Variáveis Explicativas Introduzidas no Modelo

Les r´esultats concernant les orbites des modes gravito-inertiels dans l’approximation Boussi-nesq ont ´et´e publi´es dans la premi`ere partie de notre article Dintrans et al. (1999). Ils s’appuient sur l’utilisation intensive de l’interface graphique IDL que nous avons mise

au point pour les calculs des trajectoires de caract´eristiques (cf. l’annexe C pour une pr´esentation de cette interface). Nous en r´esumons ici les principales conclusions.

Les trois types d’orbites

Nous avons donc ´etudi´e les orbites de caract´eristiques se propageant: (i) dans une couche sph´erique de rapport d’aspectη = 0.35; ce rapport, d´ej`a utilis´e dans Rieutord & Valdettaro (1997), correspond au noyau liquide de la Terre suppos´e stratifi´e de mani`ere stable; (ii)

dans une sph`ere pleine. Des exemples d’orbites elliptiques E₁, E₂ et hyperboliques H₁, H₂ calcul´ees dans la couche sph´erique, sont donn´es par la figure 1 de Dintrans et al. Trois types d’orbites apparaissent alors:

1. l’orbite peut ˆetre ergodique, c’est-`a-dire qu’elle remplit la totalit´e du domaine hyper-bolique (Fig. 1d).

2. les caract´eristiques peuvent converger vers un attracteur, d´efinissant ainsi une orbite p´eriodique (Fig. 1b,1c,1e).

3. enfin, les caract´eristiques peuvent converger vers un coin, form´e par l’intersection entre la surface critique et les sph`eres externe ou interne, et l’orbite est pi´eg´ee (Fig. 1f).

Les diagrammes de Poincar´e

Afin d’´etudier toutes les orbites pour une stratification donn´eeN, nous avons ensuite trac´e les diagrammes de Poincar´e pour les quatre types de modes E1, E2, H1 et H2. Dans le cas des modes de gravit´e bidimensionnels du chapitre pr´ec´edent, le diagramme de Poincar´e ´etait construit en relevant, pour chaque orbite correspondant `a une valeur du param`etreτ, la positionx_n des r´eflexions successives `a la surface (cf.Fig. 2.10). Dans notre cas et pour la couche sph´erique, nous avons choisi d’enregistrer les co-latitudes θ<sub>n</sub> des r´eflexions sur la sph`ere interne enr =η pour les modesH et sur la sph`ere externe enr = 1 pour les modes E. Dans la sph`ere pleine, nous ne pouvions ´evidemment que prendre les co-latitudes des r´eflexions sur la sph`ere en r= 1.

Les diagrammes de Poincar´e (ω,θ_n) sont donn´es dans l’article par les figures 2a,2b et 2c pour la couche sph´erique et les figures 6a,6b et 7 pour la sph`ere pleine. On observe alors que:

• les orbites ergodiques (qui correspondent ici `a un grand nombre de points pour une valeur donn´ee deω) dominent, et ce aussi bien dans la couche sph´erique que dans la sph`ere pleine.

• quelques bandes d’attracteurs (qui correspondent `a un petit nombre de points de r´eflexion en ordonn´ee) apparaissent parmi ces orbites ergodiques. En particulier, la bande la plus large que nous ayons trouv´e (∆ω∼0.1) appartient aux modes elliptiques E et est situ´ee autour de ω∼1.1 (cf.Fig. 2c et l’exemple de la Fig. 1e).

• les orbites pi´eg´ees au niveau des coins form´es par les intersections entre une sur-face critique et une sph`ere d´elimitant le domaine apparaissent comme des r´egions

3.5 Calcul des orbites de caract´eristiques 41

Figure 3.4: Cartesθ_n+1=f(θ_n) pour une orbite ergodique (a) et un attracteur (b). d’accumulation de points (cf.Fig. 2b et 2c). Dans le cas des modesE₂ (max(1, N)< ω <√

1 +N2), nous notons que les caract´eristiques sonttoujourspi´eg´ees dans un de ces coins (Fig. 2c). A l’inverse, dans le cas des modes hyperboliquesH₂, l’accumulation de points n’est pas continue et quelques bandes blanches sont visibles dans le di-agramme de Poincar´e de la figure 2b. Toutes les orbites telles que ω < ηN de-vraient ˆetre normalement pi´eg´ees au niveau de la sph`ere interne. Ces quelques bandes blanches, qui sont bien dans la r´egion ω < ηN, indiquent pourtant que ce pi´egeage n’est pas syst´ematique;i.e.certaines orbites correspondent `a des attracteurs (cf. l’exemple de la Fig. 1c). A l’aide d’un petit calcul donn´e dans l’annexe A de l’article, nous expliquons cette absence de pi´egeage de la mani`ere suivante: il ne peut y avoir de pi´egeage des caract´eristiques que si au moins une r´eflexion sur la sph`ere interne se passe `a une latitude sup´erieure `a la latitude critique. En cons´equence, s’il existe un cycle limite pour les caract´eristiques dont toutes les r´eflexions sur la sph`ere interne se passenten-dessousde la latitude critique, le pi´egeage n’est pas pos-sible et l’orbite peut ˆetre p´eriodique. A l’inverse, si l’orbite est ergodique, il y aura n´ecessairement au moins une r´eflexion interne au-dessus de la latitude critique et le pi´egeage sera in´evitable !

Pour r´esumer cette ´etude des trajectoires de caract´eristiques, nous avons obtenu les trois types d’orbites suivants: ergodique, p´eriodique sous la forme d’un attracteur et focalis´e dans un coin. Ce faisant, du fait de la pr´ecision finie des machines de calcul, comment pouvons-nous ˆetre sˆurs qu’une orbite est ergodique et non pas p´eriodique avec une tr`es longue p´eriode ?

Les exposants de Lyapunov des orbites E₁

Pour illustrer ce probl`eme, nous avons trac´e les exposants de Lyapunov des orbites ellip-tiques dans la couche sph´erique avec N = 2.5 (Fig. 2d). Cet exposant a ´et´e d´ej`a d´efini au

chapitre pr´ec´edent (cf.relation 2.29); dans notre cas, nous avons ΛN = ¹ N N−1 ' n=1 ln $ $ $ $ dθn+1 dθ_n $ $ $ $ (3.28)

o`u N est le nombre total de r´eflexions de l’orbite, θ<sub>n</sub> la co-latitude du rebond n sur la sph`ere externe et dθ_n+1/dθ_n la d´eriv´ee locale de la carte θ_n+1 =f(θ_n) (voir e.g. Maas & Lam, 1995). Pour calculer ΛN, il nous suffit d’additionner le long d’une orbite les d´eriv´ees locales de la carte.

La figure 3.4 illustre deux exemples de cartes associ´ees `a des modes elliptiquesE<sub>1</sub> pour une orbite ergodique (a) et un attracteur (b), les d´eriv´ees de ces deux cartes ´etant trac´ees sur la figure 3 de l’article. On observe que dans le cas d’une orbite ergodique, la d´eriv´ee fluctue tr`es faiblement autour de 1 (cf. Fig. 3a) et l’exposant est tr`es proche de z´ero (ici, Λ<sub>∞</sub> = (1/2π)<sup>#</sup><sub>0</sub><sup>2π</sup>lnf′dθ ∼5×10−4). A l’inverse, dans le cas d’un attracteur, la d´eriv´ee locale est plus souvent inf´erieure que sup´erieure `a 1 (cf. Fig. 3b) et les contributions n´egatives l’emportent dans la somme (3.28): l’exposantΛ_N est franchement n´egatif (cf.Fig. 2d de l’article au niveau de la plus large bande de cycles limites pourω ≃1.1).

L’image physique qui ressort de tout cela est qu’une orbite visite des r´egions sur la sph`ere externe qui sont plus ou moins contractantes; i.e.on a les sc´enarios suivants

• si les caract´eristiques n’arrˆetent pas de rebondir dans des r´egions fortement contrac-tantes (i.e. o`u f′ = dθ_n+1/dθ_n ≪ 1), la trajectoire converge vers un attracteur et l’exposant de Lyapunov associ´e est n´egatif.

• si ces caract´eristiques visitent des intervalles tantˆot faiblement dilatants (f^′<

∼^{1), tantˆot}

faiblement contractants (f′>

∼^{1), l’orbite finale sera soit ergodique, soit p´eriodique mais}

de tr`es longue p´eriode. L’exposant de Lyapunov sera quasiment nul et, en fait, gu`ere diff´erent de Λ_∞. En pratique, on consid´erera qu’une orbite est ergodique d`es que Λ_∞≤10⁻⁴.