5 (1,33) Valor Social Visão construída pelo

c2

(aolas) = (11^-4) = 0. (3.35)

On vérifie aisément que l’opérateur V satisfait aux conditions requisent

pour tout opérateur de projection;

= P et Vg = g, 'igeSo. (3.36)

L’opérateur

Q = l-V (3.37)

est aussi un opérateur de projection qui projette un vecteur g dans le

sous-espace orthogonal à £q.

Les calculs étant plus aisés en variables de Fourier-Laplace, définis­

sons la transformée de Fourier-Laplace discrète d’une variable discrète

a(r;t)

â(k; s) = «(r; 0 At (3.38)

n=0 r

OÙ

la somme sur r porte sur tout les noeuds du réseau. En projetant

(^(k, c; s) dans Sq au moyen de V, on obtient les grandeurs hydrody­

namiques

3 _

'P^(k,c;s) = Y, \ac,) Na À^{k; s) (3.39)

a=0

où les Aû(k;s) désignent les transformées de Fourier Laplace

io(k;5)

Ài(k;s)

^(k;5)

Â3(k;s)

ép(k;s) = «.4(k,c;s) (3.40)

t

^ix(k;3) = Kicf^(k,c;s) (3.41)

t

^iy(k; 5) = X! ««■ c; s) (3.42)

t

ïe(k;s) - c^ép(k;s) = ^ Ki (^cf - c^).f(k,c; s)

(3.43)

De la transformée de Fourier-Laplace de (3.29) résulte une équation

d’évolution pour les composantes ^(k, c;s);

(3.44)

OÙ

(/>,(k) = (^,(k;t = 0) est la transforée spatiale de (f>i{r;t) au temps

initial t = 0^®. Léquation (3.44) peut être reformulée comme

e*'^‘l<^(k;s)) - £l<^(k;s)) = |<?i(k)). (3.45)

en introduisant la notation ^,(k;5) = |^(k;s)) ainsi que l’opérateur C

défini par la relation

£|«k;s)) = + âi)^i(k;s) (3.46)

i

Les opérateurs de projection P et Q sont maintenant utilisés pour

séparer l’équation cinétique (3.45) en une “équation hydrodynamique”,

|<^(k; s)) -VCV l<^(k; s))-VCQ |<^(k; s))

et une “équation de transport”,

e’“AiT>|.ÿ(k)),

(3.47)

e-^‘Q|ÿ(kis))-ez:eWk;»))-S£7>Wk;3)> = e'-^'Ai Q |^(k)).

(3.48)

facteur exp(s A<) qui apparait dans l’équation (3.44) est une conséquence de

la nature discrète de la dynamique. On retrouve cependant une expression identique

à celle de la théorie continue en faisant par exemple,

lim

-r-A( —0 At e''^‘,^(s)-(^(s)-e’^‘At</.(0)] = s^{s) - </>(0).

où le membre de droite est conforme à la transformation continue

3.5. COMPORTEMENT MACROSCOPIQUE 41

Nous avons décomposé la fonction en faisant usage de la relation

(P + Q) g = 9- La seconde équation (3.48) peut être utilisée pour

calculer la perturbation 21<^(k;s)), orthogonale aux variables lentes.

Pour cela il nous faut obtenir une expression pour l’opérateur résolvant

R QC ■

QCQ (3.49)

Pour passer de la première à la seconde ligne de (3.49) nous avons

utilisé la relation Q|<^(k;s)) = Q^l(^(k;s)) dans l’équation (3.48) à par­

tir de laquelle l’opérateur résolvant est défini. Le calcul de l’opérateur

résolvant équivaut à chercher la solution du système d’équations

linéaires inhomogènes

e*^‘- QCQ Q\<f>{^-,s)) h, (3.50)

pour une inhomogénéité h quelconque.

Supposons pour l’instant qu’une solution R au système d’équations

(3.49) soit connue. Dans ce cas l’équation de trajisport (3.48) peut être

reformulée

Q|fli(k;s)) = i?(e^^‘AfQ|çi(k)) + QCV\cf>{k-,s))). (3.51)

Cette équation donne une expression pour Q |(^(k; s)) que nous pou­

vons injecter dans (3.47) afin d’obtenir une équation dont la seule in­

connue est V |<^(k; s))

e’^^V\(l>{k-,s)) - e*^‘AfP|<^(k)) - V CV\<f>{k-s))

-VCRQCV\(j>{k-s)) =VCRe^^*AtQ\cf>{k)) (3.52)

Cette équation pour V\(f>{k;s)) dépend cependant de la condition ini­

tiale de la perturbation Q|<^(k; t = 0)), orthogonale aux variables lentes.

Les équations pour les grandeurs hydrodynamiques Àa(k; s) (3.40)

sont obtenues en utilisant (3.39) et en prenant le produit scalaire de

l’équation (3.52) avec les différentes vecteurs de base (aa|. Il en résulte

un système d’équations (a = 0,1,2,3)

e*^‘Âa(k;s) - e*^‘AMc(k;0) - ^ £,,i,(k;s)

<T=0

- è Ka,.À4k;s) = Uk;s) (3.53)

<7=0

Les éléments de matrice Caa (voir (3.46)) représentent les termes de

couplages cinématiques entre les variables Aa

Ccr = {aa\C\a„)N^

= (3.54)

compte tenu du fait que

ÙV\(f>)=0. (3.55)

Les effets des collisions sont contenus dans la matrice K, que l’on ap­

pelle communément/oncfion mémoire [6], et dont les éléments sont

Kaa = {aa\CQRQC\a,)N, (3.56)

ainsi que dans le terme /c(k;s) représentant la contribution de l’état

initial

Ia{k;s) = {üalCQRe^^^ AtQ\(j>{k-,0). (3.57)

Pour arriver à l’expression symétrique (3.56) pour Kaa et à

(3.57), nous avons utilisé le fait que RQ = QRQ. Les quatres

équations (3.53) décrivent la relaxation des grandeurs hydrodynamiques

Aa(k;s). On s’attend dès lors à ce qu’il existe un temps et une

longueur au delà desquels ces équations se ramènent aux équations

phénoménologiques pour les fluctuations hydrodynamiques - c’est à dire

pour l’hydrodynamique linéarisée. Pour faire apparaître la structure

habituelle des équations hydrodynamiques nous allons développer les

équations (3.53) pour At petit, en nous limitant au premier ordre en

3.5. COMPORTEMENT MACROSCOPIQUE 43

fréquence (5) et au deuxième ordre en longueur d’onde {k ^). Com­

mençons par évaluer les différents éléments de matrice

Catr-Cac ^ (a„|(l-ik-cAi-i(k-cAt)^)|a<,)iV<,

A/2

~ 6,. - ikiAt{aM)N, - |J-)iV,.(3.58)

où kl (/ = {x,î/}) représentent les composantes du vecteur d’onde; nous

avons utilisé la convention de sommation sur les indices répétés. Les

|Ja) sont les courants associés aux variables |aa)- Cette expression

pour les Caa est différente de celle que l’on rencontre dans une théorie

continue; cette différence se concrétise par la présence de termes d’ordre

0{k^) qui sont des effets du réseau dûs à la partie propagative de la

dynamique du gaz sur réseau. Nous verrons plus loin que ces termes

peuvent être absorbés dans la matrice de transport donnant lieu de

ce fait à un terme supplémentaire dans l’expression usuelle pour les

coefficients de transport. Le premier terme ôacr du second membre de

(3.58) disparaîtra lors du regroupement final des termes de (3.53), en

même temps que le terme indépendant de At dans

~ 1 -f sAt -h ^isAty. (3.59)

Reste le terme au premier ordre en â:, —iki At {aa\Jj^) N(f, seul terme

à avoir un terme équivalent dans une théorie continue et dont la valeur

est donnée par la matrice — At Lac où

L_Q<T

( °

ikxC^

i ky Cy

i kx

0

0

V 0 ikx{cl - c^)

où Cj et Cy sont les constantes

iky 0 ^

0 i kx

0 i ky

iky {cl-cl) 0 /

, ^ 1 (c^|c^)

2 (c^ll)

, _ 1 (c^|l)

^ 2 {i|i)

(3.60)

(3.61)

(3.62)

La matrice de la fonction mémoire Kq^ est d’une plus grande com­

plexité que jCa<

7

- Une expression complète pour les éléments Kq^ ne

peut être calculée car pour l’obtenir il faut inverser la matrice R du

résolvant. Nous allons donc, faute de mieux, rechercher une expression

approchée pour Kaa au moyen d’un calcul perturbatif en k.

(i) Considérons d’abord le vecteur droit QC\üa) qui apparait dans

la matrice de mémoire (3.56). En développant suivant les valeurs de k

et en nous arrêtant au premier ordre nous obtenons

QC\a,) = Q (1 -|- fl) [Off)

~ -ikiAtQ\Jl). (3.63)

Pour le vecteur gauche nous obtenons un résultat légèrement différents

{a,\CQ = (a,l[e-‘l^-^‘(l-f fi)]Q

~ -i k, At {Jl\{l + Ù)Q. (3.64)

Ces expressions contiennent les courants sous la forme

|J<.) = IJ..) - E K) (aa|J.) (3.65)

a=l

que l’on appelle habituellement le courant soustrait. La présence de

l’opérateur Q assure l’orthogonalité entre le courant soustrait et les

vecteurs propres hydrodynamiques.

(ii) Effectuons ensuite un développement en k pour l’opérateur

résolvant R. Nous procédons en deux temps; dans un premier temps

nous recherchons une expression conforme à l’expression continue et

ensuite nous appliquons le calcul perturbatif du

Ccis

continu.

La première étape s’écrit

R = - QCQ] '

1 + sAt -(ÿ - QÙQ + Q{ik- cAt){l + n)Q]"^

3.5. COMPORTEMENT MACROSCOPIQUE 45

Nous avons utilisé la relation QQQ = Ù qui s’explique par le fait que

Q projette tout vecteur dans le sous-espace orthogonal aux vecteurs

propres de valeur propre nulle, en conséquence de quoi

QÙQ(/> = Ù(f> (3.67)

pour tout vecteur <j). Nous avons aussi substitué l’identité à l’opérateur

Q^; cette substitution trouve sa justification dans l’équation de trans­

port (3.48) à partir de laquelle est défini l’opérateur R. Dans cette

équation, R~^ s’applique sur des vecteurs projetés Q^(k, c;s) et donc

Q2Q^(k,c;s) = Q^(k,c;s).

(iii) En combinant les résultats (3.63) et (3.64), on obtient pour

(3.56),

= -kik^ {Atf (J'1(1 + Ù)R IJ,”*) AT, (3.68)

où R est donné par (3.66). Cette expression pour la matrice mémoire

est fort semblable à celle que l’on rencontre dans la théorie continue

[6]. Nous allons suivre à présent l’approche habituelle qui consiste à

obtenir un développement de l’opérateur résolvant en puissances de k.

En appliquant à R (voir(3.66)) l’identité

A + B A A A + B

valable pour deux opérateurs ^4 et 5 quelconques, on obtient une

“équation intégrale ”,

^ ^ sAt-Ù ~

où nous avons introduit pour simplifier l’écriture,

H{k) = Q{i k • cA0(l + Ù)Q. (3.71)

Par itération de (3.70) on trouve le développement

R = ¹

sAt — Ù

1

+---1

sAt — Ù ^H(k)

1

H{k) ¹

sAt — fl

77(k) - ..

sAt — fl sAt — fl ^(3.72)

que l’on va considérer comme une série perturbative en puissances de

k. Avec cette série on obtient un développement de la matrice mémoire

en puissance de k

= A-<ÿ + A'£> + ... (3.73)

dont les termes sont proportionnelles à A;’*. Les vecteurs gauche

et droit, (3.63) et (3.64) ou encore (3.68), étant proportionnels à k, on

obtient à l’ordre le plus bas en k

K, c, A-W = - k,k„ {AiŸ {J'Jil + ü) \JT) N,. (3.74)

Cette matrice mémoire est bien définie dans la limite s ^ 0 et pour

toute valeur de A;, pour autant que les valeurs propres de îî - non nulles

- soient “suffisamment” différentes de zéro à k nul. Ce “bon” com­

portement dans la limite des temps longs tient au fait que l’opérateur

(s Af — Ù)~^ apparait toujours en combinaison avec le projecteur Q;

cette combinaison empêche l’introduction d’un terme singulier en s~^

dans (3.74) qui résulterait de l’action de Ù sur les modes hydrody­

namiques.

Examinons à présent le terme /a(k;s) contenant la condition ini­

tiale des grandeurs orthogonales aux modes hydrodynamiques. Dans

le language des équations de relaxation, et en particulier dans le con­

texte de l’équation de Langevin généralisée, on appelle /^(k; s) la “force

aléatoire”. En tenant compte des expressions (3.64) et (3.66) on obtient

à l’ordre le plus bas en A: et en s

7o(k;s) ~

-iA:,(Af)2(j'|(l-f-n) ^{________1_________}

sAt-Ù+ //(k)]

Q|<^(k;0)). (3.75)

La force aléatoire n’apparait pas dans les équations de l’hydrodyna­

mique; nous allons tenter de montrer que ce terme /«(k; s) doit dis­

paraître pour des temps suffisamment longs et pour de petites valeurs

de k. Intéressons nous au vecteur

3.5. COMPORTEMENT MACROSCOPIQUE 47

_________1_________

[5A^-î)+ H{k)] ^{Q|<?^(k;0)). (3.76)}

Si la condition initiale de la fonction de distribution /(r, c; t) est de la

forme (voir (3.28))

/(r,c;0) = /^''(c) + «(c) (C'i(r) + C2(r)-c + C3(r)(^c^-4))- (3.77)

où les Cy sont des fonctions de la positions, alors Ql(^(k;0)) = 0 et

cette condition reste valable pour tout temps t > 0. Qu’en est-il pour les

autres types de conditions initiales ? Cette question a trait à l’existence

de l’hydrodynamique dans les gaz sur réseau et dans les fluides réels

en général. Voyons ce que nous pouvons en dire, sans toutefois entrer

dans les détails techniques [5] que ce problème soulève.

Le résultat que l’on obtient suite à l’application de l’opérateur

résolvant sur le vecteur Q|<^(k;0)) dépend fortement du spectre des

valeurs propres de l’opérateur de collision Ù. On peut en effet s’attendre

à ce que, pour k suffisamment petit, l’opérateur

[/f(k) - ù]

ait un spectre égal au spectre de Ù plus un terme correctif proportionnel

à k. Appelons \n{k) < 0 les valeurs propres non-nulles associées aux

vecteurs propres autres que ceux associés aux modes hydrodynamiques.

En description temporelle, le terme Ia{k;t) aura un comportement du

type

/4k;t) = 't e""(*'^‘a„(k;0) (3.78)

n>5

OÙ

les a„(k;0) correspondent aux modes propres non-hydrodynami­

ques. L’existence dans le spectre de Ù de valeurs propres non nulles,

isolées des quatres valeurs propres nulles, assure la décroissance et à plus

ou moins long terme, l’annulation de /«(k; t). Le taux de décroissance

de Ia(k;t) est spécifique du modèle de gaz sur réseau. A la suite de

cette discussion nous supposerons que^®

lim lim/a(k; t) = 0 (3.79)

t—fOO fc—*0

Au point où nous sommes arrivés il est utile de rassembler les

différentes expressions que nous avons obtenues afin d’examiner la

forme des équations de relaxation (3.53) dans la limite des grandes

longueurs d’onde {k\c\At ■< 1) et des temps longs {sAt 1).

En portant les résultats (3.60), (3.74) et (3.79) dans (3.53) on

trouve:

(i) Au premier ordre, 0{s,k),

(1 + sAt)Âa(k;s) - (1 + sAt)At Ac(k;0) - ^ ^c«TÂ^(k;5)

<T

+ ik,AtJ2MJl)N,À,{k-,s) = 0, (3.80)

a

compte tenu de ce que

Caa = - ikiAt{aa\J[)N, + 0{k% (3.81)

/c. = 0{k% (3.82)

et de (3.79). En divisant (3.80) par At, nous obtenons (à la limite

sAt < 1)

s„(k;s) + iki N, Â,{k-,s) = A„(k;0), (3.83)

a

résultat qui correspond aux équations d’Euler.

(ii) Au deuxième ordre, 0{s^, k^), les équations (3.53) s’écrivent

(1 + sAt -|- ^s^Af^) Âc»(k; 5) — (1 + sAt + ^s^At^)At Aa(k;0)

- <5.. À.(k; 5) + ^ I„,(k) At Â,(k; s)

'®Ce comportement est assuré dans les modèles de gaz sur réseau que nous avons

étudiés; ainsi que nous aurons l’occasion de le voir plus loin, une analyse numérique

des valeurs propres du propagateur de Boltzmann confirme l’isolement des valeurs

3.5. COMPORTEMENT MACROSCOPIQUE 49

+(JLi 1 = °

où nous avons à nouveau fait appel à (3.79). Les équations (3.84) sont

divisées par At, et donnent à la limite sAt <C 1

sAMa(k;s) + ^s^AtÂa(k;s) - A„(k;0) +

+ ^L,,(k)i,(k;s)

<7

+ k,k„ y: [Ai(4l5K") +

a ^ s — Si

+ At(j'|—^|jr)]^a4(k;5) = 0 (3.85)

s — ü

où

Cette nouvelle définition de l’opérateur de collision permet de rétablir

le dimension correcte de l’équation de Boltzmann. En effet, dans

l’équation de Boltzmann discrète (3.29) l’opérateur Si est sans dimen­

sion alors que dans l’équation de Boltzmann continue il a la dimension

d’une fréquence. La transformation (3.86) définit un nouvel opérateur

de collision de dimensionalité conforme à celle de la théorie con­

tinue.

Nous traitons le terme ~ ^a(k; s) à partir de la solution du pre­

mier ordre, (3.83), soit

sMa(k;s) = s[s.4a(k;s)] = s[-i ki Y^{aa\Jp) Np Àp] (3.87)

0

où nous omettons le terme ~ Aa(k;0) étant donné que celui-ci appa-

raitra multiplié par sAt et disparaitra à la limite sAt <C 1. En itérant

le résultat (3.87), on obtient

/3

O-= (3.88)

a

Ce résultat est alors inséré dans (3.85). En tenant compte de ce que

(Jl\(i-V)\JT)N. =

= 0i\j7)N, (3.89)

la recombinaison des termes de (3.85) donne

sÂc,(k;s) - Aa(k;0) + L«„(k) Â<,(k; s)

<T

s) ^(k; a) = 0 (3.90)

a

S — St

+ Ai(ii|i + ^)|j")lA'. (3.91)

Les équations linéaires (3.90) possèdent certaines propriétés inex­

ploitées permettant de les simplifier davantage. Ces propriétés résultent

de leur structure: le produit $o<7(k; s) Â,,(k; s) fait apparaitre lors de

la transformation de Laplace inverse un produit de convolution

t=nAt

J] $aa(k;r)A^(k;t - t)At

r=0

où l’expression pour le noyau $a(,(k;r) est

3.5. COMPORTEMENT MACROSCOPIQUE 51

compte tenu de ce que la transformée inverse de Laplace d’une constante

donne un delta de Kroenecker. Ce terme de mémoire n’a rien de partic­

ulier; c’est une conséquence naturelle de l’élimination des variables rapi­

des. Physiquement nous sommes intéressés par l’équation d’évolution

des Acr(k;t) dont le changement n’est perceptible que sur des temps

longs,de l’ordre du temps de relaxation ~ k"^. Puisque Aff(k;t)

décroît très lentement , on peut en première approximation remplacer

Aff(k; t — r) par /l^(k; t) dans (3.92) et sortir ce terme de la somme. La

fonction $a<7(k; r) varie beaucoup plus rapidement: sa décroissance est

exponentielle avec un temps caractéristique Tc = où A est une

valeur propre non-nulle de l’opérateur de collision Ù. Dès lors, pour

des temps supérieurs au temps Tc, $a<,(k;r) est pratiquement nulle

ce qui permet d’étendre la sommation sur r jusqu’à l’infini; dans ces

conditions (3.92) devient Aq„ A„{\a\t) avec

^o<T ~ ^ ] ^acr(k;

t

) At

T=0 OO _ 1 n=0 ^ OO . 1 n=l ^ OO = 1

= E - A!«„o{ji|-|j”)]iV.A. (3.94)

n=0 ^

définissant ainsi la matrice de transport

Kaa-La procédure équivalente en variable de Kaa-Laplace consiste à prendre

la limite s —> 0 dans dans le terme ~ At dans l’expression (3.91), ce

qui revient à considérer la limite des temps longs au sens où dans ce

terme sAt —* 0 correspond k t ^ Tc = Atf X. On obtient

~ [(7i| -U - :^|Jr)l N„ (3.95)

résultat qui par transformée invere donne exactement la matrice de

transport (3.94).

Le système d’équations linéaires (3.90) qui résulte de cette analyse

sont les équations de l’hydrodynamique linéarisée du gaz sur réseau.

Leur structure est identique à celle des équations linéarisée de la théorie

continue [6]. Une comparaison entre ces dernières et les équations (3.90)

permet d’obtenir des expressions microscopiques pour les coefficients de

transport.

Remarquons qu’en reformulant

^aa(k;s) À<,(k;s) = Aca(s) Â<,(k; s) (3.96)

on peut définir formellement la matrice de transport comme

OO

A„(s) = N, e-' (4 |i(i)!,) Ai. (3.97)

t=0

C’est l’analogue dans les gaz sur réseau de l’intégrale de Green-Kubo,

qui à fréquence nulle (s = 0) et à la limite du continu (Ai —*■ 0) prend

la forme classique des coefficients des transport

Aa. = K dt(j'|J(0!,). (3.98)

Jo

Les relations de Green-Kubo (3.97) s’expriment comme une somme

alors que dans la théorie continue elles se présente sous la forme d’une

intégrale sur le temps; c’est une conséquence de la discrétisation de

l’espace et du temps au niveau microscopique qui subsiste donc au

niveau macroscopique. En outre les expressions pour les coefficients de

transport contiennent une partie dite propagative

qui est une autre conséquence de la nature discrète de la dynamique

Nous n’explicitons pas davantage les expressions microscopiques

pour les coefficients de transport car nous aurons l’occasion d’y revenir

lorsque nous étudierons la relaxation des fluctuations par la méthode

des fonctions de corrélation.(Chapitre 4)

^^Ainsi que le fait remarquer M.H.Ernst [19], ce terme est un effet de la

discrétisation du temps qui se manifeste également dans les modèles de marche

aléatoire sur réseau uniforme. La terminologie partie propagative qu’on associe

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