Variedades Invariantes - Bilhares com obstáculos

Nesta se¸cão descreveremos a geometria e a dependência em r ∈ (0, r0] das variedades invariantes associadas a pontos em conjuntos hiperbólicos de uma fam´ılia {Λr}r∈(0,r0]⊂ Mα como na se¸cão anterior.

Fixando r ∈ (0, r0] consideremos um conjunto Λre a decomposi¸c˜ao hiperb´olica TzMα = Eu(z) ⊕ Es(z), z ∈ Λr. Dado z ∈ Λr seja B(z, ) um bola

aberta centrada em z e de raio suficientemente pequeno de forma que B(z, ) ⊂ U_r−∩ U+

r . As variedades instável e estável locais de tamanho de um ponto z por Tα,r são respectivamente os conjuntos:

Wu(z) := {y ∈ B(z, ) : d(T_α,r−n(y), T_α,r−n(z)) → 0, n → ∞} Ws(z) := {y ∈ B(z, ) : d(T_α,rn (y), T_α,rn (z)) → 0, n → ∞}.

Segue do teorema variedade est´avel [11] que o conjunto Ws(z) ( resp. Wu(z)) ´

e uma curva de classe C1 contendo z e tangente a Es(z) (resp. Eu(z)). Pela preserva¸c˜ao dos cones Cs _{por D}

zTα,r−1 temos que Ws(z) é uma curva estável (como definimos na se¸cão3.4). De forma análoga Wu

(z) é uma curva instável. As variedades instável e estável globais de z ∈ Λrpor Tr respectivamente por:

Wu(z) := {y ∈ M : d(T_rn(y), T_rn(z)) → 0, n → ∞} Ws(z) := {y ∈ M : d(T_r−n(y), T_r−n(z)) → 0, n → ∞}

Pela descontinuidade de Tr os conjuntos Wu(z) e Ws(z) são a união enu- merável segmentos compactos de curvas de classe C1 _{cujos extremos est˜}_ao contidos nos conjuntos de singularidades S+∞=

n≥0Sne S−∞= S

n≥0S−n. Denotaremos por Wu

α(z) (resp. Wαs(z)) a componente conexa de Wu(z) ∩ Mα (resp. Ws_{(z) ∩ M}

α) contendo o ponto z.

Proposi¸cão 3.26. Se z0 ∈ Λr é tal que Sr−1(z0) = b ∈ Σm então Wαs(z0) é uma curva estável e vertical em U_b−

0 acumulada por curvas verticais est´aveis contidas em S

n≥0T −n

α,r(`0) e Wαu(z0) = T_i≥0Tα,ri (U −

bi)´e uma curva inst´avel e vertical em U_b+

1 acumulada por curvas verticais inst´aveis contidas em S

n≥0T n α,r(`0). Prova: Seja z0 ∈ Λre z−n= Tα,r−n(z0), n > 1. Se b ∈ Σmé tal que z0 = Sr(b) então z−n = Sr(a) onde a = σ−n(b). A variedade instável local Wu(z−n) é uma curva instável contida em U_a+₁∩ U−

a0 e o ponto z−nest´a contido na faixa est´avel U_[a,n−1]− = Tn

i=0T −i α,r(U

−

ai). Pelo lema 3.24, as curvas compenentes de ∂VU_[a,n−1]− covergem, quando n → 0, para uma curva vertical em Ua−0 que ´e

gráfico de uma fun¸cão g_b− : I → [0, 2π) estritamente decrescente. Portanto, existe n0 tal que se n > n0 então Wu(z−n) ∩ U[a,n−1]− é uma curva horizontal, ou seja interctando as duas componentes de ∂VU_[a,n−1]− como ilustrado na figura 3.14.

Figura 3.14:

Para todo n > 1 temos T_α,rn U_[a,n−1]− = U_[b,n]+ = Tn i=1T

α,r Ub−i, de fato, como a = σ−n(b) temos ai = bi−n para todo i ∈ Z e assim:

T_αnU_[a,n−1]− = n−1 \ i=0 T_α,r−i+n(U_a−_i) = n−1 \ i=0 T_α,r−i+n(Ubi−n) = n \ j=1 T_α,rj (Ub−j) = U + [b,n]

Pelo item (2) do lema3.22, temos ∂VU[a,n+1]− ⊂ T−n

α,r(∂Mα), donde Tα,rn (∂VU_[a,n]− ) = ∂HU_[b,n]+ . Recordando que para n > n0 a curva λ = Wu(z−n) ∩ U_[a,n−1]− é horizontal instável em U_[a,n+1]− conlu´ımos que T_α,rn (λ) ⊂ Wu(z0) é uma curva vertical instável em U_[b,n]+ ⊂ U_b+

1, ou seja a componente conexa de W

u_(z

0) ∩ Mα contendo z0 ´e um curva vertical e inst´avel em U_b+₁.

Pelo exposto acima temos Wu

α(z0) =T ∞ i=n0U

−

[b,n], para concluir que esta curva ´

e acumulada por curvas inst´aveis e verticais emS n≥0T

α,r(`0) observemos que a interse¸cão U_a−₁∩ `0é uma curva horizontal em Ua−1 e como já observamos an- teriormente a imagem desta curva por Tα,r é uma curva, ξ00, vertical instável em U+

ξ0 = ξ00∩ U −

[a,n−1] ´e uma curva horizontal e inst´avel em U −

[a,n−1]. Usando os mesmos argumentos do parágrafo anterior conclu´ımos que, para todo n > 1, a imagem ξn = Tα,rn (ξ0) é uma curva vertical e instável em U_[b,n]+ e assim obtemos uma sequência {ξn}n>1 de curvas verticais e instáveis em S_n≥0Tα,rn (`0) convergindo para Wu

α(z0). 2

No que se segue, a cada sequˆencia b ∈ Σm associamos as fam´ılia de pontos: {zr}r∈(0,r0] Sr(b) = zr ∈ Λr

Note que zr ∈ Ub+1∩ U

−

b0 se x, y ∈ X s˜ao os pontos normais tais que U

+ x,r = U

+ b1 e U_y,r− = U_b−

0. Associamos ´a fam´ılia {zr}r temos uma fam´ılia de segmentos de variedades

{Wu

α(zr)}r∈(0,r0] e {W

α(zr)}r∈(0,r0]

Segue do lema 3.26que cada W_αu(zr) ´e uma curva inst´avel e vertical em Ux,r+ donde, pelo lema 3.16, temos que {W_αu(zr)}r∈(0,r0] converge na topologia C

1 para o gr´afico G+_x. De forma an´aloga temos que {W_αs(zr)}r∈(0,r0]que converge na topologia C1 _{para o gr´}_{afico G}−

Na proposi¸cão a seguir descrevemos o comportamento assintótico, quando r → 0, das curvas: W_γu(zr) = Tr(Wαu(zr)) ⊂ Mα,r+ e W s γ(zr) = Tr−1(W s α(zr)) ⊂ Mα,r− (3.85) Proposi¸cão 3.27. Seja x ∈ X e H ⊂ [0, 2π) um intervalo tal que:

π1◦ F−1◦ T (x) /∈ J

seja D = H × I. Existe r0₁ < r0 dependendo de x e H tal que:

(1) Se {zr}r∈(0,r0] ´e uma fam´ılia tal que Sr(b) = zr para todo r e zr ∈ U

+ x,r ent˜ao a fam ´ılia {Wu

γ(zr) ∩ D}r∈(0,r0

1] converge na topologia C

1 _{para `}+ p ∩ D (2) Se {zr}r∈(0,r0] ´e uma fam´ılia tal que Sr(b) = zr para todo r e zr ∈ U

− x,r ent˜ao a fam ´ılia {Ws

γ(zr) ∩ D}r∈(0,r0

1] converge na topologia C

1 _{para `}− p ∩ D. Prova: Por reversilibilidade ´e suficiente provarmos o item (1) e como

{Wu

α(zr)}r∈(0,r0] converge na topologia C

1 _{para o gr´}_{afico G}+

x, é suficiente descrevermos o comportamento assintótico da fam´ılia {Tr(Gx)+}r∈(0,r0]. Se x = (β0, 0) ∈ X então G+x = {(β, ϕ) : β = β0 + ϕ}. Denotando (ψr(ϕ), θr(ϕ)) = Tr(β0 + ϕ, ϕ), ilustramos na figura 3.15 segmentos de tra- jetórias determinadas pelas condi¸cões iniciais (β0+ ϕ, ϕ) para alguns valores de ϕ. Na figura 3.15(2) as mesmas trajetórias prém considerando r0 < r.

Figura 3.15:

Variando ϕ em I = [−π₂,π₂] temos que o ângulo ψr(ϕ) varre um intervalo fechado de J = J (x, r) ⊂ [0, 2π) de extremos ψr(−π/2) e ψr(π/2). Deno- tando J0 = J0(x, r) = [0, 2π)\J temos que γ(J0) é o arco de γ não atingido pelas trajetórias partindo das condi¸cões iniciais (β0− ϕ, ϕ). Os extremos de γ(J0) são os pontos de interse¸cão com γ de duas retas paralelas tangentes a α e que distam 2r uma da outa.Portanto, o comprimento de J0 tende a 0 quando r → 0. Mais precisamente:

lim

r→0ψr(±π/2) = ψ(x) onde ψ(x) = π1◦ F −1_{◦ T}

r(x)

Como G+_x ´e uma curva com extremos em componentes distintas de ∂Mα temos que Tr(G+x) ´e uma curva com extremos em componentes distintas de M+

express˜ao2.17 que: dψr dϕ(ϕ) = − kr cos θr (2τr+ r cos ϕ) e dθr dϕ(z) = dψr dϕ (ϕ) − 2 (3.86) J´a que dψr dϕ(z) > 0, a curva Tr(G +

x) é o gráfico de uma fun¸cão Θr : J (x, r) → I. Como os extremos do intervalo J (x, r) convergem para ψ(x) quando r → 0 temos que dado um intervalo H ⊂ [0, 2π) tal que ψ(x) /∈ H existe r0 _{tal que} H ⊂ J (x, r) para todo r < r0 e o gráfico Tr(Gx) intersecta das duas retas verticais do bordo da faixa D = H × I ⊂ Mγ. Recordando que lim→0Mα,r+ = `+

p e considerando as observa¸c˜oes acima temos que limr→0Tr(Gx) ∩ D = `+

p ∩ D.

Figura 3.16:

Para ver que esta convergência de dá na topologia C1, observemos que pelas expressões temos:

dΘr

dψ (ψ) = 1 +

2 cos Θr(ψ) k(ψ) (2τr(ψ) + r cos ϕ)

(3.87)

Para todo ψ ∈ H temos limr→0Θr(ψ) = θ+p(ψ) e como τr(ψ) = ||α(ϕ) − γ(ψ))|| sendo α(ϕ) um ponto no obst´aculo temos limr→0τr(ψ) = τp(ψ) =

||p − γ(ψ)|| e assim: lim r→0 Θr dψ(ψ) = 1 + cos θ_p+(ψ) k(ψ)τp(ψ) = dθ + p dψ (ψ) (3.88)

Portanto a fam´ılia {Tr(G+x) ∩ D}r∈(0,r0_] converge na topologia C1 para `+_p ∩ D. 2

Observa¸cão 3.28. Pela proposi¸cão 3.26, para todo z ∈ Λr ∩ Ux,r+ existe uma sequência {ξn,r}n≥0 de curvas verticais e instáveis emS_n>0Tα,rn (`0) convergindo, quando n → 0, para Wu

α(zr). Fixando m temos pelo lema 3.16que {ξm,r}r∈(0,r0] converge na topologia C

1 _{para o gr´}_{afico G}+

x. Assim podemos substituir a fam ´ılia {Wu

α(zr)}r∈(0,r)] no enunciado da proposi¸c˜ao 3.27 por uma fam´ılia {ξm,r}r∈(0,r0] obtendo o mesmo resultado.

CAP´ITULO

4

Existˆencia de pontos peri´odicos normais

Neste cap´ıtulo trataremos da existência genérica de pontos periódicos normais provando o teorema B. Damos também a prova do corolário 1.3 que descreve a dinâmica genérica de bilhares com obstáculos.

4.1 Bilhares convexos gen´ericos

Uma oval ´e uma curva simples, fechada, convexa e de classe C2_{. Seja D o} conjunto das ovais γ : [0, 2π) → R2 _{parametrizadas pelo ˆ}_{angulo ψ ∈ [0, 2π)} entre o vetor tangente e um vetor fixo em R2_{. Este conjunto ´}_{e um espa¸co de} Baire [14] se munido da topologia induzida pela norma

||γ||C2 = max

ψ∈[0,2π{||γ(ψ)||, ||γ 0

Toda γ ∈ D possui um fibrado normal (γ(ψ), n(ψ)) de classe C1 onde n(ψ) é o vetor unitário normal γ0(ψ) apontando para o interior da região Qγ limitada por γ. Dado > 0 e γ ∈ D consideremos a seguinte vizinhan¸ca tubular

N(γ) := {γ(ψ) + g.n(ψ) | − < g < } ⊂ R2

Dizemos que uma oval ζ é -próxima a uma oval γ se a imagem de ζ pertence a N(γ) e a proje¸cão canônica ζ(ψ) 7→ γ(ψ) é um difeomorfismo. Consideremos no espa¸co C2_{([0, 2π), R) das fun¸cões g : [0, 2π) → R de classe C}2 _{a norma:}

||g||2 := max

ψ∈[0,2π{|g(ψ)|, |g 0

(ψ)|, |g00(ψ)|}

Dizemos que uma oval ζ é C2 _-pr´_{oxima de uma oval γ se ζ(ψ) = γ(ψ) +} g(ψ).n(ψ) ∈ N(γ) para alguma g ∈ C2([0, 2π), R) satisfazendo ||g||2 < . Recordemos que Fγ denota a aplica¸cão de bilhar na mesa Qγ. Dizemos que uma propriedade da dinâmica de uma aplica¸cão de bilhar é genérica se vale para toda Fγ com γ contida em um aberto e denso de ovais em D. O seguinte lema de perturba¸cão, [23], será útil para nossos argumentos.

Lema 4.1. Dada γ ∈ D e ψ0 ∈ [0, 2π) seja I ⊂ [0, 2π) um aberto contendo ψ0. Existe uma fam´ılia {ζ}||<0 de ovais arbitrariamente pr´oximas de γ tal que ζ0 = γ e para todo a curva ζ coincide com γ fora do arco γ(I) satisfazendo ζ(ψ0) = γ(ψ0), ζ0(ψ0) = γ0(ψ0) e

k(ψ0) = k(ψ0)(1 + 2.k(ψ0))

onde k(ψ0) e k(ψ0) s˜ao respectivamente as curvarturas de ζ e γ no ponto ψ0.

Prova: Seja g: [0, 2π) → R, com || < 0, uma fam´ılia de fun¸cões definidas por g(ψ) = .h(ψ).(ψ − ψ0)2, onde h(ψ) é uma fun¸cão C∞ tal que h(ψ) = 1 se |ψ − ψ0| < L₂ e h(ψ) = 0 se |ψ − ψ0| > L para algum L suficientemente pequeno de forma que h(ψ) = 0 fora do intervalo I. Definimos a fam´ıla de

curvas

ζ(ψ) = γ(ψ) + g(ψ).n(ψ) || < 0 (4.1) Pela defini¸c˜ao de g e ζ temos ζ(ψ) = γ(ψ) para todo ψ /∈ I e ζ(ψ0) = γ(ψ00). Observemos que:

ζ0(ψ) = γ0(ψ) + g0.n(ψ) − g(ψ).t(ψ) (4.2) ζ00(ψ) = γ00(ψ) − 2g0(ψ)t(ψ) + (g00(ψ) − g(ψ)).n(ψ) (4.3) g0(ψ) = .h0(ψ)(ψ − ψ0)2+ 2h(ψ)(ψ − ψ0) (4.4) g00(ψ) = .h00(ψ)(ψ − ψ0)2+ 4.h0(ψ)(ψ − ψ0) + 2.h(ψ) (4.5)

Por 4.4 e 4.5 obtemos ||g||C2 < C.₀ para alguma constante C dependendo de L. Segue disso que para 0 suficientemente pequeno temos que ζ ´e uma oval para todo || < 0. Por5.27 e 4.3 obtemos:

ζ0(ψ0) = γ0(ψ0) e ζ00(ψ0) = γ00(ψ0) + 2.n(ψ0) (4.6) assim temos: k(ψ0) = (ζ00(ψ0) ∧ ζ0(ψ0)) ||ζ0 (ψ0)||3 = (γ 00_(ψ 0) ∧ γ0(ψ0)) ||γ0_(ψ 0)||3 + 2..(n(ψ0) ∧ γ 0_(ψ 0)) ||γ0_(ψ 0)||3 (4.7)

Observando que k(ψ0).γ0(ψ0) = t(ψ) temos ||γ0(ψ0)|| = k(ψ0)−1 e (n(ψ0) ∧ γ0(ψ0)) = k(ψ0)−1, assim temos k(ψ0) = k(ψ0) + 2k2(ψ0).

O seguinte teorema é consequência de uma série de resultados sobre a dinâmica genérica em bilhares convexos obtidos em [14].

Teorema 4.2. Existe um aberto e denso D0 ⊂ D tal que se γ ∈ D0 _ent˜_ao a aplica¸cão Fγ admite uma órbita de per´ıodo 2 hiperbólica Oγ = {y0, y1} tal que cada ramo da variedade estável Ws_(y

de interse¸c˜ao transversal com cada ramo da variedade inst´avel Wu(yj) de todo yj ∈ Oγ.

Figura 4.1:

A trajetória da órbita Oγ = {y0, y1} hiperbólica associada a uma γ ∈ D0 corresponde ao maior diâmetro de γ como ilustrado na figura 4.1(1)). Como y0 e y1 são colisões perpendiculares temos Oγ ⊂ ϑ0 donde R(Oγ) = Oγ, ou seja, Oγ é a órbita de um ponto peiródico simétrico. Ilustramos na figura

4.1(2) a estrutra gen´erica do conjunto: Wγ =

[ i∈{0,1}

Wu(yi) ∪ Ws(yi)

Note que, por reversibilidade, temos R(Ws_(y

i)) = Wu(yi) para i ∈ {0, 1} e se u = (u(1)_{, u}(2)_{) ∈ T} yiMγ é um vetor tangente a W u_(y i) então u0 = (u(1)_{, −u}2_{) = D} yiR.u é tangente a W s_(y i). Os vetores u e u0 são linearmente independentes portanto u(1) _{6= 0 e u}(2) _{6= 0. Assim, para > 0 suficiente-} mente pequeno, a variedade instável local Wu(yi), é o gráfico de uma fun¸cão ψ 7→ θu(ψ) e a variedade estável local Ws(yi) é o gráfico de uma fun¸cão s 7→ θs(ψ) com θu(ψ) = −θs(ψ).

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