Verificação da Rotina

Para verificar o funcionamento numérico do método, foram estudadas algumas situações possíveis em rotores físicos. De acordo com Gunter e Jackson (1999) pode-se, em rotores flexíveis com pequenos deslocamentos nos mancais, utilizar apenas N planos de balanceamento para a N-ésima rotação crítica que se deseja controlar. A maior parte das informações necessárias, tais como o número de planos de balanceamento e suas posições mais efetivas, podem ser obtidas examinando-se o diagrama de rotações críticas (Diagrama de Campbell) e os correspondentes modos de vibrar.

Foram realizadas análises em um rotor com um disco e um desbalanceamento para avaliar a identificação do desbalanceamento e avaliar o efeito da massa de balanceamento para um plano, resultado da otimização, na resposta ao

desbalanceamento do rotor. A avaliação foi feita para diferentes números de pontos medição e números de rotações de trabalho. Utilizou-se o rotor apresentado na Figura 14.

A Tabela 13 mostra as rotações e posições de medição utilizadas para cada caso.

Tabela 13 - Rotações e posições de medição utilizadas.

Rotações [rpm] Posições [mm]

1 rotação 3 rotações 5 rotações 1 posição 2 posições 3 posições

3600 2400 3600 4800 2000 2400 3600 4800 5200 450 275 450 275 450 650

Para cada conjunto de rotações foram utilizados todos os conjuntos de posições, ou seja, para uma rotação de medição foram feitas simulações com 1, 2 e 3 posições, da mesma maneira para os outros dois casos.

Aplicando o método de identificação das massas de balanceamento para um plano de balanceamento localizado em 450 mm verificou-se que o aumento do número de rotações utilizadas melhorou o resultado da otimização, porém o número de posições não alterou significativamente o resultado. A Figura 28 apresenta alguns resultados obtidos.

a) b)

Figura 28 - Resposta ao desbalanceamento: a) três posições e diferentes números de rotações e b) três rotações e diferentes números de posições.

A Tabela 14 apresenta a diferença de amplitude em dB da curva de resposta em frequência na primeira rotação crítica para todos os casos estudados com um plano de balanceamento.

Tabela 14 - Diferença entre amplitude sem balanceamento e com balanceamento.

Número de rotações Diferença entre respostas [dB] 1 posição 2 posições 3 posições

1 -38,5 -31,69 -35,6

3 -42,88 -38,5 -42,88

5 -52,17 -52,17 -52,17

A mesma análise foi realizada para um rotor com dois discos e dois desbalanceamentos, realizando o balanceamento para duas rotações críticas e devido a isso, utilizando dois planos de balanceamento. O modelo utilizado está apresentado na Figura 15. As rotações e posições de medição utilizadas para esse caso estão apresentadas na Tabela 15. Outros valores foram utilizados para considerar a segunda rotação crítica e seu modo de vibrar.

Tabela 15 - Rotações e posições de medição utilizadas.

Rotações [rpm] Posições [mm]

1 rotação 3 rotações 5 rotações 1 posição 2 posições 3 posições

8800 5200 8800 11200 3600 5200 8800 11200 12400 450 275 450 275 450 650

Os planos de balanceamento escolhidos estão localizados em 280 mm e 430 mm. A Figura 29 apresenta as curvas de resposta ao desbalanceamento, comparando a utilização de diferentes números de posições de medição e diferentes números de rotações.

O resultado referente a todos os casos é apresentado na Tabela 16. Verifica-se que a escolha das posições e rotações de medição influencia de forma significativa no resultado, como pode-se perceber na Figura 29 b), em que as massas de balanceamento fornecidas pela rotina de identificação de desbalanceamento não tiveram um resultado eficaz como nos outros casos apresentados.

a) b)

Figura 29 - Resposta ao desbalanceamento: a) três posições e diferentes números de rotações e b) três rotações e diferentes números de posições.

Verificou-se a diminuição da amplitude de vibrações em todos os casos para os dois modos. A escolha do plano de medição e do plano de balanceamento influencia significativamente no resultado da identificação de desbalanceamento.

Tabela 16 - Diferença entre amplitude sem balanceamento e com balanceamento.

Número de rotações

Diferença entre respostas [dB]

1 posição 2 posições 3 posições 1º modo 2º modo 1º modo 2º modo 1º modo 2º modo 1 -16,56 -2,39 -21,29 -15,6 -21,44 -17,98 3 -22,95 -14,6 -3,47 -8,43 -21,82 -18,05 5 -21,57 -19,34 -21,96 -17,06 -21,74 -17,87 Confirma-se que um estudo dinâmico do rotor é necessário para balanceamentos acima da primeira rotação crítica, de modo a verificar a influência dos modos de vibrar nos planos escolhidos para medição e para balanceamento. 5.4 Resultados Experimentais

Para verificar o funcionamento da rotina de identificação de desbalanceamento foi realizado um experimento em laboratório. Os dados de entrada são as medidas de resposta de vibração em um rotor de geometria e desbalanceamentos conhecidos. Inicialmente criou-se o modelo numérico que representa o sistema em estudo. A geometria do rotor utilizada na parte experimental para verificar as características dinâmicas está apresentada na Tabela 4.

As medições de vibração escolhidas para realizar o experimento encontram-se ao redor e abaixo da primeira rotação crítica, obtida experimentalmente em 2300 rpm. O fato desta escolha baseia-se no desconhecimento das propriedades dinâmicas dos mancais que não puderam ser caracterizados apropriadamente para intervalos de rotação acima da primeira rotação crítica. O Rotorkit utilizado possui mancais compostos com um material viscoelástico cujas características são desconhecidas. Tentou-se construir um mancal com características conhecidas, rígido de rolamento, que não ficou pronto em tempo hábil. De qualquer modo pode- se verificar a robustez do método, pois mesmo que o modelo numérico não estivesse adequadamente calibrado, resultados aceitáveis foram alcançados.

O modelo numérico pode ser calibrado para a primeira frequência natural utilizando-se o mapa de rigidez para o respectivo rotor.

Para comparar a curva de resposta em frequência do rotor e a do seu modelo numérico foram inseridos desbalanceamentos conhecidos para cada disco, como apresentado na Seção 4.4.

A medição foi realizada a partir da rotação inicial de 400 rpm até a rotação de 3000 rpm em intervalos de 200 rpm. Devido às grandes amplitudes de vibração ao redor da rotação crítica, não foi possível obter a amplitude de vibração para 2200 rpm. A Figura 30 apresenta a comparação das curvas de resposta ao desbalanceamento medidas e obtidas do modelo numérico para as duas posições de medição, 190 mm e 355 mm.

Como o modelo não está completamente calibrado, devido à dificuldade em caracterizar os mancais, o formato das curvas difere um pouco, principalmente depois do pico, correspondente à primeira rotação crítica mostrada na Figura 30. A medição não pôde ser realizada entre os valores de 2000 rpm e 2400 rpm, pois a amplitude de vibração era tal que o eixo tocava nos limitadores de deslocamento mostrados na Figura 21 a).

Figura 30 - Comparação entre resposta numérica e resposta experimental do rotor desbalanceado.

Mesmo com o modelo numérico parcialmente calibrado, foi realizada a identificação do desbalanceamento. A Tabela 17 apresenta o resultado fornecido pela rotina desenvolvida em Fortran com apoio de trabalhos desenvolvido pelo grupo do GVIBS: o valor da fase apresentada na tabela refere-se à posição de aplicação da massa de correção.

Tabela 17 - Casos de balanceamento em dois planos, 170 mm e 335 mm.

Rotações [rpm] - m.e [g.mm] Fase [°] m.e [g.mm] Fase [°] Caso 1 2000 Calculado 76,20 41,10 12,10 182,50 Utilizado 75,00 45,00 12,00 180,00 Caso 2 2000 - 2400 Calculado 37,60 36,30 17,50 158,10 Utilizado 36,00 45,00 18,00 157,50 Caso 3 1800 - 2000 Calculado 63,50 49,80 0,98 206,20 Utilizado 63,00 45,00 3,00 202,50 Caso 4 1800 - 2400 Calculado 25,60 5,70 26,90 116,60 Utilizado 24,00 0,00 27,00 112,50 Caso 5 1800 - 2000 - 2400 Calculado 36,60 15,10 27,40 139,30 Utilizado 36,00 22,50 27,00 135,00

Como os dados de entrada para a rotina de identificação de desbalanceamento foram fornecidos as amplitudes e fases das posições de medição localizadas em 190 mm e 355 mm e as rotações utilizadas estão apresentadas nos casos da Tabela 17. Os resultados da rotina estão indicados na linha como “Calculado” e as massas e

fases possíveis de serem utilizadas estão indicadas como “Utilizado”. As massas de correção de desbalanceamento, fornecidas no conjunto do rotorkit, foram inseridas tanto no modelo numérico como no experimental e os resultados, juntamente com a curva sem balanceamento, estão apresentados nas Figura 31 e Figura 32, respectivamente.

Figura 31 - Resposta ao desbalanceamento do modelo numérico.

Observando os resultados pode-se verificar que os casos que utilizaram a rotação de 2400 rpm não obtiveram uma redução significativa com a apresentada pelos resultados que não utilizaram esta rotação. Pode-se verificar na Figura 30 que a diferença entre as curvas de resposta ao desbalanceamento é maior depois do pico. Utilizar a rotação de 2400 rpm implica em respostas com massas de correção menores.

Figura 32 - Resposta ao desbalanceamento do modelo experimental.

Para o Caso 3 a redução na amplitude de vibração foi de 79 µm na rotação de 2000 rpm, ou seja, foi de 69.9%. A Figura 33 mostra a comparação entre as respostas do modelo numérico e do modelo experimental, após o balanceamento para a posição de medição de 190 mm.

Figura 33 - Comparação entre modelo numérico e experimental para o Caso 3.

Verifica-se que mesmo com as diferenças entre modelo numérico e experimental, os resultados obtidos diminuíram a amplitude de vibração em todos os

casos, mesmo que de forma pouco eficaz. A Figura 34 apresenta a comparação do Caso 3 e da resposta experimental obtida do rotor sem a adição de massas de desbalanceamento e a resposta experimental com massas de desbalanceamento.

Figura 34 - Comparação entre o Caso 3, o rotor sem massas de desbalanceamento e o rotor desbalanceado.

Verifica-se que mesmo com os mancais parcialmente caracterizados foi possível obter uma redução aceitável na amplitude de vibração nos casos 1 e 3. A utilização da rotação de 2400 rpm nos casos 2, 4 e 5 resultou em resultados piores pois, como pode-se observar na Figura 30, após o pico a diferença entre o modelo numérico e o modelo experimental é muito maior em comparação com a amplitude de vibração antes do pico. Essa diferença é causada pela calibração dos mancais.

O Caso 3, mostrado na Figura 34 apresentou o melhor resultado. Na rotação de 2400 rpm a redução foi de 155,6 µm, ou seja, a redução na amplitude de vibração foi de aproximadamente 70%.

6 CONCLUSÕES

Neste trabalho de conclusão de curso foi implementada uma metodologia robusta para identificação de desbalanceamentos em rotores rígidos ou flexíveis. Uma rotina numérica de otimização foi desenvolvida para realizar a identificação a partir de medições de vibração de um rotor em conjunto com seu modelo numérico, implementado em Fortran no âmbito do Projeto PROMOVE 4931/06 FINEP/UTFPR/WEG e desenvolvimentos do Grupo de Pesquisa em Vibrações e Som em Sistemas Mecânicos (GVIBS).

A rotina numérica foi avaliada e testada, onde foi estudada a forma da função objetivo, o comportamento dos algoritmos de otimização e realizados simulações numéricas. Uma aplicação experimental com um rotor de testes também foi realizada.

Da análise dos resultados das simulações numéricas verifica-se que o número de rotações e posições influencia diretamente na forma da função objetivo e consequentemente no funcionamento da identificação. Observou-se que um maior número de dados de entrada resulta em uma função objetivo mais suave perto do ponto ótimo. Essa característica permite que o algoritmo de otimização encontre com mais facilidade o ponto ótimo da curva, pois não existem declives muito acentuados nem regiões muito planas, e dessa maneira os resultados são também mais precisos.

O estudo sobre mínimos locais permitiu definir a utilização de dois algoritmos de otimização em conjunto (Algoritmo Genético e método Quase-Newton). A presença de mínimos no intervalo de otimização que não correspondem ao mínimo global faz com que muitas vezes o algoritmo Quase-Newton não encontre o mínimo global, mas sim um mínimo local. Para encontrar os mínimos globais utilizou-se um algoritmo genético. Este algoritmo é empregado para se fazer uma busca global no domínio e localizar a região em que se encontra o mínimo global entregando ao algoritmo Quase-Newton um vetor projeto localizado próximo ao mínimo global. Este útlimo refina o resultado para encontrar o valor mais próximo do mínimo global. O estudo mostrou que as massas de correção fornecidas que se mantiveram na região próxima ao mínimo global em qualquer caso foram obtidas com a combinação dos algoritmos de otimização, de modo que a combinação dos dois métodos é justificada. Os melhores resultados obtidos com os métodos isolados não podem ser

generalizados, já que a convergência dos métodos isolados não é estável quando se modifica a configuração do problema, ou seja, se utilizam diferentes dados de medição e diferentes planos de balanceamento.

Os estudos de caso numéricos mostraram que a posição dos planos de medição escolhidos influenciam fortemente no resultado da identificação de desbalanceamento. Para escolher uma posição adequada deve-se fazer um estudo dinâmico do rotor, observando o formato dos modos de vibrar desse rotor e as rotações críticas, de modo que se possam escolher adequadamente as rotações de medição. É importante também escolher corretamente os planos de balanceamento. Deve-se utilizar N planos de balanceamento para N-ésima rotação crítica que se queira controlar. As rotações críticas abaixo da N-ésima também podem ser controladas. A posição dos planos também deve ser baseada nos modos de vibrar do rotor.

Após a determinação da configuração geométrica e das propriedades dos materiais que constituem o rotor que se deseja controlar, é necessário e importante que se conheçam as propriedades dos mancais, pois estes influenciam muito nas condições dinâmicas da máquina. O modelo numérico deve ser muito bem calibrado para que tenha as mesmas características dinâmicas do rotor físico e consequentemente para que a rotina de identificação possa encontrar os valores corretos dos desbalanceamentos. Além disso, deve-se calibrar corretamente os equipamentos de medição, principalmente os sensores de deslocamento que têm a sensibilidade modificada para diferentes superfícies de medição.

Os resultados experimentais apresentados foram obtidos em uma pequena faixa de medição em torno da primeira rotação crítica do rotor. Os resultados não são ótimos, pois atingir uma correta caracterização dos mancais não foi possível. Entretanto, os resultados apresentados mostram que mesmo com o modelo parcialmente calibrado foi possível realizar o balanceamento do rotor. No Caso 3 obtiveram-se reduções na amplitude de vibração na ordem de 70%.

Em trabalhos futuros pode-se melhorar a aquisição dos dados experimentais e, com o modelo numérico bem calibrado, realizar mais estudos visando observar a aplicação da metodologia nas mais diversas condições de geometria e dinâmicas de um rotor.

REFERÊNCIAS

ANSI/API STANDARD 541. Form-wound Squirrel-Cage Induction Motors-500 Horsepower and Larger. American Petroleum Institute, 4ª Ed. 01/06/2004, 84p.

BAVASTRI, C. A.; BRONKHORST, K. B.; DOUBRAWA FILHO, F. J.; KOKOT, A.; SILVERIO, R. B.. Otimização Aplicada à Identificação do Desbalanceamento em Sistema Rotativos. VI Congresso Nacional de Engenharia Mecânica: Campina Grande – PB, 2010. 9 p.

BAZARAA, M. S.; SHETTY, C.M.; Nonlinear programming: Theory and algorithms. Wiley, NewYork. USA. 560 p. 1979.

BENTLY, D. E.; HATCH, C. T.; GRISSOM, B.. Fundamentals of Rotating Machinery Diagnostics. Bently Pressurized Bearing Press. Minden, Nevada, USA. 2002.

BENTLY NEVADATM Asset Condition Monitoring. RK 4 Rotor Kit Specifications and Ordering Information. 2007.

BRÜEL & KJÆR. Disponível em:

<http://www.bksv.com/Products/PULSEAnalyzerPlatform/PULSEHardware.aspx>. Acesso em: 13 mai. 2012.

CARROLL, D.L., Program GAFORTRAN, CU Aerospace, South Wright Street Extended, Urbana, IL USA, 2004.

Disponível no link: http://cuaerospace.com/carroll/ga.html. Último acesso em: 01/06/12

DOUBRAWA FILHO, F. J.; Controle de Vibração Flexional em Sistemas Girantes Utilizando Neutralizadores Dinâmicos Viscoelásticos. Dissertação (Mestrado em Engenharia) – Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2008. 128 p.

ESPÍNDOLA, J. J.; Fundamentos de Vibrações, Apostila programa de Pós- Graduação em Engenharia Mecânica da UFSC, Brasil, 1992.

EWINS, D. J.; Modal Testing 2; theory, practice and application. [S.1.]: Research Studies Press Ltd., 2000.

FARIAS, F. M. N.; RIBAS, R. A.. Caracterização Dinâmica de Rotores Trabalhando a Elevadas Rotações: Comportamento de Mancais Hidrodinâmicos. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Industrial Mecânica), Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba 2005. 146 p.

GUNT Equipment for Engineering Education. Disponível em:

<http://www.usdidactic.com/html/i3610_Zeichnung_Einzelheit_2.htm>. Acesso em: 27 jun. 2012.

GUNTER, E.J.. JACKSON, C. Balancing of rigid and flexible rotors. em Fredric F. Ehrich (Ed.): Handbook of Rotodynamics, Chapter 3, Krieger Publishing Company, Malabar, Florida, 1999. pp.3.1 – 3.117.

HAN, D.-J.. Generalized Modal Balancing for Non-isotropic Rotor Systems. Mechanical Systems and Signal Processing 21, 2007. p. 2137 – 2160.

INSTRUMART. Disponível em:

<http://www.instrumart.com/products/34694/ge-bently-nevada-3300-nsv-proximity- probes>. Acesso em: 27 jun. 2012.

LALANNE, M.; FERRARIS, G.. Rotordynamics Prediction in Engineering. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd, 1990

MEIROVITCH, L.; Dynamics and Control of Structures. Wiley Interscience, 1990.

MOON, J.-D.; KIM, B.-S., LEE, S.-H.. Development of the Active Balancing Device for High-Speed Spindle System Using Influence Coefficients. International Journal of Machine Tools & Manufacture 46, 2006. p. 978 - 987.

MUSZYNSKA, A.; Rotordynamics. Boca Raton, FL, USA. Taylor & Francis Group. 2005.

PRESS, W. H.; TEUKOLSKY, S. A.; VETTERLING, W. T.; FLANNERY, B. P.. Numerical Recipes in Fortran: the Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, New York, NY, Second Edition, 1992.

SANTOS, H. L. V.; Dinâmica de Rotores: Modelo Numérico Considerando Mancais Viscoelásticos. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Mecânica), Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2003.

SARAMAGO, S. F. P.; Métodos de Otimização Randômica: algoritmos genéticos

e “simulated annealing’. Notas em Matemática Aplicada: 6. Sociedade Brasileira

de Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC). São Carlos, SP. 2003.

TAN, S. G.; WANG, X.-X.. A Theoretical Introduction to Low Speed Balancing of Flexible Rotors: Unification and Development of the Modal Balancing and Influence Coefficient Techniques. Journal of Sound and Vibration 168(3), 1993. p. 385 - 394.

WANG, X.. SQP Algoritms in Balancing Rotating Machinery. Mechanical Systems and Signal Processing 20, 2007. p. 1469 - 1478.

WOWK, V.. Machinery Vibration: Balancing. USA: McGraw-Hill, Inc., 1994.

XU, B.; QU, L.; SUN, R.. The Optimization Technique-Based Balancing of Flexible Rotors Without Test Runs. Journal of Sound and Vibration 238(5), 2000. p. 877 - 892.