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Em 1.6 levantamos a seguinte questão: até que ponto é possível a um cientista ou pensador evitar que seus preconceitos invadam, moldem e talhem as
12) Várias questões sobre I Lim , o verdadeiro cálculo-limite da hierarquia I n , foram
deixadas sem resposta em 4.6 (e em Carnielli & Marcos, 199?b): (a) como fornecer uma semântica de valorações para este cálculo? (b) como fornecer-lhe uma semântica de traduções possíveis baseada nas matrizes de ]3 (vide 2.3.1)? (c) será possível definir em ILim uma negação forte? (d) como fornecer uma axiomati-
zação hilbertiana para este cálculo? É evidente que questões análogas se aplicam aos cálculos-limites das outras onze hierarquias tratadas no capítulo 5. Fixada uma das hierarquias In[, In¬¬[, In+[ ou In+ ¬¬[, haverá alguma diferença entre os
cálculos-limites de suas versões levo, dextro e biparaconsistentes? Conjecturamos que não, donde poderíamos concluir por uma certa artificialidade nesta tripla distinção. De qualquer forma, não deixa de ser interessante notar que duas hie- rarquias tais como InO e InE, a segunda constituída de cálculos estritamente mais
fortes do que os cálculos correspondentes da primeira, sejam tais que seus cálcu- los-limites, isto é, os núcleos comuns a todos os cálculos de cada hierarquia, sejam rigorosamente o mesmo cálculo.
13) Em 5.4.2.1 e 5.4.2.2 mostramos como interpretar dois cálculos trivalentes, V1 e V2, através de uma semântica de traduções possíveis baseada num cálculo biva- lente, o cálculo proposicional clássico, e restrições adequadas sobre as traduções.
Conviria tratar o cálculo V por V3, já que ele é trivalente. Carnielli & Lima- Marques (1999) mostraram como fornecer uma semântica de sociedade baseada em V13 para um cálculo que denominaremos V14, cujas matrizes são as seguintes:
onde {V, V∗, V∗∗} são os valores distinguidos, os quais podem ser entendidos, nesta ordem, como graus decrescentes de verdade. Carnielli & Lima-Marques mos- traram que V14 é a lógica das sociedades triassertivas abertas, isto é, aquelas nas quais tanto o valor de ¬A quanto o de ¬¬A não dependem funcionalmente do valor de verdade de A.
Uma semântica de traduções possíveis para V14 é dada por <V13, T>, onde as funções de tradução ∗: FOR(V14)'FOR(V13) em T estão sujeitas às mesmas
restrições que no caso de V13 (vide 5.4.2.1). O que muda são as relações de for- çamento. Dadas três funções de tradução, ∗i, ∗j e ∗k definimos agora a relação de
forçamento trilocal, denotada por Í∗i∗j∗k
, como: (B1.1) Í∗i∗j∗k p se ÍV13 p ∗i ou ÍV13 p ∗j ou ÍV13 p ∗k ; (B1.2) Í∗i∗j∗k ¬ p se Í/V1 3 p ∗i ou Í/V1 3 p ∗j ou Í/V1 3 p ∗k ; (B1.3) Í∗i∗j∗k ¬¬ p se Í/∗i∗j ¬ p ou Í/∗i∗k ¬ p ou Í/∗j∗k ¬ p; (B2.1) Í∗i∗j∗k ¬ A se Í/∗i∗j∗k
A , se A não for atômica nem negação de atômica; (B2.2) Í∗i∗j∗k A∧B se Í∗i∗j∗k A e Í∗i∗j∗k B ; ∧ V V∗ V∗∗ F V V V V F V∗ V V V F V∗∗ V V V F F F F F F ∨ V V∗ V∗∗ F V V V V V V∗ V V V V V∗∗ V V V V F V V V F → V V∗ V∗∗ F V V V V F V∗ V V V F V∗∗ V V V F F V V V V ¬ V F V∗ V∗∗ V∗∗ V F V
1RYDV LQWHUURJDo}HV 160 (B2.3) Í∗i∗j∗k A∨B se Í∗i∗j∗k A ou Í∗i∗j∗k B ; (B2.4) Í∗i∗j∗k A→B se Í/∗i∗j∗k A ou Í∗i∗j∗k B .
Note que em (B1.3) fizemos uso da relação de forçamento bilocal definida em 5.4.2.1. Para toda fórmula F em V14, definimos agora a relação de forçamento global, denotada por ÍTP, como:
ÍTP F ⇔ para quaisquer ∗i, ∗j e ∗k vale Í∗i∗j∗k F.
O único axioma de V13 não validado pelas matrizes de V14 (vide a axi- omatização que fornecemos no Teorema IV do apêndice ω+ ω, A segunda via) é representado pelo esquema (¬A)(n). Como consequência, observamos por exem- plo que o esquema ¬(¬A∧¬¬A) é válido em V13 mas não em V14. Não obstante esta falha, verificamos facilmente que um outro esquema, (¬¬A)(n), é por sua vez validado pelas matrizes de V14. Conjecturamos que o cálculo V14 pode ser axiomatizado exatamente pela substituição do axioma (¬A)(n) de V13 pelo axioma (¬¬A)(n), donde concluiríamos que o cálculo V14 seria estritamente mais fraco do que V13. Generalizando todo o procedimento acima poderíamos definir toda uma hierarquia de cálculos cada vez mais fracos, os cálculos V1n, 1≤n< ω, onde cada V1m é um cálculo m-valente, e provar analogamente sua completude. Que carac-
terísticas terá o cálculo-limite desta hierarquia (vide a questão 12)? Como definir, de maneira semelhante, uma hierarquia de cálculos a partir do cálculo V2? Será que podemos definir semânticas de mundos possíveis elegantes – como aquelas apresentadas para V13 e para V2, em 5.4.2.1 e 5.4.2.2 – para os outros cálculos destas hierarquias? Todas as perguntas acima podem ser recolocadas com relação aos cálculos paracompletos O1 e O2 (vide Terceiras Estórias, no presente capí- tulo). A rigor, com relação ao cálculo O2, devemos antes deixar bem claro qual seria a sua axiomática, e também demonstrar sua suposta maximalidade, como fizemos para o cálculo V2 no apêndice ω+ ω, A Terceira Margem.
Em cada um dos casos acima, mostramos como fornecer uma semântica de traduções possíveis para um cálculo n-valente baseada em uma lógica (n−1)- valente. Cabe aqui a seguinte questão: será que conseguiremos aplicar a mesma técnica a outros cálculos polivalentes? Isto é, será que é sempre possível tratar as matrizes de uma lógica n-valente em termos de semânticas de traduções possíveis baseadas em matrizes m-valentes, para algum m<n? A resposta a esta questão se liga à resposta à primeira parte da questão 8, logo acima. Com efeito, já em 1975, Suszko sugerira a possibilidade de se fornecer uma semântica bivaluada para o FiOFXOR WULYDOHQWH GH àXNDVLHZLF] 2UD FRPR WRGD OyJLFD SROLYDOHQWH ILQLWiULD p normal (vide a questão 5), já que sua relação de consequência semântica é um operador de fecho, e é também obviamente decidível, então sabemos que existe para ela não apenas uma semântica bivaluada adequada como também um procedi- mento de decisão por quase-matrizes. Se dispusermos de uma técnica para reduzir toda matriz n-valente finita às condições equivalentes em termos de valorações bivaluadas – o que já se constituiria numa valiosa contribuição à Teoria da Va- loração – e ainda for verdade que nestas condições há sempre uma semântica de traduções possíveis correspondente, então a resposta à questão acima sobre a redutibilidade de matrizes de uma lógica n-valente em termos de semânticas de traduções possíveis já estará a meio caminho. Um primeiro passo na busca de uma tal técnica é ensaiado pelo autor em Marcos, 199?b.
14) Na primeira parte do apêndice ω× ω mostramos a independência de cada um dos axiomas dos cálculos InO, InG, InE, I¬¬n O, In¬¬G, In¬¬E, 1≤n<ω (vide o apêndice ω,
Cálculos). Resta fazer o mesmo para os cálculos In+O, In+G, I+nE, In+ ¬¬O, In+ ¬¬G, In+ ¬¬E, 1≤n<ω.
15) Na parte final do apêndice ω× ω mostramos a incaracterizabilidade por ma-