoGebra I}

3. Adicionamos agora uma reta tangente a f no ponto A, escrevendo na linha comandos do GeoGebra [A,].

4. Para mostrarmos a equação da reta na zona gráfica, selecionamos a reta e escolhemos: Propriedades, Rótulos, Exibir e valor.

Imagem 15 _{– GeoGebra III}

5. Selecione Propriedades

6. Agora adicionamos um ponto, Q, cuja abscissa é igual à abscissa de A e ordenada igual ao declive da reta tangente t no ponto A. Para isso escrevemos na linha de comandos: Q= (x(A), declive[t]).

Imagem 17_{– GeoGebra V}

7. Pretende-se o ponto Q deixe um rastro de forma a transmitir ao aluno como é construída a função derivada. Com isso clique com o botão direito do mouse em cima do ponto Q ou na sua definição na zona algébrica e escolha “ativar”.

8. Para ser mais fácil de perceber as coordenadas dos pontos Q e o valor do declive da reta tangente a f no ponto A, escolha “inserir texto”. Na janela de diálogo que surge, digita-se “Declive da Tangente =” + (Declive [t] +” coordenada do ponto Q = (“ + (x(Q) +”,” + (y(Q))) + “)”.

Imagem 19 – Área de Comando GeoGebra I

9. Na janela de diálogo que surge, digita-se “Declive da Tangente =” + (Declive [t] +” coordenada do ponto Q = (“ + (x(Q) +”,” + (y(Q))) + “)”.

10. Vamos agora exportar a atividade para pagina Web e o aluno poderá explorar no seu navegador.

Imagem 21_{– Área de Comando GeoGebra III}

11. Na janela de diálogo que surge, preenchem-se diversos dados, nomeadamente os passos que queremos que o aluno siga na realização da atividade:

12. No separador Avançado vamos alterar o tamanho da janela para 900 x 440.

Imagem 23 _{– Área de Comando GeoGebra V}

Exemplo 2: A construção seguinte passará pela utilização da definição da derivada num ponto ′ _{= 𝑥 − ( ).}

1. Digite a função, h(x) = 1/4(x-2)2

2. Inserimos o ponto fixo A (4,1), pertencente à função h(x)

Imagem 25 _{– Área de Comando GeoGebra VII}

3. Em seguida, adicionamos um ponto móvel na função h com o comando: P = ponto [h]. Clicando “propriedades” no menu “editar” surge uma janela P ou da sua definição ou escolhendo “Propriedades no menu “editar” surge uma janela de diálogo e na “Legenda” digitamos “X” e em “Exibir Rótulo” a opção “Legenda”.

4. Clicando “propriedades” no menu “editar” surge uma janela P ou da sua definição ou escolhendo “Propriedades no menu “editar” surge uma janela de diálogo e na “Legenda” digitamos “X” e em “Exibir Rótulo” a opção “Legenda”.

Imagem 27 _{– Área de Comando GeoGebra IX}

 Legenda: Digita-se “X”

5. Adicionamos uma reta que passa pelo ponto A e pelo ponto P com o comando: reta [A, P].

Imagem 29 _{– Área de Comando GeoGebra XI}

6. Criamos a primeira derivada da função h(x) com o comando: Derivada [h,1]. Escondemos em seguida à derivada da zona gráfica desativando “Exibir Objeto”.

7. Falta apenas adicionar texto que contém o valor da derivada no ponto A e o valor do declive da reta criada. Para isso escolha “inserir texto”.

Imagem 31 _{– Área de Comando GeoGebra XIII}

8. Escolha Inserir Texto

9. Escolha novamente “Inserir Texto” e digite: “Declive da reta =” + (Declive[a])

Imagem 33 – Área de Comando GeoGebra XV

10. _{Desative “Exibir → Zona Algébrica” Exportamos a atividade para uma folha} dinâmica com o texto semelhante ao seguinte, definindo o tamanho da folha do separador “Avançado”.

11. Depois de exportar atividade para uma dada pasta, o seu navegador Web deverá, entretanto abrir a atividade tal como será vista pelo aluno.

Imagem 35 _{– Área de Comando GeoGebra XVII}

O entendimento sobre ouso da informática na escola amplia a visão de educação e extrapola os domínios do espaço educativo. O aluno aprende fora da escola e do olhar do professor. As informações agora estão disponíveis mais facilmente com as TICs e o professor não se encontra mais como detentor único do conhecimento. Porém informação e conhecimento são dois termos que se confundem, mas não significam a mesma coisa.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Nesse trabalho tem-se o objetivo de mostrar com clareza e precisão a importância da aplicação do cálculo diferencial e integral na contribuição das ciências e ao avanço da matemática, principalmente quando os assuntos são abordados para os alunos do Ensino Médio. Desde que, são os alunos quem se prejudicam ao começar um nível acadêmico que requer os conhecimentos matemáticos na área do cálculo diferencial e integral.

Evidencia-se, também, o processo histórico, que consistiu no desenvolvimento do cálculo diferencial integral e dos polinômios ao longo dos anos devido à presença nas escolas básicas do Brasil. A construção histórica nos mostrou que o avanço da educação na área matemática seria de suma importância dentro da abordagem que é aplicada na construção do conhecimento do ser humano sobre a história do cálculo diferencial e integral.

Para aumentar o ensino-aprendizado sobre o estudo do cálculo foi utilizado o aplicativo GeoGeba como forma didática para o aprendizado abordagem do cálculo a partir de uma interpretação geométrica explorando gráficos e os recursos que o aplicativo dispõe.

Como qualquer progresso matemático de importância, a obra de Newton e Leibniz incentivou intensos desenvolvimentos posteriores. O cálculo foi amplamente aplicado e depois de longas discussões os seus fundamentos finalmente concretizados.

Seria de grande importância que os professores do Ensino Médio se dedicassem ao ensino do cálculo como ferramenta de contextualização dos problemas matemáticos estudados nesse nível de ensino, serviria, também, de base para os estudantes que ingressam nas universidades, bem como dar um significado maior aos conteúdos vistos de forma mais contextualizada e interdisciplinar, abordando as inúmeras aplicações dessa tão importante ferramenta matemática e proporcionando que os estudantes saibam sua real importância.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALVES Ester de Souza; GOMES, Solange Freitas; DOMINGUINI, Lucas. Limite de

uma Função: Conteúdo Viável para o Ensino Médio? Congresso Nacional de

Educação/ encontro Regional de Educação Matemática, 2011. Disponível em: www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2012/artigos/102620.pdf. Acesso em 13 nov. 2015.

ÁVILA, G. O Ensino do Cálculo no Segundo Grau. In: Revista do Professor de Matemática, n.18, Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), 1991, p.1-9.

_________Limites e Derivadas no Ensino Médio? In: Revista do Professor de Matemática, n.60, Rio de Janeiro, de Sociedade Brasileira Matemática (SBM), 2006, p.30-38.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Parâmetros

Curriculares Nacionais: ciências da natureza, matemáticas e suas tecnologias. vol.

III. Brasília: MEC, 2000.

_________Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Orientações

curriculares para o ensino médio: ciências da natureza, matemática e suas

tecnologias. vol. 02. Brasília: MEC, 2008.

CARVALHO, J. B. P. de. O cálculo na escola secundária: algumas

considerações históricas. Caderno Cedes. Campinas: Papirus, n. 40, p. 68-81,

1996.

DOMINGUINI, Lucas. Estudos sobre livro didático: processo atual? Revista eletrônica de ciências da educação, Campo Largo, v.10, n.1, p.16-32, jul. 2011. GIL, Antônio Carlos. Como elaborar Projetos de Pesquisa. 4. Ed. São Paulo: Atlas 2008.

GIOVANNI, J.R.; BONJORNO, J. R. Matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 2005.

Oliveira, Fernandes Rodrigues de. Uma proposta para o ensino de noções de

cálculo no ensino médio – Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de

Matemática – Porto Alegre, 2010. Disponível

em: http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/29140/000775857.pdf?...1 acesso em 23 de Nov. 2015

Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática / Ministério da Educação. Secretária da Educação Fundamental. – 3 ed. Brasília; 2001

RICHIT, Andriceli. Aspectos Conceituais e Instrumentais do Conhecimento da

Prática do Professor de Cálculo Diferencial e Integral no Contexto das Tecnológias Digitais. Dissertação de mestrado Programa de Pós Graduação em

Educação Matemática. Universidade Estadual Paulista, 2010. Disponível em: repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/.../richit_a_me_rcla.pdf?...1. Acesso em: 15 dez. 2015.

ROONEY, Anne – A História da Matemática – Desde a criação das pirâmides até a

exploração do infinito. Editora Ltda. São Paulo – 2012.

APÊNDICE 1

LISTA DE EXERCICIOS SOBRE O CAPÍTULO 2

1- Dado o polinômio P(x)= 2x3-5x2+x-3. Calcule: a) P(0) b) P(-1/2)

2- As raízes do polinômio P(x)=x3-6x2+8x pertencem ao conjunto {0,1,2,3,,4}. Determine o conjunto solução.

3- Determine o valor de a sabendo que 2 é raiz de P(x)=2x3-ax+4.

4- Dados os polinômios P1(x)=5x2-3x+6, P2(x)=-3x+2 e P3(x)=x2+5x-1. Calcule;

a) P1(x)+P2(x)-P3(x) b) P1(x).P2(x)

5- Determinar a, b e c de modo que (a+bx).(x+2)+(c-2).(x+3)=2x2_+2x-8.

6- Determine o resto da divisão de:

a) 2x3-5x2+4x-4 por 2x-3 b) 5x3-11x2+3x-2 por x-2

7- Determinar o resto da divisão de P(x) = x2n+x+1 por x+1, com n.

8- Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:

a) P(x) = x3-3x2+3x-1 por D(x) = x-1.

b) P(x) = 5x4_-3x2_{+x-1 por D(x) = x-2.}

c) P(x) = 3x3_-4x2_{+5x-2 por D(x) = 2x-1.}

a)P(x) = 2x2_-10x+12

b) P(x) = x3_-7x2_+12x

c) P(x) = x3_-5x2_+4x-20

10- Determine m e n para que o polinômio P(x) = x6_+mx4_+nx3_{-3x-2 seja divisível por}

APÊNDICE 2

LISTA DE EXERCICIOS SOBRE O CAPÍTULO 3

1. Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim(x 1)

1

x 

2. Calcule os limites das seguintes funções polinomiais: a) lim(x3 x2 5x 1) 1 x    = b) lim(x3 2x2 4x 3) 1 x    = c) lim (4x3 2x2 2x 1) 2 x      = d) 5 x 4 x 5 x lim ₂ 2 3 x     = e) 2 x 10 x 7 x lim 2 2 x     = f) 3 x 3 x 2 x lim 2 3 x      = g) x x x 2 x 5 x x 3 lim ₂ 2 3 4 0 x      = h) 1 x 2 x 3 x 4 x lim ₅ 3 1 x      = i) 6 x 36 x lim 2 6 x    = j) 2 x 3 x 1 x lim 2 2 1 x      =

a) f(2) b) lim ( ) 2 f x x  c) lim ( ) 2 f x x  d) lim ( ) 2 f x x e) f(2) f) f(7)=

4. Um gás (vapor d‟água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:

a) V

p100lim b) p100limV c) plim100V

5- Encontre a derivada das seguintes funções: a) y = x4 – 3x2 _{+ 2x – 3} b) y = x x 3 x 2 2  c) y = ₂ 2 x x 3 x 2  d) y = x 1 x 2 3 2  e) y = 2 x 33 x f) y = x 3 2 x 3 3  g) y = ₃ x x x x 

h) y = (x2_-1)(2+x)

6- Daqui a x meses, a população de uma certa cidade será P(x) = 200 + x2 em milhões de habitantes.

a) Qual será a taxa de variação desta cidade daqui a 10 meses ? b) Qual será a variação real da população durante o 11o _{mês ?}

7. Se f(x) = x 1 1 x 2   _{, determine:} a) f ‟(0) b) f ‟‟(2) c) f ‟‟‟(0)

8. Encontre os pontos críticos de f, sendo:

a) f(x) = x3 – 3x + 2 b) f(x) = x4 _{– 2x}2₊₃

9. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: a) f(x) = x3–5

b) f(x) = x4- 8x2 - 5 c) f(x) = 2x – 1 d) f(x) = x4- 4x3 e) f(x) = x(5-x)4

10. Faça um estudo completo do comportamento das funções abaixo.

a) f(x) = 3x4 - 8x3 + 6x2 b) f(x) = 2x3 _{- 3x}2_{– 12x + 10}

c) f(x) = x2_{– 4x + 6}

d) f(x) = x3– 6x2 _{+ 12x - 4}

11. Deseja-se cercar um terreno retangular de área 60 m2, de modo que o custo para cercar as laterais seja R$ 300,00 por metro linear e o custo para cercar a frente e o fundo seja de R$ 500,00 por metro linear. Determine as dimensões do terreno de

modo que o custo para cercá-lo seja o menor possível. Neste caso, qual o custo mínimo?

12. Por várias semanas, o serviço de transito vem pesquisando a velocidade do tráfego numa autoestrada. Verificou-se que, num dia normal de semana, à tarde, entre 1 e 6 horas a velocidade do tráfego é de, aproximadamente v(t) =2t3_-

21.t2_{+60t+40 km/h, onde t é o número de horas transcorridas após o meio-dia. A}

que horas, dentro do intervalo de tempo mencionado, o tráfego se move mais rapidamente e a que horas se move mais lentamente ?

13. De uma folha laminada quadrada de 2 dm de lado, foram cortados quadrados iguais nos quatro cantos e com o restante da folha foi construída uma caixa sem tampa. Determine as dimensões do quadrado retirado para que o volume da caixa seja máximo.

14.Se L(x)=-x2+6x-5 é a função lucro na venda de x unidades de um certo produto, determine o lucro máximo.

15.Encontre os máximos e mínimos relativos das funções dadas por: a) f(x) = x3 - 12x + 4

b) f(x) = x3 - 3x2 + 5 c) f(x) = x4– 8x2 _{+ 6}