No começo não é verbo, ainda menos a teoria. No começo é a ação, ou melhor ainda, a atividade adaptativa de um ser sobre o seu meio ambiente. É pela ação que começa o pensamento: mais exatamente e mais completamente pela ação, a tomada de informação sobre o meio ambiente, o controle dos efeitos da ação e a revisão eventual da organização da conduta (Vergnaud, 1996, p. 275) 2
A teoria dos campos conceituais de Gerard Vergnaud será tomada como um dos referenciais de base para este estudo. Segundo tal teoria, um conceito tem como base o seguinte tripé: o conjunto das situações que lhe dão sentido, as formas de representação e os invariantes que constituem suas propriedades. Isto se deve ao fato de que se desejamos saber como uma criança aprende um determinado conceito, não é suficiente verificar apenas sua definição, mas sim o sentido que ele tem para o aprendiz, em um contexto de uma determinada situação, com um problema real a ser resolvido, o que permitirá analisar as rupturas e filiações entre conhecimentos.
Como já abordado anteriormente, a idéia de invariante parece ser de fundamental importância para a compreensão do problema a ser estudado, o que permite supor que uma análise detalhada desse aspecto será útil para o objetivo perseguido.
Partindo da noção de esquema, tal como postulada por Piaget (1966), Vergnaud (1996) caracteriza-a como uma organização invariante da conduta para uma classe dada de situações, sendo que o que é invariante não é a conduta em si, mas sua organização. Trata-se assim, de uma totalidade dinâmica funcional, com o objetivo de que se manifeste em um determinado tempo em um conjunto de situações, podendo engendrar condutas diferentes em função de situações singulares.
A noção de esquema pode ser considerada a chave para a compreensão de como ação e teoria se unem, não sendo um estereótipo, mas sim a maneira de
regular a ação em função de características particulares da situação à qual se dirige. Os esquemas se desenvolvem em interação uns com os outros e formam repertórios para diversos ramos de atividade, existindo esquemas para todos os domínios de atividade, inclusive os mais elementares, que devem ser integrados aos de nível superior.
Dessa forma, a noção de esquema pode auxiliar na compreensão dos conhecimentos e competências matemáticas, por encerrarem aspectos automatizados e outros que constituem decisões conscientes, que permitem levar em conta os invariantes das situações (Vergnaud, 1996).
De acordo com o autor, um esquema é formado por muitas categorias de elementos, todos indispensáveis: objetivos e antecipações, regras de ação, possibilidades de inferências em situações e invariantes operatórios.
Os objetivos atribuem aos esquemas sua funcionalidade, mesmo que essa não seja evidente em primeira análise. Já as regras de ação engendram a atividade do sujeito; ao passo que as inferências são indispensáveis à aplicação de um esquema em cada situação particular (lembrando que um esquema não é um estereótipo, mas uma função que tem um caráter temporal, permitindo generalizar seqüências diferentes de ação e tomadas de informação, em função dos valores das variáveis da situação).
Por fim, os invariantes operatórios constituem a parte relativa à organização e estrutura do esquema: são os conceitos-em-ato e teoremas-em-ato que permitem selecionar e interpretar as informações. Vergnaud denomina “conceito-em-ato” e “teorema-“conceito-em-ato” os tipos de conhecimento contidos nos esquemas, o que seriam, de maneira global, os invariantes operatórios, considerados chave para sua generalização. Tais invariantes podem ser de dois tipos lógicos, ainda segundo Vergnaud:
a) Tipo proposição: suscetíveis de serem falsos ou verdadeiros, por exemplo, os teoremas em ato.
b) Tipo função proposicional: elementos básicos na composição das proposições, por exemplo, os conceitos de cardinal e de coleção são indispensáveis à conceitualização das estruturas aditivas. Trata-se de
conceitos-em-ato, não sendo explicitados pelas crianças, mas sendo construídos por elas na ação.
Um outro exemplo de conceito-em-ato, além do citado acima, refere-se à percepção de um estado inicial que sofre uma transformação, gerando um estado final, conceito este indispensável para a conceitualização das estruturas aditivas. Assim, os conceitos-em-ato podem ser concebidos como os “tijolos” que darão sustentação à construção dos teoremas-em-ato.
Há que se distinguir entre dois tipos de classes de situações:
• aquelas para as quais o sujeito dispõe em seu repertório, em um momento dado de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, de competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação.
• aquelas para as quais o sujeito não dispõe de todas as competências
necessárias, obrigando-o a refletir, hesitar, explorar e tentar, levando-o algumas vezes ao sucesso, outras ao fracasso.
Assim, segue o autor, os esquemas não funcionam da mesma maneira nos dois casos, pois no primeiro caso há condutas automatizadas, organizadas em um esquema único; e no segundo caso, há vários esquemas que podem competir entre si, mas que devem ser combinados, recombinados, acomodados, gerando necessariamente descobertas.
Uma das manifestações mais evidentes do caráter invariante da organização das ações é a automatização. Por outro lado, ainda segundo Vergnaud (1990), não há só condutas automatizadas, mas também aquelas conscientes, de modo que nossas condutas comportam uma parte de automatização e uma de condutas conscientes.
Quando uma criança utiliza um esquema ineficaz para uma certa situação, tal experiência a leva a mudar de esquema ou a modificá-lo. Há sempre algo de implícito nos esquemas, o que torna difícil para a criança sua explicitação. Tomando-se como exemplo o caso do algoritmo da adição para números inteiros, há uma série de regras para que se faça a operação (começar pela coluna das unidades; passar para a das dezenas etc), mas explicitar tais regras é
praticamente impossível para a criança (Vergnaud, 1991).
A opção pela teoria dos campos conceituais como um dos principais referenciais teóricos desse estudo recai no fato de que tal teoria busca responder a um vazio explicativo entre a construção de um conceito em uma situação a partir do repertório do sujeito, tendo em vista seus organizadores lógicos ou invariantes. Dado que, segundo Vergnaud (1990), um campo conceitual é concebido como um conjunto de situações (não no sentido de situação didática, mas sim naquele de conjunto de tarefas), interessa destacar o campo conceitual estruturas aditivas. Segundo o autor, tal campo conceitual é definido por um conjunto de situações que demandam uma adição, uma subtração ou uma combinação de tais operações. Dessa forma, os principais conceitos componentes das estruturas aditivas são as noções de cardinal; de medida; de transformação por aumento ou diminuição; de comparação quantificada e de composição binária de medidas.
Ainda segundo o mesmo autor, o núcleo da noção de conceito é a de invariante e “a elaboração de invariantes é o instrumento decisivo na construção da representação: são os invariantes que asseguram a representação e sua eficácia, permitindo-lhe cumprir sua dupla função, refletir a realidade e prestar-se a um cálculo relacional. São os invariantes que dão à representação seu caráter operatório”. (Vergnaud, 1991, p.257).
Retomando os elementos que compõem o tripé que dá sustentação à teoria (a situação, a representação e os invariantes), é justamente sobre esse último aspecto que recairá a análise que se pretende realizar, pois são esses os elementos embutidos nas noções que fazem parte das noções aritméticas iniciais. Saber que somar aumenta e subtrair diminui (para os números naturais); que uma anula a outra (pois uma operação direta composta com sua inversa é anulada, resultando em um elemento neutro); assim como dominar a noção de composição aditiva supõe a idéia de inclusão (o 2 inclui o 1; o 3 inclui o 2 e o 1 e assim sucessivamente), são exemplos de invariantes necessários ao domínio das noções aritméticas iniciais.
Dado que nos procedimentos de ordenar e de classificar, além da noção de conservação de quantidades numéricas, estão embutidos invariantes que também
compõem a noção de número, resta retornar à questão inicial: faz-se necessário exercitar tais invariantes por meio da inserção de atividades lógicas envolvendo a classificação, a seriação e a conservação de quantidades numéricas, ou tais invariantes serão inexoravelmente ativados por meio do desenvolvimento de atividades ligadas às estruturas aditivas?
A apresentação feita na próxima sessão, a respeito dos problemas de estrutura aditiva poderá trazer novos elementos para a análise que se pretende realizar.