Utilidade Esperada (formal)

De…nição: Uma função utilidade U : $! R é uma utilidade esperada se existe um vetor (u₁; u₂; :::; u_N) tal que para toda loteria L= ( ₁; :::; _N)2$, temos que

Teorema 4 Uma função utilidade U :$!R é uma utilidade esperada se e somente se é linear em probabilidades, i.e., se

U PK

k=1 kL_k =PK

k=1 kU(L_k) (8.2)

para quaisquer K loterias Lk 2 $; k = 1; :::; K, e probabilidades ( 1; :::; K) 0; PK

k=1 k= 1:

Demonstração (Necessidade)Suponha queU( )satisfaz (8.2). Podemos então escr-everL= (p1; :::; pN)como uma combinação convexa de loterias degeneradasL1; :::; LN; i.e., L=PN n=1p_nL_n:Neste caso, U(L) =U PN n=1p_nL_n =PN n=1p_nU(L_n) =PN n=1p_nu_n:

(Su…ciência) Suponha que U( ) tem o formato de utilidade esperada, e considere a loteria composta (L₁; :::; L_K; ₁; :::; _K);ondeL_k = p^k₁; :::; p^k_N : A loteria reduzida é, então, L⁰ =PK k=1 ^kLk:Donde, U PK k=1 kL_k =PN n=1u_n PK k=1 kp^k_n =PK k=1 k PN n=1unp^k_n =PK k=1 kU(L_k)

Teorema (existência) Se a ordenação de preferências em $ é “conseqüentista” (axioma 1), racional (completa e transitiva, axioma 2), contínua (axioma 3) e in-dependente (axioma 4), então nós podemos encontrar uma função utilidade esper-ada U : $ ! R que representa . Isto é, existem números un para cada resultado

n= 1; :::; N tais que, para quaisquer loterias L= ( ₁; :::; _N) e L⁰ = ( ⁰₁; :::; _N⁰ ); L L⁰ () n X n=1 nu_n n X n=1 0 nu_n

Demonstração Considere as loterias L e L tais que L % L % L para todo L 2 $: De…namos os conjuntos

A 2[0;1] : L+ (1 )L%L e B 2[0;1] : L+ (1 )L-L :

O axioma decontinuidade nos garante que AeB são fechados. Completeza, por outro lado, é su…ciente para vermos que para todo 2 [0;1]; temos 2 A[B: Como o conjunto [0;1]é conexo,² podemos então garantir que existe pelo menos um 2[0;1]

tal que 2A\B;i.e., L L+ (1 )L:

A seguir mostraremos que esse número é único e que a função que associa a cada L o número com esta propriedade representa as preferências sobre loterias. É a esse escalar que associaremos a utilidade da loteria, i.e., U(L) = L, onde L LL+

(1 _L)L:

Tomemos primeiramente duas loterias compostas L = L+ (1 )L e L0 = L+ (1 )L; ; 2 [0;1]: Vamos mostrar que L+ (1 )L L+ (1 )L se e só se > : Isto nos permitirá, não somente provar a unicidade de ; mas ajudará na demonstração de que o assim construído efetivamente representa as preferências. Suponha > e de…na

1 2(0;1]

Então, L L+ (1 )L.³ Além disso,

L+ (1 ) L+ (1 )L L+ (1 )L ou seja, 1 ^{L+ 1} 1 ^{L+ (1 )L L+ (1 )L} + 1 ^L+ 1 1 ^{(1 )L L+ (1 )L} L+ (1 )L L+ (1 )L

Suponha, por outro lado L+ (1 )L L+ (1 )L, mas :Se = , então L+ (1 )L = L+ (1 )L, donde, por re‡exividade, L L⁰, o que contradiz preferência estrita. Suponha então > . Podemos, então reconstruir a argumentação

2

Uma cisão de um conjuntoXé uma decomposição do conjuntoX; X=A[B;ondeA\B=?eA eBsão conjuntos abertos emX:Um conjunto é dito conexo quando só admite a cisão trivialX=X[?

. Ou seja, se a intreseção for vazia, ou A= [0; )ou B = ( ;1]que são conjuntos abertos em[0;1]: Como os dois conjuntos são fechados (por continuidade) temos um conjunto não-vazio diferente de[0;1]

ao mesmo tempo aberto e fechado em[0;1]o que não é compatível com o fato de que o intervalo é um conjunto conexo.

3

De fato, para duas loterias quaisquerLeL⁰comL L⁰;e 2(0;1);temos L= L+ (1 )L L+ (1 )L⁰

L⁰+ (1 )L⁰=L⁰; por simples aplicação do axioma da independência.

anterior invertendo os papéis de e e provar que L+ (1 )L L+ (1 )L, uma contradição. Isto nos garante que, para toda loteriaL;o escalar 2[0;1]tal que L L+ (1 )L é único.

Vamos mostrar que esse número efetivamenterepresenta a relação de preferênciasem$: Tomemos, então duas loteriasL; L⁰2$:Note queL L⁰ se e só se LL+(1 L)L

L0L+(1 _L0)Lo que ocorre se e só se _{L L}0;pelo passo anterior da demonstração. Vamos agora mostrar a propriedade de linearidade. Para isto, basta provar que para qualquer loteria composta L = L + (1 )L⁰; temos que U L = U(L) + (1 )U(L0): Já que, por indução, posso generalizar para qualquer loteria composta e então invocar o teorema anterior para garantir que a representação é de utilidade esperada. L+ (1 )L⁰ L+ (1 )L + (1 ) ⁰L+ 1 ⁰ L + (1 ) ⁰ L+ (1 ) + (1 ) 1 ⁰ | {z } (1 ( +(1 ) 0)) L L LogoU L = U(L) + (1 )U(L⁰):

Digressão: Cardinalidade ou Ordinalidade? Vários economistas acreditam que a função utilidade esperada possui algum sentido cardinal. O motivo dessa crença vem do seguinte teorema:

Teorema: seja uma função utilidade esperada U :$!R que representa a relação de preferências sobre $: Então, Ue(L) :$!R é uma outra função utilidade esperada que representa a mesma relação de preferências se e somente se existem escalares

>0 e tais que _Ue_{(L) = U(L) + :}

Demonstração: Suponha que U tem forma de utilidade esperada, e que Ue(L) =

U(L) + ;entãoUe(L) = U(L) e U PK k=1 kL_k = U PK k=1 kL_k + = PK k=1 kU(Lk) + =PK k=1 k( U(L_k) + ) =PK k=1 kUe(L_k):

Para a volta, considereU^~( )eU( )ambas VNM e ambas representando :Considere, então uma loteriaLe de…na _L2[0;1]por meio deU(L) = _LU(L) + (1 _L)U L ; onde L e L são como de…nidos na demonstração anterior. Neste caso L LL+ (1 _L)L:ComoU^~( ) representa as mesmas preferências, temos

~ U(L) = ~U _LL+ (1 _L)L = _LU^~(L) + (1 _L) ~U L = ~U L + _Lh ~ U(L) U L^~ i :

Mas, pela de…nição de _L;temos L= ^{U(L) U L} U(L) U L ^; donde, ~ U(L) = ^{U(L) U L} U(L) U L h ~ U(L) U L^~ i + ~U L =U(L) ~ U(L) U L^~ U(L) U L | {z } + ~U L ^{U L} U(L) U L | {z } :

Considere a seguinte a…rmação

u₁ u₂ > u₃ u₄ =) u₁ u₂> u₃ u₄

Perceba que o sinal da diferença de utilidades é sempre a mesma para qualquer representação de utilidade esperada (Por quê?). Logo, muitos concluem que a diferença de utilidades possui algum signi…cado.

Isto não quer dizer que autilidade esperada tenha signi…cado cardinal.

Teorema (popularesco): Se a relação de preferências sobre $ pode ser repre-sentada por uma função utilidade esperada U :$! R; os números atribuídos a essa representação não possuem nenhum signi…cado além da ordenação de loterias. (Ou seja, não podem ser interpretados cardinalmente).

Demonstração: Seja f(:) uma função estritamente crescente qualquer. A função g(L) =f[U(L)] preserva a ordenação de loterias original, logog( ) representa :

Em palavras: qualquer transformação monotônica de uma utilidade esperada rep-resenta a mesma ordenação de preferências, mesmo que essa função …nal não seja uma utilidade esperada.

O Paradoxo de Allais

De…na os seguintes prêmios monetários

e sobre eles de…na as seguintes loterias

L^a= (0;1;0) M^a= (0:89;0:11;0)

L^b= (0:01;0:89;0:1) M^b = (0:9;0;0:10)

Note que posso ‘implementar’a loteria da seguinte maneira. Coloco 100bolas numer-adas de0 a 99em uma urna e de…no os seguintes prêmios

loteria 0 1 10 11 99

L^a 50 50 50

L^b 0 250 50

M^a 50 50 0

M^b 0 250 0

Note queL^a%L^b=)M^a%M^b pelo axioma da indepenência.

Uma outra maneira de ver essa implicação é olhando diretamente para a utilidade esperada. Isto é, suponha que

u₀₅ :10u₂₅+:89u₀₅+:01u₀ e some :89u₀ :89u₀₅dos dois lados da desigualdade

u₀₅+ (:89u₀ :89u₀₅) :10u₂₅+:89u₀₅+:01u₀+ (:89u₀ :89u₀₅)

:11u₀₅+:89u₀ :10u₂₅+:90u₀;

o que mostra queU(L^a) U L^b =)U(M^a) U M^b :

No entanto, experimentos de laboratório mostram que escolhem de maneira incon-sistente (curiosamente, Savage foi um dos participantes do experimento conduzido por Allais e um dos que escolheramLano primeiro eMbno segundo experimentos). É este o paradoxo de Allais.

Reações comuns ao paradoxo de Allais:

1) Posição normativa - mostra como os agentes devem agir.

Interessante decompor o problema de tal modo que o axioma da independência é conseqüência de agumas hipóteses fundamentais de comportamento: i) conseqüencial-ismo ou irrelevância de eventos passados e não ocorridos; ii) consistência intertemporal; iii) independência do contexto e iv) redução. A vioalção do axioma da independência imlica na violação de pelo menos um desses pressupostos sobre o comportamento.

2) Desprezar o problema já que está fundamentalmente associado a probabilidades extremas. O problema dessa postura é que torna questionável a utilização em áreas importantes como o cálculo de disposição a pagar por tratamentos de doenças de baixa incidência mas grande fatalidade.

3) De…nir a escolha em termos de objetos mais complexos (e.g., regret theory) 4) Relaxar o axioma da independência.