Abrikosov, em 1957 publicou que a solução das equações de Ginzburg-Landau pos- sui uma forma periódica nos limites extremos dos comprimentos característicos [98, 99]. Quando um supercondutor é submetido a um campo magnético externo, teremos a se- guinte relação λ > ξ para o supercondutor tipo II, e a solução consiste em uma rede triangular de regiões tubulares no estado normal. Nestas, a densidade de super elétrons vai a zero em regiões de largura ξ. Estas regiões são formadas por campos magnéticos blindados por supercorrentes que vão até uma distância da ordem do comprimento de London, λ. O núcleo normal cercado pelas supercorrentes são denominados de vórtices. Na região supercondutora teremos a condição de |ψ| constante, o qual decresce exponenci- almente para zero no núcleo (região normal) de cada vórtice. A distância entre os vórtices pode ser dada por,
d = 4π√ 3 Hc2 H , (A.22)
sendo Hc2 o campo crítico superior. Note que a dimensão do vórtice é da ordem do
comprimento de London, logo, para campos próximos do campo crítico os vórtices devem se sobrepor. No limite de pequenos campos a distância entre os vórtices é grande, e consequentemente, a influência de um vórtice nos demais será pequena. Nesta situação podemos tratar um vórtice isoladamente. A Figura A.3 é uma figura esquemática que mostra uma rede de vórtices em baixas e altas temperaturas. Note que em temperaturas próximas de Tc o núcleo normal é grande e em T = Tc o supercondutor se apresenta no
estado normal. No limite de baixas temperaturas o núcleo dos vórtices é muito pequeno. Os vórtices aparecem em supercondutores do tipo II. A primeira imagem de vórti- ces em supercondutores foi obtida por Essmann e Träuble em 1967 [100]. Entretanto, no material supercondutor com relativamente baixa temperatura crítica, recentemente desco- berto, pode-se encontrar vórtices sobre certas condições. A Figura A.4 mostra a imagem de vórtices no MgB2 que possui propriedades intermediárias entre supercondutores do
tipo I e II, retirada da referência [101].
A segunda equação de London não deve ser válida na condição de variação do parâme- tro de ordem. Entretanto é possível corrigi-la de modo que ela possa dar conta dos efeitos da variação de ψ. Podemos supor que, em supercondutores do tipo II, ξ ≪ λ, então a influência pode ser dada em função de uma Delta de Dirac, e a equação de London pode ser reescrita,
Figura A.3: Vórtices em supercondutores do tipo II em baixas e altas temperaturas. O supercondutor pode ser dividido em células e cada uma possui um núcleo normal onde há campo magnético blindado por supercorrentes. A Figura foi retirada da referência [88]. sendo Φ0 o fluxo total de uma célula da rede de Abrikosov e k o vetor unitário na direção
do eixo-z. A solução da equação acima, sabendo que o campo de cada vórtice deve ser na direção do campo aplicado, é dada por,
B = Φ0 2πλ2K0 ρ λ , (A.24)
sendo ρ a distância radial ao centro do núcleo do vórtice. K0 é a função de Bessel
modificada que tem a forma de uma exponencial decrescente quando ρ ≫ λ e diverge na forma logarítmica no limite em que ρ << λ. A solução acima, porém, só é válida para ρ > ξ, pois para ξ 6= 0 a função de onda varia lentamente no interior do núcleo, e o campo não deve divergir no limite de ρ << λ.
Apesar de ser possível tratar um vórtice isoladamente quando a distância entre os vórtices é menor que o comprimento de London, os vórtices na rede de Abrikosov interagem entre si. A energia de interação entre pares de vórtices pode ser calculada e é dada por,
Ev = Lz Φ2 0 2πµ0λ2 K0 |~ri− ~rj| λ , (A.25)
e, consequentemente, a força que o vórtice i faz no vórtice j pode ser dada por, ~ Fij = Lz Φ2 0 2πµ0λ3 K1 |~ri− ~rj| λ ~rij ~ |rij| . (A.26)
Figura A.4: Imagem de vórtices no supercondutor MgB2 que possui propriedades inter-
mediárias entre os tipos I e II. As imagens são para temperaturas (a) 0.05, (b) 0.2 e (c) 2.0K. A variação espacial da condutância é mostrado pela cor (escala diferente para cada imagem). A imagem foi retirada da Referência [101]
Uma observação importante deve ser feita. Esta força é devida à interação entre o campo produzido por um vórtice e a corrente na região do núcleo do outro vórtice. Com isso, a interação pode ser repulsiva se os vórtices carregam campos na mesma direção, ou atrativa em caso contrário.
Como o núcleo dos vórtices se apresenta no estado normal, o movimento destes pode produzir uma corrente elétrica nesta região que deve dissipar energia. Logo, a equação do movimento dos vórtices deve incluir um termo dissipativo proporcional à velocidade dos vórtices [90]. Os efeitos inerciais devem ser desprezíveis e, portanto, o movimento deve ser superamortecido. Portanto, um sistema de vórtices em um supercondutor do tipo II pode ser considerado um sistema de partículas interagentes (interação de curto alcance) em movimento superamortecido [33, 31, 30], que é o tema principal tratado nesta tese [4].
APÊNDICE B -- Movimento Browniano
Unidimensional
Logo abaixo temos o código escrito em Fortran 90 que simula o movimento supera- mortecido de partículas em banho térmico. O movimento é aleatório e a distribuição de probabilidades, que é proporcional à densidade de partículas, é uma gaussiana. Os núme- ros aleatórios, com distribuição gaussiana centrada na origem, foram gerados a partir da função gasdev do Numerical Recipes. O programa tem como resultado a densidade ρ(x), já normalizada para cada valor de tempo e temperatura dados no início do código. program difusao
implicit none
integer i,j,k !Variáveis auxiliares integer n,nstep,iprint
parameter(n=10000) !n é o número de partículas
integer*2 seed(3) !Funções geradoras de números aleatórios: real*8 rand48 !rand48 e gasdev para distribuição
real gasdev !uniforme e normal.
real temper,Const !Temperatura e intensidade do ruído. real x(n)
real v(n),T real f(n),dt
med=100 !Número de realizações com sementes distintas. bin=0.5 !Tamanho de cada caixa do histograma.
xmax=100.0 !Histograma é feito no intervalo [-xmax,+xmax] nc=int(2.0*xmax/bin)+1!Número de caixas do histograma.
iprint=2000 !Número de passos para fazer o histograma. nstep=10000 !Número total de passos.
ntime=nstep/iprint !Número de histogramas. dt=0.01000 !Infinitesimal de tempo.
temper=0.50 !Temperatura (kT).
Const=sqrt(2.00*temper/dt)!Variância da Força Flutuante. seed(1)=-1264
seed(2)=-9078 !Valores iniciais das
seed(3)=-5370 !Sementes (rand48 e gasdev do Numerical Recipes).
cont=0 !Contador.
do k=1,med !Laço das médias.
t=0.0 !Zerando o tempo.
x=0.0 !Zerando as posições.
time=1 !Indexando o tempo (iprint*dt). seed(1)=seed(1)+79
seed(2)=seed(2)-76
seed(3)=seed(3)+34 !Alterando as sementes. do i=1,nstep
do i=1,n
f(i)=Const*gasdev(seed) !Cálculo da força flutuante. end do
do j=1,n
x(j)=x(j)+f(j)*dt !Integração do movimento da n partículas. end do
t=t+dt
!Fazendo a contagem das partículas no espaço e no tempo. if(mod(i,iprint).eq.0)then do j=1,n cx=int((x(j)+xmax)/bin)+1 if(cx>0.and.cx<nc+1)cont(time,cx)=cont(time,cx)+1 end do time=time+1 end if end do end do
!Escrevendo os resultados em arquivo. do time=1,ntime
do j=1,nc
xx=-xmax+bin/2.0+float(j-1)*bin write(*,*)xx,rho
end do write(*,*) end do
APÊNDICE C -- Artigos Publicados
No final desta tese anexamos a nossa publicação, Referência [4] bem como os comen- tários e respectivas respostas publicadas sobre o artigo [79, 102, 103, 104, 105, 106].
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[104] ANDRADE, J. S. et al. Reply to the comment on “Thermostatistics of Overdamped Motion of Interacting Particles”. arXiv:1104.5036, Apr 2011.
[105] LEVIN, Y.; PAKTER, R. Rejoinder on “Thermostatistics of Overdamped Motion of Interacting Particles”. arXiv:1105.1316, May 2011.
[106] ANDRADE, J. S. et al. Surrejoinder to the Comment on: "Thermostatistics of Over- damped Motion of Interacting Particles"by Y. Levin and R. Pakter. arXiv:1106.3277, Jun 2011.
Thermostatistics of Overdamped Motion of Interacting Particles
J. S. Andrade, Jr.,1,3G. F. T. da Silva,1A. A. Moreira,1F. D. Nobre,2,3and E. M. F. Curado2,3
1Departamento de Fı´sica, Universidade Federal do Ceara´, 60451-970 Fortaleza, Ceara´, Brazil
2Centro Brasileiro de Pesquisas Fı´sicas, Rua Xavier Sigaud 150, 22290-180, Rio de Janeiro-RJ, Brazil
3
National Institute of Science and Technology for Complex Systems, Rua Xavier Sigaud 150, 22290-180, Rio de Janeiro-RJ, Brazil
(Received 8 August 2010; published 22 December 2010)
We show through a nonlinear Fokker-Planck formalism, and confirm by molecular dynamics simula- tions, that the overdamped motion of interacting particles at T ¼ 0, where T is the temperature of a thermal bath connected to the system, can be directly associated with Tsallis thermostatistics. For sufficiently high values of T, the distribution of particles becomes Gaussian, so that the classical Boltzmann-Gibbs behavior is recovered. For intermediate temperatures of the thermal bath, the system displays a mixed behavior that follows a novel type of thermostatistics, where the entropy is given by a linear combination of Tsallis and Boltzmann-Gibbs entropies.
DOI:10.1103/PhysRevLett.105.260601 PACS numbers: 05.10.Gg, 05.20.y, 05.40.Fb, 05.45.a
Nonlinear Fokker-Planck equations (FPEs) [1] are fre-
quently employed to represent macroscopically physical and chemical systems displaying anomalous diffusion be-
havior [2]. Scientifically and technologically important
examples of such systems include, among others, the
flow through porous media [3], the dynamics of surface
growth [4], the diffusion of polymerlike breakable micelles
[5], and the dynamics of interacting vortices in disordered
superconductors [6–8]. A typical nonlinear FPE may be
written in the general form [1,9]
@P @t ¼ @½AðxÞ ðPÞ @x þ @ @x ðPÞ@P @x ; (1)
where the external force AðxÞ is associated with a potential ðxÞ [AðxÞ ¼ d ðxÞ=dx], and the analyticity of the po- tential as well as the integrability of the force are assumed to hold in all space. The functionals ½Pðx; tÞ and ½Pðx; tÞ satisfy requirements of positiveness, integra-
bility, and differentiability with respect to Pðx; tÞ [9].
Moreover, in order to preserve the probability normaliza- tion for all times, one should impose the probability dis- tribution, together with its first derivative, as well as the product AðxÞ ½Pðx; tÞ, to be zero in the limits x ! 1.
An important result associated with nonlinear FPEs is
the H theorem and its generalizations [1,9–13]. In the case
of a system subjected to an external potential, the H theorem leads to a well-defined sign for the time derivative of the free-energy functional,
F ¼ U S; U ¼Z1
1
dx ðxÞPðx; tÞ; (2)
where represents a positive Lagrange multiplier and the entropy may be considered in a very general form as
S½P ¼Z1 1 g½Pðx; tÞdx; gð0Þ ¼ gð1Þ ¼ 0; d 2g dP2 0; (3)
with the condition that g½Pðx; tÞ should be at least twice
differentiable. Considering the FPE (1), for dF=dt 0
[9,13], we obtain d 2g½P dP2 ¼ ½P ½P: (4)
A relevant outcome of Eq. (4) is that the ratio ½P= ½P
determines an entire class of FPEs associated with a single
entropic form [9,13]. Here we are interested on the follow-
ing type of nonlinear FPE [14,15]:
@P @t ¼ @½AðxÞP @x þ D @ @x P1@P @x ; (5)
where D is a constant, is a real number, and the func-
tionals in Eq. (1) correspond to ½Pðx; tÞ ¼ Pðx; tÞ and
½Pðx; tÞ ¼ D½Pðx; tÞ1. By substituting these quanti-
ties in Eq. (4), integrating and using the conditions (3), one
obtains Tsallis entropy [9,16,17], for which
g½P ¼ k½Pðx; tÞ
Pðx; tÞ
1 ; (6)
where k D= . Considering an external force
AðxÞ ¼ x ( 0), the solution for Eq. (5) with initial
condition Pðx; 0Þ ¼ ðxÞ is given by the distribution
Pðx; tÞ ¼ BðtÞ½1 þ ðtÞð1 Þx21=ð1Þ
þ ; (7)
where ½yþ¼ y, for y > 0, and zero otherwise. The time-
dependent parameters BðtÞ and ðtÞ are defined in such a way as to preserve the norm and the form of the distribu-
tion for all times [14,15,18]. Equation (7) corresponds
exactly to the distribution obtained through extremization
of Tsallis entropy Eq. (6), for the energy defined as in
Eq. (2), and under standard constraints of probability nor- malization. It is important to notice that, by substituting
¼2 q in Eq. (7), one recovers precisely the usual
distribution of nonextensive statistical mechanics, known as q Gaussian, as obtained through a more general defini-
tion for the internal energy [17].
Additionally, the way in which the system evolves dy- namically, as well as its stationary state, provides distinc- tive signatures of anomalous diffusion behavior. For small times t 1, it is possible to show that the diffusion
propagation front xðtÞ dictated by Eq. (5) advances as
hxðtÞi / t2=ðþ1Þ [13]. In the limit t ! 1, the system ap-
proaches the stationary state given by
PstðxÞ ¼ B½1 x21=ð1Þþ ; (8)
depending on the initial time t0, ¼ ðt0Þ½B=Bðt
0Þ2,
and B¼ ½ Bðt0Þ2=2D ðt
0Þ1=ð1þÞ. One should stress
that this form of stationary distribution holds for any con-
fining potential ðxÞ, by simply replacing in Eq. (8) the
term x2 with ðxÞ [14].
Next we show that the microscopic behavior of a system of interacting particles undergoing overdamped motion is fully compatible with a continuum nonlinear diffusion equation. Moreover, we find that such a continuum formu- lation for a highly dissipative system corresponds to the
FPE (5) with ¼ 2. We start by considering the equation
of motion for a particle i in a system of N overdamped particles, ~vi¼ X jÞi ~ Jð~ri ~rjÞ þ ~Feð~riÞ þ ð ~ri; tÞ; (9)
where ~viis the velocity of the ith particle, is the effective