Validade de um Argumento: Silogismo e Falácia

Quando estudamos no capítulo anterior sobre as proposições, vimos que as mesmas recebem uma valoração: verdadeira(V) ou falsa(F). No estudo dos argumentos, esses também recebem uma valoração, sendo essas em válido ou inválido.

Definição 3.2 (Argumento válido) Dizemos que um argumento é válido, quando é impossível que

sendo todas as premissas verdadeiras1resultem em uma conclusão falsa.

De uma maneira mais técnica podemos definir da seguinte forma: Um argumento é válido se, e somente se, for uma implicação tautológica, em que o antecedente é a conjunção das premissas e o consequente,a conclusão.

Um argumento p1, p2, p3, . . . , pn` Qé válido se, e somente se, p1∧ p2∧ . . . ∧ pn→ Q

Exemplo 3.1

P1. Se o número 2 é par então ele é impar. P2. O número 2 é par.

Q. Logo, o número 2 é ímpar.

Note que o argumento do exemplo dado é válido, apesar de sabermos que o número 2 não é ímpar. Para verificarmos se um dado argumento é válido ou não, consideramos verdadeiras suas premissas e verificamos se a conclusão decorre corretamente das mesmas.

É evidente que os argumentos que nos interessam não são desse tipo, mas aqueles em que po- deremos analisar a veracidade ou não de suas premissas dentro da concepção do que é conhecido em matemática e não apenas considerá-las verdadeiras.

Definição 3.3 (Argumento inválido) Dizemos que um argumento não é valido somente na situa-

ção em que, todas as premissas são verdadeiras, mas a conclusão é falsa ou não decorre das premis- sas, nesse caso o argumento é denominado uma falácia ou sofisma.

1_{Vale lembrar que na lógica formal uma premissa ser verdadeira não quer dizer necessariamente que está de acordo}

com as concepções de verdade que temos sobre o objeto em questão, até porque o objetivo da lógica não é estudar a veracidade de uma proposição, mas as possibilidades de valoração para uma proposição.

Exemplo 3.2

P1. Se o número 2 é par então ele é ímpar. P2. O número 2 é ímpar.

Q. Portanto, o número 2 é par.

Se houver dúvida quanto a invalidade desse argumento, sugiro que retorne ao Capítulo 2 na seção que trata sobre contrapositiva e recíproca.

Definição 3.4 (Silogismo) De acordo com Aristóteles, silogismo é um argumento pelo qual, a partir

de um antecedente cujas premissas ligam dois termos a um terceiro, podemos concluir um conse- quente que liga esses dois termos entre si. De maneira mais direta definimos que silogismo é um tipo especial de argumento com duas premissas que culminam em uma conclusão, e todas as proposi- ções(premissas e conclusão) são proposições categóricas, isto é, proposições que tenham qualquer uma das quatro formas lógicas a seguir:

• Todos A é B.(universal afirmativa)

Utilizando-se a teoria dos conjuntos, vamos exemplificar o que significa dizer todo A é B à luz dos diagramas de Venn.

Nesse caso temos duas situações. 1º caso:

Exemplo 3.3 Todo número inteiro é também racional.

Se denotarmos por A o conjunto dos números inteiros e por B o conjunto dos números raci- onais, a representação gráfica de tal proposição seria representada pela figura que segue:

Figura 3.1: O conjunto A dentro do B

Exemplo 3.4 Todo número múltiplo de 2 e de 3 simultaneamente é também múltiplo de 6.

Sendo A o conjunto de todos os números que são múltiplos de 2 e de 3, e B o conjunto dos múltiplos de 6. Uma representação da proposição acima é dada por:

Figura 3.2: O conjunto A igual ao conjunto B

• Nenhum A é B.(universal negativa)

Exemplo 3.5 Nenhum número negativo é natural.

Para esse tipo de proposição, fazendo uso dos diagramas de Venn, temos apenas uma situ- ação: Consideremos A como sendo o conjuntos dos números negativos e B o conjunto dos números naturais, seguindo os preceitos da matemática, a intersecção entre A e B é nula, sendo assim fica corretamente representada por:

Figura 3.3: Os conjuntos são disjuntos

• Algum A é B.(particular afirmativa) Para esse tipo de proposição analisaremos 4 casos dis- tintos.

Nesse caso temos quatro situações possíveis: 1º caso:

Segundo o mesmo padrão dos exemplos anteriores, considere A como sendo o conjunto de todos os múltiplos de três e B o conjunto de todos os múltiplos de 6, segue diagrama que exemplifica tal proposição:

Figura 3.4: Os dois conjuntos possuem apenas alguns elementos em comum

2º caso:

Exemplo 3.7 Alguns múltiplos de 6 são pares .

Seja A o conjunto de todos os múltiplos de 6 e B o conjunto de todos os números pares, daí segue da proposição anteriormente enunciada a seguinte figura:

Figura 3.5: O conjunto A está dentro no conjunto B

3º caso:

Exemplo 3.8 Alguns números pares são múltiplos de 6 .

Agora considerando A o conjunto de os números pares e B o conjunto de todos os múltiplos de 6, temos:

Figura 3.6: O conjunto B está dentro do conjunto A

4º caso:

Exemplo 3.9 Considere A como sendo o conjunto dos números naturais e B o conjunto de

todos os inteiros não negativos, não é difícil notar que o conjunto A é igual ao conjunto B.

Figura 3.7: O conjunto A igual ao conjunto B

• Algum A não é B.(particular negativa)

Já no caso em que exite algum elemento em A que não seja elemento de B, temos três situa- ções:

1º caso:

Exemplo 3.10 Alguns triângulos não são equiláteros

considerando A como sendo o conjunto de todos os triângulos e B o conjunto de todos os triângulos equiláteros, podemos então representar tal proposição por:

2º caso:

Exemplo 3.11 Algumas funções injetivas não são sobrejetivas

è de fácil verificação que sendo A o conjunto das funções injetivas e B o conjunto das funções sobrejetivas, a intersecção entre as duas funções é formada pelas funções bijetivas.

Figura 3.9: Os dois conjuntos possuem apenas alguns elementos em comum

3º caso:

Exemplo 3.12 Algumas matrizes quadradas não possui determinantes

Sendo A o conjunto das matrizes quadradas e B o conjunto das matrizes que não possuem determinantes, segue:

Figura 3.10: Os conjuntos são disjuntos

Veremos a seguir um exemplo de silogismo, assim como foi definido anteriormente:

Exemplo 3.13 Exemplo de silogismo:

1. Todos os números inteiros são racionais. 2. Todos os números naturais são inteiros. 3. Logo, todos os naturais são racionais.