Vigas mistas aço-betão com laje curta

Nesta Secção mostra-se que o elemento finito proposto é capaz de determinar, com precisão e rapidez, a trajetória de equilíbrio de vigas mistas, incluindo a carga de colapso e a curva pós-colapso. Consideram-se banzos estreitos, deixando-se para a Secção 3.4.4 a introdução do efeito de shear lag. São analisadas duas vigas com lajes estreitas, nomeadamente (i) uma viga simplesmente apoiada com um vão de 6 m, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, e (ii) uma viga em consola com uma carga pontual na extremidade livre. A geometria da secção transversal e as propriedades dos materiais são indicadas na figura 3.22(a) (são adotados valores médios relativos a um betão C25/30).

Não sendo relevantes os efeitos de shear lag, as análises com a GBT necessitam apenas da consideração dos três primeiros modos de deformação (E,F e C) da figura 3.12. Análises preliminares mostraram que é necessário considerar 5 pontos de integração na alma do perfil, em y, e também 5 pontos de integração em z na laje de betão (direção da espessura). No caso da viga simplesmente apoiada foi adotada uma simplificação de simetria longitudinal.

Por forma a validar os resultados obtidos, foram elaborados modelos de elementos brick no programa ATENA. Tal como no exemplo da Secção 3.4.1, são considerados dois níveis de refinamento de malha, onde o modelo 2 (o mais refinado) envolve duas camadas de elementos na espessura da laje de betão — a figura 3.22(b) ilustra o modelo 2 para a viga em consola, sendo de notar que foi considerada uma simplificação de simetria da secção transversal. Adota-se uma taxa de armadura transversal de 4%, de forma a evitar um colapso prematuro por corte na laje.

Modelo 2

(a)

Perfil de aço Betão Armaduras

Ea = 210 GPa (mm) hc = 100 tf = 10 tw = 7 hw = 180 Ec = 31 GPa �c = 0,2 fc = 33 MPa �c1 = 0,0021 fay = 235 MPa �a = 0,3 Es = 200 GPa fsy = 500 MPa As/Ac = 0,4 % (b) 600 200

Figura 3.22: Vigas mistas aço-betão com laje curta: (a) geometria da secção transversal e propriedades dos materiais, (b) modelo de elementos brick mais refinado (modelo 2).

No programa ATENA foi utilizada uma lei constitutiva que combina fendilhação e esmagamento recorrendo a um modelo de decomposição de deformações (de Borst, 1986). Utilizou-se a lei constitutiva CC3DNonLinCementitious2, a qual permite considerar estados de tensão multiaxiais e é recomendada nos manuais do programa. Esta lei adota um modelo de fenda distribuída com fendas ortogonais, que podem ser fixas ou rodadas. No presente trabalho foi escolhido um modelo de fenda fixa, para procurar manter as mesmas hipóteses da Secção 3.3.2.1. Neste caso, a rigidez de corte diminui com a abertura da fenda, o que corresponde a adotar um valor de β variável entre 1 e 0. Para além disso, é possível considerar armadura distribuída, o que é extremamente conveniente do ponto de vista da modelação. Para o comportamento à compressão adota-se um modelo de plasticidade que adota a superfície de cedência de Menetrey e Willam (1995), com endurecimento (pré-pico) e amolecimento (pós-pico). A lei uniaxial é ilustrada na figura 3.21.

A viga simplesmente apoiada é analisada em primeiro lugar. Nas figuras 3.23(a)-(b) estão representados os gráficos carga-deslocamento obtidos com o elemento proposto e com os modelos de elementos brick. Relativamente aos resultados obtidos com o elemento proposto, o gráfico (a) ilustra o efeito do parâmetro ¯d, enquanto que o gráfico (b) permite avaliar a influência da discretização (elementos com o mesmo comprimento). A análise dos

(a) Deslocamento vertical do meio-vão (m) Carga (kN/m ) GBT, 4 EF, d = 0,005 GBT, 4 EF, d = 0,01 GBT, 4 EF, d = 0,02 Brick, modelo 1 Brick, modelo 2 0 10 20 30 40 50 0 0.05 0.1 0.15 0.2 6 m , , , ,

Encastramento Deformação plástica equivalentena viga de aço Extremidade_livre

(d) GBT, 6 EF, d = 0,01 GBT, 4 EF, d = 0,01 GBT, 2 EF, d = 0,01 Brick, modelo 1 Brick, modelo 2 0 10 20 30 40 50 0 0.05 0.1 0.15 0.2 6 m Carga (kN/m )

Deslocamento vertical do meio-vão (m) (b) , , , , 0 10 20 30 40 50 60 70 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Deslocamento vertical da extremidade livre (m)

GBT, 16 EF GBT, 8 EF GBT, 4 EF

Brick, modelo 2, fct = 2,6 MPa

Brick, modelo 2, fct = 100 kPa

2 m

Carga (kN)

(c)

, , , , , ,

Figura 3.23: Vigas mistas aço-betão com laje curta: (a-b) gráficos carga-deslocamento para a viga simplesmente apoiada, (c) gráfico carga-deslocamento para a viga em consola e (d) deformação plástica equivalente na consola, no colapso (modelo de elementos brick).

gráficos permite concluir:

(i). Relativamente aos dois modelos de elementos brick, estes gráficos mostram que se obtém resultados praticamente coincidentes nas trajetórias ascendentes e cargas máximas, mas distintas na resposta pós pico, com o modelo 1 (malha menos refinada) a prever uma curva ligeiramente mais inclinada.

(ii). No que se refere aos resultados da GBT, independentemente do número de elementos finitos e do valor de ¯dadotado, as curvas ascendentes são praticamente coincidentes com as dos modelos de elementos brick.

(iii). No gráfico da figura 3.23(a), conforme esperado, as cargas máximas obtidas com a GBT e a resposta pós-pico são significativamente dependentes do parâmetro ¯d, com

¯

d = 0,01 a fornecer os resultados mais próximos dos obtidos com o modelo 2 de elementos brick (malha mais refinada).

(iv). Em sentido contrário, o gráfico da figura 3.23(b) permite constatar claramente que a utilização de um valor fixo para o parâmetro ¯dresulta numa resposta independente da malha, conforme pretendido.

(v). Em acréscimo, este gráfico permite concluir que, para este caso, é suficiente considerar apenas dois elementos finitos de barra.

No caso da viga em consola, o gráfico carga-deslocamento encontra-se representado na figura 3.23(c). Apenas são mostrados os resultados obtidos com o modelo 2 de elementos brick (mais refinado). Para este modelo são considerados dois valores de tensão resistente à tração e de energia de fratura: (i) fct= 2,6MPa (valor médio para um betão C25/30) e

Gf = 0,08368kN/m (valor proposto pelo ATENA) ou (ii) fct= 100kPa e Gf = 8,368×10−3

kN/m, valores propositadamente baixos para procurar reproduzir o modelo adotado no elemento finito proposto (betão sem resistência à tração). Análises preliminares mostraram que os resultados não variam com o parâmetro ¯d(o valor adotado é ¯d = 0,005) e, assim, apenas o efeito da variação de elementos finitos é ilustrado no gráfico. Estes resultados permitem retirar as seguintes conclusões:

(i). Ambos os modelos de elementos brick, embora considerem leis constitutivas à tração diferentes, levam a cargas máximas semelhantes. Contudo, a diminuição da resistência à tração leva a cargas consideravelmente mais baixas no início do ramo ascendente da curva (para o mesmo valor do deslocamento).

(ii). Verifica-se que são necessários apenas quatro elementos finitos da GBT para repro- duzir com precisão o ramo ascendente da curva obtido com o modelo de elementos brick com baixa resistência à tração. No entanto, a convergência da carga máxima só é atingida quando se utilizam pelo menos oito elementos (a utilização de mais elementos não conduz a diferenças significativas).

Tabela 3.1: Vigas mistas aço-betão com laje curta.

GBT ATENA EC4 GBT-EC4 ATENA-EC4

Simp. apoiada 46,53kN 47,80 kN 45,83 kN 1,53% 4,30%

Consola 60,14kN 64,26 kN 59,22 kN 1,55% 8,51%

(iii). Naturalmente, o ramo ascendente do modelo de elementos brick com baixa resistência à tração leva a resultados praticamente coincidentes com os da GBT. No entanto, a carga máxima obtida com o modelo de elementos brick é superior em cerca de 7% relativamente à GBT (considerando 16 elementos finitos). Deve salientar-se que a carga máxima que se obtém usando o método do EC4, sem coeficientes parciais de segurança, coincide praticamente com o valor obtido com os elementos finitos da GBT (os valores obtidos pelo EC4 são fornecidos na tabela 3.1 e serão discutidos de seguida). Esta diferença entre a GBT e os modelos de elementos brick é explicada com recurso à figura 3.23(d), que mostra que o encastramento restringe a deformação e faz com que a rótula plástica se afaste do apoio6_.

Na tabela 3.1 são fornecidas as cargas máximas obtidas com a GBT, o ATENA e o EC4. No caso da GBT, para a viga simplesmente apoiada são adotados 6 elementos finitos e ¯d = 0,01, enquanto que para a consola são considerados 16 elementos finitos e ¯d = 0,005. Relativamente ao modelo de elementos brick, considerou-se a malha mais refinada (modelo 2). As cargas obtidas pelo EC4 foram obtidas sem a utilização de coeficientes parciais de segurança, de modo a que os resultados sejam comparáveis. Observa-se que as cargas máximas da GBT estão mais próximas do EC4, especialmente no caso da consola (como anteriormente explicado). É de notar que a diferença máxima entre a GBT e o EC4 é de apenas 1,5%, enquanto que para os elementos finitos brick esta diferença é de 8.51%.

Finalmente, é importante referir os tempos de cálculo. Para a viga simplesmente apoiada, as análises recorrendo ao elemento proposto duram aproximadamente 83 segundos, enquanto que com o ATENA as análises duram 6 horas. No caso da consola, as análises com a GBT demoram cerca de 30 segundos e o programa ATENA dura 10 horas caso a resistência à tração seja reduzida (5 horas sem essa redução). É ainda de notar que a modelação da viga no ATENA tem uma simplificação de simetria transversal — caso tivesse sido efetuada uma análise com a secção total, os tempos de cálculo aumentariam substancialmente.