6.1 Validação com o Filtro de Kalman do Método CCA para Séries Temporais
6.2.3 Validação para o Processo de Enrolamento Industrial
As saídas do processo de enrolamento industrial estimadas com o filtro de Kalman ^
𝑦(𝑘) e as saídas do processo de enrolamento industrial medidas 𝑦(𝑘), para o conjunto total
de dados (𝑦(𝑘)|𝑘 = 1 . . . 𝑁 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑁 = 2500), são apresentadas nas Figuras 6.13 e 6.14.
0 500 1000 1500 2000 2500 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 No.de amostras
Saida
y1 Dados yest filtro 1Figura 6.13 – Saída 1 Estimada do Filtro de Kalman e Saida de Dados Enrolamento Industrial. 0 500 1000 1500 2000 2500 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 No.de amostras
Saida
y2 Dados yest filtro 2Figura 6.14 – Saída 2 Estimada do Filtro de Kalman e Saida de Dados Enrolamento Industrial.
Nas Figuras 6.13,e 6.14, mostra-se de forma gráfica a comparação entre as series temporais estimadas (em vermelho) e as series temporais medidas (em azul).
Capítulo 6. VALIDAÇÃO DE MODELOS USANDO O FILTRO DE KALMAN 97
A matriz de covariância de inovação 𝑅 obtida com o método CCA para o conjunto total de dados, é: 𝑅 = ⎡ ⎣ 0.0073 −0.0075 −0.0075 0.0835 ⎤ ⎦ O traço da matriz 𝑅 é 0.0909.
Para a validação dividiu-se o conjunto de dados em 2 subconjuntos de 1250 dados cada um.
Na Tabela 6, apresentam-se os traços 𝑇 𝑟{.}, das matrizes 𝑅 e 𝜙, para cada sub- conjunto de de dados.
Tabela 6 – Comparação dos traços das matrizes de covariâncias do Evaporador Industrial.
# do subconjunto 𝑇 𝑟{𝜙} 𝑇 𝑟{𝑅}
1 0.3446 0.0326
2 0.5473 0.1023
Na Figura 6.15 mostra-se o gráfico dos traços das matrizes de covariância do erro de predição calculados para cada subconjunto de dados.
1 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figura 6.15 – Traços das matrizes de covariância do erro de predição Enrolamento Indus- trial.
98
Conclusões e Comentários
Nos estudos e análises apresentados neste trabalho cabe salientar que: o método de Akaike é inovador no âmbito da teoria de realização estocástica mínima, conseguindo trazer uma solução de estatística para o campo da identificação e modelagem. A inter- pretação geométrica por subespaços e cálculos matricias de Akaike facilita os algebrismos pois, o problema do cálculo de um preditor ótimo do futuro é resolvido por um simples cálculo de projeção ortogonal (expresso em covariâncias) sobre o espaço de dados, com o qual garante a otimalidade do preditor; sendo o preditor um preditor ótimo, o cálculo da matriz de Hankel de covariâncias é realizado diretamente com o preditor do futuro, e sendo o espaço de estado considerado o espaço preditor, o problema limita-se à busca de uma base dentro de dito espaço como vetor de estado do modelo no espaço de estado. Como se mostrou nos algoritmos e na análise teórica, tendo o vetor de estado, o pro- blema reduz-se a uma resolução básica de regressão linear para a obtenção das matrizes do modelo no espaço de estado na forma inovativa (𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐾).
Nas aplicações demonstrou-se como o vetor de estado estimado, a ordem do sis- tema e o modelo no espaço de estado obtido pelo método CCA, descrevem os processos adequadamente. Isto é validado com os parâmetros de Markov e os sinais obtidos dos mo- delos estimados. Os sinais estimados são comparados com os sinais do processo, de forma gráfica através da resposta temporal e quantitativamente calculando a percentagem de ajuste dos sinais.
A finalidade da estimação é predizer o futuro a partir dos dados do passado; aplicando à análise de correlação canônica como método de escolha do vetor base, garante- se a melhor estimação do vetor de estado, já que o método CCA calcula o vetor base que contem as maiores correlações entre os dados do futuro e do passado, o que permite ter uma melhor predição do futuro.
Durante esta dissertação mostrou-se como o método de análise de correlação canô- nica é uma potente ferramenta capaz de calcular modelos ótimos tanto para séries tem- porais como para sistemas com entradas exógenas em malha aberta e em malha fechada. A metodologia de Akaike permite calcular os estados diretamente dos dados de entrada- saída sem necessidade de variáveis ou cálculos adicionais; estas estimações são obtidas de preditores ótimizados; com a análise de correlação canônica escolhe-se a melhor base dentro do espaço preditor como estado do sistema; todos estes cálculos são computacio- nalmente simplificados com os métodos de decomposição LQ e decomposição em valores singulares. Tudo isto mostra a genialidade e efetividade dos métodos apresentados neste trabalho e devidos a Kalman e a Akaike.
Conclusão 99
Na comparação feita entre o método CCA e o método MOESP para o caso da identificação de sistemas em malha aberta mostra-se que o método CCA permite en- contrar um modelo estocástico no espaço de estado na forma inovativa que é superior ao modelo obtido pelo método MOESP o qual não considera o ruído e é essencialmente deterministico.
O método de malha fechada com abordagem do conjunto controle-saída permite uma melhor identificação no sentido de tratar o problema considerando a análise de ma- lha fechada, diferentemente de outras abordagens onde a realimentação é omitida; ele também faz a análise de malha aberta para o cálculo direito da planta e do controlador, simplificando o problema de identificação de malha fechada. Essa abordagem conjunta de análise de malha fechada e de malha aberta torna possível o uso de métodos de malha aberta como o CCA para a identificação de sistemas de malha fechada.
O método CCA aporta ao problema de malha fechada a simplificação do trata- mento de multiplas entradas e multiplas saídas dos métodos de espaço de estado que facilitam a identificação de sistemas mais complexos.
De acordo com a teoria e as identificações feitas encontrou-se que o método CCA de identificação em malha fechada estima modelos de ordem aumentada tanto para a planta como para o controlador, isto, devido a que estima uma dimensão que é a soma da ordem da planta com a do controlador. Sugerimos uma nova pesquisa que inclua no método um processo de redução de modelo ou que modele a planta e o controlador de forma independente.
Nas diferentes implementações encontrou-se que as variáveis 𝑘(numero de linhas das matrizes bloco) e 𝑁 (numero de amostras para a identificação) são fundamentais no resultado das estimações; é necessário garantir uma quantidade de amostras suficiente- mente grande e o 𝑘 deve ser ajustado com respeito ao número de dados utilizados na identificação; 𝑘 deve ser sempre maior que a ordem do sistema e pode ser aumentado conforme o aumento de 𝑁 . Pesquisas futuras podem ser feitas em métodos para estimar um 𝑘 ótimo para cada caso.
Outras pesquisas futuras interessantes seriam o desenvolvimento das teorias e os algoritmos para aplicar o método de identificação por CCA a sinais e sistemas não lineares, variantes no tempo, assim como uma forma recursiva do método CCA para identificação on-line (em tempo real).
100
Referências
AKAIKE, H. Stochastic theory of minimal realization. IEEE Trans. Automatic control, AC-19, p. 667–674, 1974. Citado 2 vezes nas páginas 15 e 28.
AKAIKE, H. Markovian representation of stochastic processes by canonical variables.
SIAM J. control, v. 13, p. 162–173, 1975. Citado 3 vezes nas páginas 15, 28 e 35.
AKAIKE, H. Canonical correlation analysis of time series and the use of an information criterion. System identication: Advances and case studies (R. Mehra and D.Lainiotis,
eds), p. 27–96, 1976. Citado 3 vezes nas páginas 15, 28 e 36.
ALEGRIA, E. O. J. Estimação On-line de parâmetros dependentes do estado (State
Dependent Parameter - SAP) em modelos de regresão não lineares. Dissertação
(Mestrado) — Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, Dez 2015. Citado na página 14.
ALMEIDA, F. Identificação multivariavel de um processo de incineração de residuos
liquidos utilizando modelos nebulosos Takagi-Sugeno. Dissertação (Mestrado) —
Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, 2005. Citado na página 14.
AOKI, M. State Space Modeling of Time Series. [S.l.]: Springer-Verlag, 1987. Citado na página 40.
BARRETO, G. Modelagem Computacional Distribuída e Paralela de Sistemas e de
Séries Temporais Multivariáveis no Espaço de Estado. Tese (Doutorado) — Universidade
Estadual de Campinas, 2002. Citado 5 vezes nas páginas 14, 20, 30, 42 e 87.
BOTTURA, C. P. Analise Linear de Sistemas. Rio de Janeiro, Brasil: Guanabara Dois, 1981. Citado na página 17.
BOTTURA, C. P. Principios de Controle e Servomecanismos. Rio de Janeiro, Brasil: Guanabara Dois, 1981. Citado na página 70.
CHARAGUA, M. Modelagem Computacional de Dados Estocásticos Multivariáveis no
Espaço de Estado de Séries Temporais e de Sistemas Dinâmicos por Decomposição Ortogonal. Dissertação (Mestrado) — Universidade Estadual de Campinas UNICAMP,
2015. Citado na página 14.
FAURRE, P. L. Stochastic realization algorithms. In: MEHRA, R. K.; LAINIOTIS, D. G. (Ed.). System Identification Advances and Case Studies. [S.l.]: Elsevier, 1976, (Mathematics in Science and Engineering, v. 126). p. 1 – 25. Citado 5 vezes nas páginas 14, 28, 32, 33 e 35.
FORERO A. PUERTO, J.; BOTTURA, C. P. Identificação no espaço de estado de um sistema eletromecânico usando os métodos moesp e cca. SBAI, 2015. Citado na página 57.
FORERO A. PUERTO, J.; BOTTURA, C. P. Identificação no espaço de estado pelo método cca de uma bancada de vibração torcional. 2015. Citado na página 57.
Referências 101
FORSELL, U.; LJUNG, L. Closed-loop identification revisited. Automatica), p. 1215–1241, 1999. Citado 2 vezes nas páginas 16 e 71.
GIESBRECHT, M. Modelagem computacional do aquecimento de um motor de
indução monofasico aplicado em maquinas de lavar roupas durante a etapa de agitação.
Dissertação (Mestrado) — Universidade Estadual de Campinas, 2007. Citado na página 14.
GIESBRECHT, M. Propostas imuno-inspiradas para identificação de sistemas e
realização de séries temporais multivariáveis no espaço de estado. Tese (Doutorado) —
Universidade Estadual de Campinas, 2013. Citado na página 14.
GODOY, A. Modelagem de processos de acumulação de biomassa e de açucar da cana-de
açucar via sistemas nebulosos. Dissertação (Mestrado) — Universidade Estadual de
Campinas UNICAMP, 2005. Citado na página 14.
GUSTAVSSON I. LJUNG, L.; SÖDERSTRÖM, T. Identification of processes of closed-loop - identifiability and accuracy aspects. Automatica, vol.13, p. 59–75, 1977. Citado na página 16.
HO, B.; KALMAN, R. E. Effective construction of linear, state-variable models from input/output functions. Regelungstechnik, v. 14, p. 545–548, 1966. Citado na página 14.
HOTELLING, H. Relation between two sets of variates. Biometrika, v. 28, p. 322–377, 1936. Citado na página 15.
KALMAN, R. A new approach to linear filtering and prediction problems. Trans. ASME
J. Basic Engineering, v. 82D, p. 34–45, 1960. Citado 2 vezes nas páginas 25 e 87.
KATAYAMA, T. Subspace Methods for System Identification. [S.l.]: Springer, 2005. Citado 3 vezes nas páginas 24, 37 e 79.
KATAYAMA, T.; PICCI, G. Realization of stochastic systems with exogenous inputs and subspace identification methods. Automatica, v. 35, n. 10, p. 1635 – 1652, 1999. Citado 2 vezes nas páginas 15 e 43.
LARIMORE, W. Canonical variate analysis in identification, filtering, and adaptive control. In: Decision and Control, 1990., Proceedings of the 29th IEEE Conference on. [S.l.: s.n.], 1990. p. 596–604 vol.2. Citado na página 14.
LARIMORE, W. Identification of nonlinear parameter-varying systems via canonical variate analysis. In: American Control Conference (ACC), 2013. [S.l.: s.n.], 2013. p. 2247–2262. Citado na página 15.
LINDQUIST, A.; PICCI, G. Canonical correlation analysis, approximate covariance extension, and identification of stationary time series. Automatica, v. 32, n. 5, p. 709–733, 1996. Citado na página 15.
LJUNG, L. System Identification: Theory for the user. 1. ed. New Jersey, USA: Prentice Hall PTR, 1987. Citado 3 vezes nas páginas 14, 15 e 17.
LOPEZ, J. Contribução para seleção de Modelos no Espaço de Estado utilizando
Criterio de Informação. Dissertação (Mestrado) — Universidade Estadual de Campinas
Referências 102
PUERTO, J. Aplicação de técnicas de identificação paramêtricas e não paramêtricas em
uma bancada de vibração torcional. Dissertação (Mestrado) — Universidade Estadual de
Campinas UNICAMP, Dez 2013. Citado na página 57.
SÖDERSTRÖM, T.; STOICA, P. System Identification. [S.l.]: Prentice Hall, 1989. Citado na página 15.
TAMARIZ, A. D. R. Modelagem Computacional de Dados e Controle Inteligente no
Espaço de Estado. Tese (Doutorado) — Universidade Estadual de Campinas, 2005.
Citado na página 14.
TORRICO, A. F. Identificação e Controle Estocásticos Descentralizados de Sistemas
Interconectados Multivariáveis no Espaço de Estado. Tese (Doutorado) — Universidade
Estadual de Campinas, 2005. Citado 2 vezes nas páginas 14 e 24.
TRESPALACIOS, M. Contribuição computacional para o método de mínimos quadrados
recursivo e aplicações a múltiplas séries temporais. Dissertação (Mestrado) —
Universidade Estadual de Campinas UNICAMP, 2012. Citado na página 14.
VAN DENHOF, P.; CALLAFON, R. de. Multivariable closed-loop identification: from indirect identification to dual-youla parametrization. In: Proc. 35th IEEE Conference on
Decision and Control. [S.l.: s.n.], 1996. p. 1397–1402. Citado na página 15.
VAN DENHOF, P.; SCHRAMA, R. An indirect method for transfer function estimation from closed loop data. Automatica, v. 29„ n. 6, p. 1523–1527, 1993. Citado na página 16.
VAN OVERSCHEE, P.; DE MOOR, B. N4sid - subspace algorithms for the identification of combined deterministic - stochastic systems. Automatica, vol.30, p. 75–93, 1994. Citado na página 14.
VERHAEGEN, M. Application of a subspace model identification technique to identify lti systems operating in closed loop. Automatica, v. 29, n. 4, p. 1027–1040, 1993. Citado na página 72.
VERHAEGEN, M. Subspace model identification. part iii: Analysis of the ordinary output-error state space model identification algorithm. Journal of control, v. 58, n. 3, p. 555–586, 1993. Citado na página 14.
VERHAEGEN, M. Identification of the deterministic part of mimo state space models given in innovations from input-output data. Automatica, v. 30, n. 1, p. 61–74, 1994. Citado na página 14.
VERHAEGEN, M.; DEWILDE, P. Subspace model identification. part i: the output-error state space model identification class of algorithms. Journal of control, v. 56, n. 1, p. 1187–1210, 1992. Citado na página 14.
VERHAEGEN, M.; DEWILDE, P. Subspace model identification. part ii: analysis of the elementary output-error state space model identification algorithm. Journal of control, v. 56, n. 1, p. 1187–1210, 1992. Citado na página 14.