valor m (A) significa a crença que alguém associa exatamente a A e não a crença total em A [SHA76], Esta parcela de

crença não pode ser subdividida entre os subconjuntos de A e não inclui a crença associada a estes subconjuntos. Além disso, a crença em um subconjunto A evidentemente engloba a crença em subconjuntos que contenham A. Analogamente, para se determinar a crença total no subconjunto A, deve-se somar as crenças associadas aos seus subconjuntos próprios. Esta soma caracteriza a Fxinção de

Crença C r.

D e f i n i ç ã o 5 - 2 [SHA763

Uma função Cr: 2& — ► [0,1] é chamada uma Fxinção de

Crença sobre © se, para alguma probabilidade básica associada rn :

2 — *• [0,1], seu valor é dado por :

Cr (A) = £ m (B) B c A

Uma Função de Crença, portanto, correspondendo a uma probabilidade básica associada especí fica m, associa para todo subconjunto A de © a soma das crenças atribuídas exatamente a qualquer subconjunto de A por m [G0R84]. Considerando o exemplo das vendas de veículos, uma função de Crença possível é :

V. TEORIA DA EVIDÊNCIA 129

Cr ({/w, Ford, Fiat}) — m ({/w, Ford, Fiat}) + m. ({Kití, Ford}) + m ({Kw, Fiat}) + m ({Ford, Fiat}) + m ({Vw}) + m ({Ford}) 4- m ({Fiat})

Do exemplo anterior, nota-se que Cr e m são iguais somente para conjuntos unitários. Para qualquer outro subconjunto A de ©, a crença Cr (A) é a soma dos valores de m para os subconjuntos contidos por A. Pela definição da probabilidade básica associada, Cr (©) é sempre igual a 1. Isto intuitivamente é óbvio, já que, como as hipóteses são exaustivas, a crença total em

seu conjunto universo © deve somar 1 [GOR84].

No exemplo 5-2, as funçSes de crença resultantes são :

a) Cr ({Vw, Ford}) = m ({Vw, Ford}) + m ({l^u}) + m ({Ford})

= 0.7 + 0 + 0

0.7

b) Cr ({A / A * {Vw, Ford} e A * ©}) = 0 e c) Cr (©) = m (©) + m ({^w, Ford}) +

m ({A / A * {yw, Ford} e A ^ ©}) = 0.3 + 0.7 + 0

=

1.0

5.3.4. A C o m b i n a ç ã o das F u n ç õ e s d e Crença.

Durante o processo de raciocínio, as observações do especialista são incrementais. A cada nova observação, o perito reavalia suas crenças nas hipóteses prováveis. Esta capacidade de combinar múltiplas observações e reavaliar (atualizar) as chances de cada hipótese deve estar presente na técnica que modela o tratamento de incerteza do especialista.

A Teoria da Evidência combina as observações através de uma regra aplicada ás suas respectivas funções de crença. Trata-se da Regra de Combinação de Dempster. Esta regra constitui o mecanismo pelo qual se pode atualizar os valores de crença dos subconjuntos de © quando uma nova evidência é adquirida. Pela Regra de Dempster, dadas duas funções de crença Cri e Cri, baseadas em duas observações com o mesmo quadro de discernimento,

V. TEORIA DA EVIDÊNCIA 130

pode-se computar uma nova função de crença Cri - © Crz que representa o impacto da evidência (observação) combinada.

5. 3 . 4 . a. C o m b i n a n d o D u a s F u n ç õ e s d e C r e n ç a

Dadas Cri e Cr2 e mi e na denotando duas funçSes de crença e suas respectivas pba'a, a regra de Dempster computa uma pba atualizada, denotada ms © m z, representado o efeito combinado de m e m z. A função de crença correspondente é denotada por Cri © Cr2 e calculada pela definição da função de crença aplicada ao valor de mx © m z . 0 cálculo de m± © m2(A), onde A é um conjunto qualquer de ©, é a soma de todos os produtos da forma m±(X).mz(Y), onde X e Y assumem todos subconjuntos cuja intersecção é A.

Shafer [SHA76] ilustra a Regra de Dempster dispondo os conjuntos afetados por mi e mz em um quadro, onde uma célula i, j representa a intersecção dos conjuntos Xl associado a mx e Yj associado a mz, respectivamente. 0 mecanismo de atualização dos valores de crença e a formação deste quadro de intersecç3es são melhor visualizados no exemplo a seguir.

E x e m p l o 5 - 4

Suponha-se a existência das duas evidências parciais dos exemplos 5-2 e 5-3 anteriores com relação à dominância nas vendas dos membros de © = \Vw, Ford, Fiat ,CH&x> \ . A primeira evidência apóia a supremacia das empresas da Autolatina com grau mi = 0.7, unquunlo a uuKtutidu ai-<5ia u uubcjunjunto Ford, Chex> ^ com grau

mz - 0.6. A consideração das duas evidências em conjunto modifica

os valores de crença dos subconjuntos de ©. Estes novos valores são obtidos pela regra de Dempster, baseando-se em mi e m z.

Esta atualização nos valores de crença dos subconjuntos de © pode ser sintetizada através do quadro de intersecções da figura 5-4, a seguir.

V. TEORIA DA EVIDÊNCIA ₁₃₁

mz

F o r d , Fiat , Ch&x> _{^ (0.40)} © _(0.6)

m± \Vw,Ford\ (0.7) Ford ^ (0.28) ]Vu>,Ford\ (0.42)

& (0.3) ^F o r d , F i a t , Ch&x> ^ (0.12) © (0.18)

FIGURA !5 — 4- : Exempl o d© A p l i c a ç ã o da R e g r a d© De m p s t e r .

A expressão que define m± + mz permite a omissão dos subconjuntos de © para os quais estas pba's são nulas, uma vez que com rni (X ) e/ou mz(Y) nulo(s), o produto mi(X).m2(Y) resultará em um valor nulo para mi © m2 (A), sendo A a intersecção de X e Y . Os valores de mx © mz são facilmente obtidos e são os seguintes:

mi © m2 ({Ford}) = 0.28 mi © mz ( {Vw, F o r d} ) = 0.42

mi © mz ( {Ford, F i a t , Ch&x>} ) = 0.12 mi © mz (©) = 0.18

mt © m2 = 0 para qualquer outro subconjunto de ©.

Como lembram Gordon e Shortliffe, os valores de Cri © Crz são um pouco mais complexos. A seguir alguns são apresentados.

Cri © Crz ({Vw,Ford}) = nu © mz ( {Vw, Ford} ) + mi © m2({Ku>}) + mi © mz ( {Ford } )

= 0.42 + 0 + 0.28 = 0.60

Cri © Crz ( {Ford, Fiat ,Chex>}) = mi © mz ( {Ford, Fiat , Ch&x>} ) +

mx © m2 ( {Ford, Fiat } ) + mi © m2 ( {Ford, Chev } ) + mi © m2 ( {Fiat, Ch&v } ) + mi © m2 ({Ford}) 4- mi © m2 ( {fiai}) + mi © m2 ( {Ch&x> } ) = 0 . 1 2 + 0 + 0 + 0 + 0 . 2 8 + 0 + 0 = 0.40

Cri © Crz ({Vw, Ford, Chex>} ) = Cri © Crz ({Vw,Ford}) - 0.6 uma vez que :

mi © mz ( {Vw, Ford, Ch&v} ) zz mi © mz ( {Vw,Ch&x>}) = mi © mz({Ford,Che\>}) — Q

V. TEORIA DA EVIDÊNCIA 132

5. 3. 4. b. Condições Necessárias

Uma vez que a combinação de funções de crença resulta em outra função de crença, o resultado das operações de conjunção deve satisfazer as seguintes condições :

S. 3. 4. bi. A Soma. das Crenças

mi © ma (A) = 1, onde A percorre todos subconjuntos de © - j

Xi OYj=A

Esta condição está garantida pela expressão que define /Tu © m2 [G0R84] :

nu. © mz - ^ ms. (X).£ m2 (Y) = 1 x 1 = 1

Quando o mesmo conjunto aparecer em mais do que uma das células no quadro anterior, o valor de mx © mz para este conjunto surge da expressão acima .

5. 3. 4. b2. Comxitat ix>idade

Uma questão importante na conjunção de evidências, já ressaltada no Capitulo IV (item 4.3.8.as), é a comutatividade da operação que as combina, isso porque a ordem pela qual o perito considera suas observações não deve alterar seu julgamento final. A operação mi & mz preserva a comutatividade, pois é definida pelo produto.

5. 3. 4. b3. A Crença Associada Ao Conjunto Vcuzio

Uma das condições necessárias às funções de crença é ;

m± ® mz (0) = 0

Esta condição é problemática nos casos em que o quadro das intersecções contiver células nulas. Tal situação não pode ser