2.4 Aerodinâmica de rotores eólicos de eixo horizontal
2.4.2 Velocidades e forças atuantes
Mesmo sendo uma característica importante no dimensionamento de um rotor, a área varrida representa apenas a potência disponível. A relação entre a área varrida A e a área das
pás Ap , é conhecida como solidez σ representada por:
𝜎 =
𝐴𝐴𝑝 (2.4.3)
Para facilitar a aplicação da solidez no dimensionamento de uma pá, utiliza-se a solidez local como parâmetro, podendo ser escrita dividindo o comprimento da corda em todas as pás em um anel do rotor de raio r pelo perímetro do anel, portanto:
𝜎 =
𝐵.𝑐2.𝜋.r (2.4.4)
Considerando que a relação da área varrida e da área das pás é igual a relação entre o fluxo de massa que passa pelo anel e o fluxo de massa que atinge as pás, podemos escrever a solidez a partir do fator de interferência axial a de acordo com a interação das teorias do elemento de pá e da quantidade de movimento:
𝜎 =
4𝑠𝑒𝑛2𝜙𝐶𝑎
.
𝑎
1−𝑎 (2.4.5)
2.4.2 Velocidades e forças atuantes
Para avaliar o desempenho dos rotores eólicos a determinação das forças e velocidades atuantes são a base para a obtenção dos valores finais de torque e de potência. Van Kuik et al. (2015) e Okulov et al. (2015) descreveram respectivamente a origem das teorias de vórtice e da quantidade de movimento (Momentum) utilizadas para predição do desempenho em propulsores e aerogeradores.
A teoria do elemento de pá (Blade element theory) se restringe a necessidade de ter conhecimento da velocidade relativa do escoamento sobre o elemento. Glauert (1930) aplicou a teoria da quantidade de movimento a teoria de elemento de pá, possibilitando a obtenção da interferência da seção sobre o escoamento.
A teoria apresentada por Glauert (1930) é conhecida como teoria da quantidade de movimento no elemento de pá (Blade element momentum).
Para que seja possível determinar os fatores de interferência axial a e tangencial a’, é necessário a utilização das equações de velocidade das duas teorias interativamente.
As velocidades que agem com o rotor (Figura 7) possuem simples formulação, sendo que a velocidade resultante do fluxo W pode ser calculada com a solução dos vetores da velocidade
axial Uaxial e a componente tangencial Utan.
𝑊 = √𝑈𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙2+ 𝑈𝑡𝑎𝑛2 (2.4.6)
Sendo a componente axial a diferença entre a velocidade do vento V0 e a velocidade
induzida no sentido axial uaxial.
𝑈𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 = 𝑉0−𝑢𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 (2.4.7)
A componente tangencial composta pela velocidade tangencial do elemento de pá Vtan e
a velocidade induzida no sentido tangencial utan
onde,
𝑉𝑡𝑎𝑛 = 𝑟. 𝛺 (2.4.9)
Para facilitar a solução dos problemas relacionados a velocidade induzida, é necessário definir as velocidades induzidas em função dos fatores de interferência sendo:
𝑢𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 = 𝑉0. 𝑎 (2.4.10)
e
𝑢𝑡𝑎𝑛 = 𝑉𝑡𝑎𝑛. 𝑎′ (2.4.11)
Portanto, substituindo os valores, define-se a velocidade resultante em:
𝑊 = √[𝑉0. (1 − 𝑎)]2+ [𝑟. 𝛺. (1 − 𝑎′)]2 (2.4.12)
Representada pela tangente do ângulo de fluxo ϕ, as relações entre a velocidade tangencial
e axial podem ser descritas em função da relação de velocidade de ponta local λL:
𝑡𝑎𝑛(𝜙) =
𝑈𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙𝑈𝑡𝑎𝑛
=
1−𝑎
𝜆𝐿(1+𝑎′)
(2.4.13)
Portanto, a velocidade
resultante
em função da velocidade do vento é:W = √[V0. (1 − a)]2+ [V0.(1−a)
tan (ϕ) ] 2
(2.4.14)
Na direção descrita a partir do ângulo de fluxo calculado por:
𝑠𝑒𝑛𝜙 =
𝑉0(1−𝑎)𝑊 (2.4.15)
e
𝑐𝑜𝑠𝜙 =
𝑟.𝛺.(1+𝑎′)Na teoria do elemento da pá é necessário dividir a pá em elementos distanciados a uma distância dr, calculada a partir da divisão do raio do rotor na quantidade de elementos adotado.
As forças axiais e tangenciais atuantes em uma pá devem ser multiplicadas pelo número de pás B, resultando na força total exercida sobre o rotor a uma distância r de seu centro.
Figura 7: Componentes de velocidade e forças que agem sobre o perfil.
Fonte: Próprio autor
Como as forças aerodinâmicas são o resultado do fluxo de massa de ar a uma determinada velocidade agindo sobre uma determinada área de um corpo com um coeficiente
aerodinâmico, podemos definir a força axial Fa e tangencial Ft sendo:
𝑑𝐹
𝑎=
𝐶𝑎.𝐵.𝑊2.𝜌.𝑐2
. 𝑑𝑟
(2.4.17)𝑑𝐹
𝑡=
𝐶𝑡.𝐵.𝑊2.𝜌.𝑐2
. 𝑑𝑟
(2.4.18)onde, os coeficientes aerodinâmicos axial Ca e tangencial Ct são:
𝐶𝑎 = 𝐶𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝜙 + 𝐶𝑑. 𝑠𝑒𝑛𝜙 (2.4.19)
Substituindo os valores obtém-se:
𝑑𝐹
𝑎=
(𝐶𝑙.𝑐𝑜𝑠𝜙+𝐶𝑑.𝑠𝑒𝑛𝜙).𝐵.𝑊2.𝜌.𝑐2
𝑑𝑟
(2.4.21)𝑑𝐹
𝑡=
(𝐶𝑙.𝑠𝑒𝑛𝜙−𝐶𝑑.𝑐𝑜𝑠𝜙).𝐵.𝑊2.𝜌.𝑐2
𝑑𝑟
(2.4.22)Os valores do coeficiente de sustentação Cl e de arrasto Cd são obtidos em um
determinado ângulo de ataque α.
A teoria da quantidade de movimento, representada na Figura 8, considera a diferença de velocidade entre o fluxo antes e depois do rotor para quantificar a diferença de energia cinética do vento. Desse modo a força axial agindo no rotor em um anel a uma distância r do centro é:
𝑑𝐹𝑎 = (𝑉0− 𝑢). 𝑑𝑚̇ (2.4.23)
onde, ué a perda de velocidade do ar pela passagem no rotor e dṁ é o fluxo mássico de ar em
um anel de raio r a partir do centro do rotor definido como:
𝑑𝑚̇ = 𝜌. 𝑈𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙(2. 𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟) = 𝜌. 𝑉0. (1 − 𝑎). (2. 𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟) (2.4.24)
Substituindo os valores obtém-se:
𝑑𝐹𝑎 = (1 − 𝑢). 𝜌. 𝑉02. (1 − 𝑎). (2. 𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟) (2.4.25)
A força axial agindo no rotor é resultado da diferença de pressão nas regiões jusante p+
e montante p-.
𝑑𝐹𝑎 = (𝑝+−𝑝−). 2𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟 (2.4.26)
Então, aplicando a equação de Bernoulli para regime constante tem-se para o fluxo incompressível e horizontal a montante:
1 2. 𝜌. 𝑉0 2+ 𝑝 0 = 1 2. 𝜌. 𝑈𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 2 + 𝑝+ (2.4.27)
1 2. 𝜌. 𝑢 2+ 𝑝 0 = 1 2. 𝜌. 𝑈𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 2 + 𝑝− (2.4.28)
Para determinar a perda de pressão, subtrai-se as duas equações obtendo:
1
2. 𝜌(𝑉0
2− 𝑢2) = (𝑝+− 𝑝−) (2.4.29)
Substituindo os valores da perda de pressão na expressão da força agindo no rotor, obtém-se a diferença de velocidade:
1 2. 𝜌(𝑉0 2− 𝑢2). (2. 𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟) = (𝑉 0− 𝑢). 𝜌. 𝑉0. (1 − 𝑎). (2. 𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟) (2.4.30) Simplificando: 𝑢 = 𝑉0. (1 − 2𝑎) (2.4.31)
Portanto, segundo a teoria da quantidade de movimento define a força axial sendo:
𝑑𝐹𝑎 = 4. 𝜌. 𝑉02. (𝑎 − 𝑎2). 𝜋. 𝑟. 𝑑𝑟 (2.4.32)
A força tangencial de acordo com a teoria da quantidade de movimento tem relação com a velocidade resultante na direção tangencial a montante do disco 2rΩa’ e o fluxo de massa definida como:
𝑑𝐹𝑡 = 2. 𝛺. 𝑎′. 𝑟. 𝑑𝑚̇ (2.4.33)
Substituindo então os valores do fluxo de massa e simplificando temos:
Figura 8: Componentes de velocidade e forças que interagem com o rotor.
Fonte: Próprio autor
Interagindo as definições de forças axiais e tangenciais das duas teorias obtém-se os fatores de interferência:
𝑎 =
4.𝑠𝑒𝑛2𝜙1 𝜎.𝐶𝑎 +1 (2.4.35)𝑎′ =
4.𝑠𝑒𝑛𝜙.𝑐𝑜𝑠𝜙1 𝜎.𝐶𝑡 −1 (2.4.36)A teoria da quantidade de movimento no elemento de pá possui boa aceitação devido a simplicidade e precisão dos cálculos quando comparado a outros métodos que exigem elevada carga computacional. Sorensen (2016) discutiu e avaliou a teoria BEM com resultados que confirmam a precisão através de métodos numéricos.
Apesar de não gerar variações significativas nos resultados o fluxo radial não é considerado pela teoria BEM. Lanzafame et al. (2012) descreveu matematicamente como aplicar os coeficientes de sustentação com a finalidade de eliminar os efeitos dos fluxos radiais. O código apresentado foi comparado com os resultados experimentais da potência dos aerogeradores NREL Phase II e NREL Phase VI.
A aplicação da metodologia BEM não se restringe apenas em uma predição do valor de potência gerado pelo rotor. Muitos trabalhos aplicam a teoria BEM para otimizar a geometria de pás para aplicações específicas, determinação das forças atuantes, para cálculos estruturais, entre outros.
Lanzafame et al. (2007) através de um método numérico aprimorado baseado na teoria BEM apresentou a otimização de um rotor para gerar um aumento na produção de energia em baixas velocidades de vento. Em seu trabalho foi desenvolvido uma convalidação com um rotor experimental resultando em boa aproximação em uma ampla faixa de velocidade.
Em rotores de grande porte as cargas mecânicas são levadas em consideração na determinação da geometria das pás.
Para obter os esforços sobre a estrutura Dai et al. (2011) combinou o modelo semi- empírico de estol dinâmico à teoria BEM com correções através dos modelos de Prandtl e Buhl. Vários fatores influentes como vibrações na torre e nas pás foram considerados. Os resultados apresentaram boa aceitação para aplicações de engenharia.
Sharifi et al. (2013) utilizou um novo algoritmo baseado na metodologia BEM com correções para a ponta das pás para obter uma distribuição do ângulo de posição para um aerogerador de rotação constante. Os resultados apresentaram uma elevada precisão do método na predição nas características aerodinâmicas.
Liu et al. (2012) aplicou a metodologia BEM considerando as perdas nas pontas, correção empírica Buhl, esteira inclinada e efeito rotacional do rotor. A utilização das correções resultou em uma maior fidelidade aos resultados experimentais. Através da análise feita pela teoria BEM foi possivel obter um ganho significativo de até 10% com variações nos ângulos das pás.
Baseado na metodologia BEM Sedaghat et al. (2014) realizou um estudo de otimização e avaliação do desempenho das pás para aplicação em rotores de velocidade continuamente variável. A metodologia apresentou uma redução no tempo computacional para predição de desempenho de rotores eólicos.