Verificação do estado de tensão

12) Admita que a secção representada na figura seguinte está sujeita a um esforço

transverso de Ty= 0.8 kN.

Em virtude do esforço transverso não estar aplicado no centro de corte da secção, vai ainda produzir-se um momento torçor, como mostra a figura:

15 cm 10 cm 0.3 cm 0.3 cm x y 0.3 cm Ty=0.8 kN 12.7mm 203mm 152mm 1m Mt A B

a) Faça uma representação para as tensões tangenciais devido ao esforço transverso em que mostre o fluxo das tensões, o seu valor relativo e como variam na espessura da peça;

b) Faça uma representação para as tensões tangenciais devido ao momento torçor em que mostre o fluxo das tensões, o seu valor relativo e como variam na espessura da peça;

c) Calcule a tensão máxima devido a esforço transverso; d) Calcule a tensão máxima devido a momento torçor;

e) Localize na secção o ponto no qual a combinação das tensões tangenciais devido a ambos os esforços atinge o valor máximo e junto escreva o seu valor.

c) Devido ao esforço transverso: τmax=1.95MPa; d) ) Devido ao momento torçor: τmax=52.57MPa; e) No

ponto E: τmax=54.52MPa

13) A barra BD da figura tem soldada a barra ABC:

AB = BC = 200mm BD = 300mm

a) Para a barra BD trace os diagramas de esforços (T;M;Mt); Admita que as barras são varões circulares cheios.

b) Num desenho da secção D faça uma representação das tensões tangenciais devido ao momento torçor em que seja possível visualizar-se o fluxo em sentido correcto das

x y Mt=0.0552 kNm

.

tensões. Noutro desenho represente a distribuição das tensões através da espessura da barra (não necessita de quantificar);

c) Num desenho da secção D e correspondente às tensões normais devido ao momento flector, faça uma representação das tensões rebatidas para que possa visualizar-se o seu valor relativo (não necessita de quantificar);

d) Determine o menor diâmetro permitido para a barra BD, admitindo um material com

σRd= 235MPa.

Despreze a contribuição do esforço transverso

e) Para o diâmetro encontrado na alínea anterior, determine o ângulo de rotação da secção B em relação à secção do encastramento, admitindo G = 80GPa.

Solução: d) d≥ 42mm; e) α=0.352º

14) A barra BD da figura tem soldada a barra ABC:

AB = 100mm BC = 282mm BD = 300mm

a) Para a barra BD trace os diagramas de esforços (T;M;Mt); Admita que as barras são varões circulares cheios.

b) Num desenho da secção D faça uma representação das tensões tangenciais devido ao momento torçor em que seja possível visualizar-se o fluxo em sentido correcto das tensões e a sua distribuição através da espessura da barra (não necessita de quantificar); c) Num desenho da secção D e correspondente às tensões normais devido ao momento flector, faça uma representação das tensões rebatidas para que possa visualizar-se o seu valor relativo (não necessita de quantificar);

d) Determine o menor diâmetro permitido para a barra BD, admitindo um material com

σRd= 235MPa.

Despreze a contribuição do esforço transverso

e) Para o diâmetro encontrado na alínea anterior, determine o ângulo de rotação da secção B em relação à secção do encastramento, admitindo G = 80GPa.

Solução: d) d≥ 42mm; e) α=0.352º D C B A 14.4kN/m

Admita que as secções nos apoios estão impedidas de rodar em torno do eixo da viga. a) Determine as forças de reacção nos apoios;

b) Determine os momentos de reacção nos apoios; c) Trace os diagramas de esforços;

d) Dimensione a viga de secção circular, utilizando o critério de Von Mises, admitindo um valor de cálculo da tensão resistente de 83MPa. Nota despreze as tensões provocadas pelo esforço tranverso.

Solução: a) VA = 2.83kN; VB = 3.67kN; b) |MtA| = |MtB| = 0.6kNm

d) d≥ 45mm;

16) A viga AE está sujeita a acções com valores de cálculo indicados na figura seguinte:

AB = BC = 1.5m CD = 0.6m DE = 0.9m BB´ = 0.05m

a) Trace os diagramas de esforços (T;M;Mt), admitindo que as secções dos apoios estão impedidas de rodar em torno do eixo da viga;

b) Sabendo que a barra é um tubo de secção quadrada (ver tabela anexa) feito de material com σRd=235MPa, dimensione apenas à flexão.

c) Na secção B, observada a partir de A faça a representação das tensões tangenciais devido ao esforço transverso em que seja possível visualizar-se o fluxo e o seu sentido correcto, bem como a sua variação na espessura da secção (não necessita de quantificar);

d) Na mesma secção da alínea c) observada a partir de A faça a representação das tensões tangenciais devido ao momento torçor em que seja possível visualizar-se o fluxo e o seu sentido correcto, bem como a sua variação na espessura da secção (não necessita de quantificar);

e) Na mesma secção da alínea c) observada a partir de A, faça uma representação (em rebatimento) das tensões normais devido ao momento flector, por forma a visualizar-se o seu valor relativo (não necessita de quantificar);

f) Num novo desenho da secção da alínea c) observada a partir de A, assinale um ponto onde seja relevante verificar a combinação das tensões segundo o critério:

Rd   2 2  3 –— 48kN 60kN A _B C _D E 60kN B´ –— 0.15m 3.5kN 0.6kNm 0.45m 3kN 0.6kNm 0.15m A B

g) Verifique a viga no ponto assinalado na alínea f) utilizando o critério de Von Mises, admitindo um material com σRd= 235MPa

Solução: b) □ 160×160×10; g) 224.46MPa<235MPa, Verifica

17) A viga AB está sujeita a acções com valores de cálculo indicados na figura seguinte:

AC = CD = DE = EF = FB = 0.75m CC´ = EE´ = 0.05m

a) Trace os diagramas de esforços (T;M;Mt), admitindo que as secções dos apoios estão impedidas de rodar em torno do eixo da viga;

b) Sabendo que a barra é um tubo de secção quadrada (ver tabela anexa) feito de material com σRd=235MPa, dimensione apenas à flexão.

c) Na secção D, observada a partir de E faça a representação das tensões tangenciais devido ao esforço transverso em que seja possível visualizar-se o fluxo e o seu sentido correcto, bem como a sua variação na espessura da secção (não necessita de quantificar);

d) Na mesma secção da alínea c) observada a partir de E faça a representação das tensões tangenciais devido ao momento torçor em que seja possível visualizar-se o fluxo e o seu sentido correcto, bem como a sua variação na espessura da secção (não necessita de quantificar);

e) Na mesma secção da alínea c) observada a partir de E, faça uma representação (em rebatimento) das tensões normais devido ao momento flector, por forma a visualizar-se o seu valor relativo (não necessita de quantificar);

f) Num novo desenho da secção da alínea c) observada a partir de E, assinale um ponto onde seja relevante verificar a combinação das tensões segundo o critério:

Rd

  2 2 

3

g) Verifique a viga no ponto assinalado na alínea f) utilizando o critério de Von Mises, admitindo um material com σRd= 235MPa

Solução: a) □ 120×120×8; g) 220.35MPa<235MPa, Verifica

18) A viga AE está sujeita a acções com valores de cálculo indicados na figura seguinte:

–— 100kN 60kN A C D B E 20kN/m C´ –— 24kN 24kN A C D B E F 24kN 24kN E´ C´

CC´ = 1m.

a) Trace os diagramas de esforços (T;M;Mt), admitindo que as secções dos apoios estão impedidas de rodar em torno do eixo da viga;

Admita que a viga é um tubo quadrado 260×260×10 (tabela anexa) com valor de cálculo da tensão resistente do material, σRd= 235MPa;

b) Verifique a viga imediatamente à esquerda de B quanto à combinação das tensões

normais e tangenciais (critério de Von Mises). Solução: b) 220.14MPa<235MPa, Verifica

19) A viga está sujeita a acções cujos valores de cálculo estão representados na figura:

Admita que as secções nos apoios estão impedidas de rodar em torno do eixo da viga. a) Trace os diagramas de esforços (T;M;Mt)

b) Sabendo que a barra é um tubo de secção quadrada (tabela técnica) feito de material com σRd=235MPa, dimensione apenas à flexão.

c) Verifique a viga à combinação das tensões normais e tangenciais (critério de Von Mises) na secção C.

Solução: a) Diagrama de momento flector: MA = -2kNm; MC = 65.54kNm; MB = 0; Mmax= 96.98kNm, a

1.39m do apoio B; b) Tubo quadrado 200×200 com 10mm de espessura; c) 180.78MPa<235MPa, Verifica

20) Considere a viga sujeita à acção cujo valor de cálculo está indicado na figura. A viga é constituída por tubo estrutural de espessura uniforme de 0.6cm:

a) Trace os diagramas de esforços (T; M; Mt);

b) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra faça a representação das tensões tangenciais devidas ao esforço transverso em que seja possível visualizar o fluxo no sentido correcto e a distribuição das tensões através da espessura; em desenho separado faça o diagrama das tensões tangenciais (não necessita de quantificar). –— 0.2m 40kNm 2.2m 100kN/m 60kNm 0.6m B A 10kN 10kN 6cm 20cm x y z L C

c) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra faça a representação das tensões tangenciais devidas ao momento torçor em que seja possível visualizar o fluxo no sentido correcto e a distribuição das tensões através da espessura; em desenho separado faça o diagrama das tensões tangenciais (não necessita de quantificar).

d) Na secção do encastramento trace o diagrama das tensões normais devido ao momento flector (não necessita de quantificar);

e) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra assinale um ponto onde seja relevante verificar a combinação das tensões segundo o critério:

Rd  

2  2 

3

f) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra assinale um ponto onde seja relevante verificar a combinação das tensões segundo o critério:

3

max

Rd 

 

g) Utilize o critério de Von Mises e um valor de cálculo da tensão resistente do material, σRd= 235MPa para:

- calcular o valor máximo para o comprimento L da viga; Solução : g) L ≤ 1.44m;

21) A viga encastrada está sujeita a acções com valores de cálculo indicados na figura

seguinte:

a) Trace os diagramas de esforços (T; M; Mt);

b) Exclusivamente com base nas tensões normais, dimensione a viga como um perfil INP (tabela técnica), admitindo um valor de cálculo da tensão resistente do material, σRd= 235MPa.

c) Para o perfil seleccionado e na secção do encastramento trace o diagrama das tensões normais devido ao momento flector, indicando o valor das tensões normais máximas;

d) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra faça a representação das tensões tangenciais devidas ao esforço transverso em que seja possível visualizar o fluxo no sentido correcto e a distribuição das tensões através da

50kN

1m

100kN

1kNm

de quantificar).

e) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra faça a representação das tensões tangenciais devidas ao momento torçor em que seja possível visualizar o fluxo no sentido correcto e a distribuição das tensões através da espessura;

f) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra assinale um ponto onde seja relevante verificar a combinação das tensões segundo o critério:

Rd  

2  2 

3

g) Na secção do encastramento, observada da extremidade livre da barra assinale um ponto onde seja relevante verificar a combinação das tensões segundo o critério:

3 max Rd   

h) Verifique o perfil INP seleccionado, admitindo um material com σRd= 235MPa.

Para o cálculo das tensões tangenciais devidas a esforço transverso e a momento torçor adopte a secção simplificada apresentada na figura seguinte, onde h, e, b são

cotas do perfil seleccionado e t é a espessura do banzo a ¼ da largura deste:

Solução: b) INP 34; c) σmax = 216.68MPa; f) Ponto B; g) Ponto A; h) No ponto B: 222.68MPa<235MPa,

Verifica; No ponto A: 55.24MPa<135.7MPa, Verifica.

Referências

Dias da Silva, V. – Mecânica e Resistência dos Materiais, capítulo X – Momento Torçor. 2ª Edição. Edição: ZUARI – Edição de Livros Técnicos, Lda. 1999. ISBN: 972- 98155-0-X.

William Nash – Resistência de Materiais, capítulo 5 – Torção. Edição: McGraw-Hill . 2001. ISBN: 972-773-090-6.

t

x Ver t, h, e, b nas tabelas técnicas

b h e B B A