Vigas sujeitas à torção com secção oca

À semelhança do modelo VATM, também no GSVATM foi considerada uma viga de secção retangular oca como se ilustra na Figura 2.1. Esta viga é armada longitudinalmente apenas com um varão em cada canto e na transversalmente com cintas uniformemente espaçadas. No modelo desta viga é também assumida a existência de escoras diagonais com ângulo α em relação ao eixo longitudinal da mesma. A premissa do modelo de treliça espacial com ângulo variável (VATM) considera as forças presentes nas armaduras e nas escoras.

Na Figura 2.1 pode notar-se a presença de dois tipos de forças, as forças nas escoras de betão inclinadas com ângulo α relativamente ao eixo longitudinal e as forças nas armaduras longitudinais. A combinação resultante destas duas forças traduz o fluxo de corte q no plano da secção transversal da Figura 2.1. Tal como referido no início deste capítulo, os “tirantes” perpendiculares às escoras, que o GSVATM incorpora, também contribuem com uma força suplementar para o equilíbrio do modelo. A resultante entre esta força dos tirantes e a das escoras é depois combinada com a força das armaduras longitudinais para originar o fluxo de corte q.

Analisando a viga apresentada na Figura 2.1, pode-se comparar a mesma a um tubo de parede fina. Sendo assim, esta pode ser caracterizada pela Teoria de Bredt. Nesta teoria o fluxo de corte é fornecido por:

𝑞 = 𝑀𝑇

2𝐴0

(2.1) Onde MT corresponde ao momento torsor aplicado e A0 é a área interior limitada pela

linha média de fluxo de corte. É assumido que esta linha média coincide com a linha média da espessura t das paredes da secção.

A força total existente nas barras da armadura longitudinal da secção é obtida pela equação que se segue:

𝐴𝑠𝑙𝑓𝑠𝑙 { 𝑀𝑇𝑝0 2𝐴0 cot 𝛾 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 + 𝛽 ≤ 90° −𝑀𝑇𝑝0 2𝐴0 cot 𝛾 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 + 𝛽 > 90° (2.2)

Nesta equação Asl representa a área total de armadura longitudinal existente na secção

e fsl a respetiva tensão, p0 é o perímetro da linha média do fluxo de corte e por fim γ

corresponde ao ângulo que a resultante (R ), entre as forças de tração (T ) e compressão (C ), faz com o eixo longitudinal do elemento viga, tal como se encontra ilustrado na Figura 2.3.

Já a força distribuída pela armadura transversal da parede obtém-se da equação seguinte: 𝐴𝑠𝑡𝑓𝑠𝑡= 𝑀𝑇𝑠 2𝐴0 𝑡𝑎𝑛 𝛾′ (2.3) Onde A corresponde à área de uma das barras que compõe a armadura transversal e

armadura transversal e γ’ corresponde ao ângulo que a resultante (R) faz com o eixo longitudinal do elemento viga como se ilustra na Figura 2.4. Este ângulo γ’ é obtido considerando um modelo de treliça espacial plana de uma viga de betão armado simplesmente apoiada com secção de alma fina com espessura t, estando sobre ela aplicada a meio vão uma carga concentrada que origina esforço transverso e momento fletor como exemplificado na Figura 2.2. Nessa viga considera-se um elemento parcial designado por A, este elemento de viga sofre a ação de um esforço transverso constante V e de um momento fletor variável que corresponde a M na face esquerda e M + Vdv cot α na face direita como se representa na Figura 2.3. Nesta figura é

também ilustrado o equilíbrio do elemento em causa. Assim, para saber o ângulo que a resultante R faz com o eixo longitudinal da viga, é necessário efetuar um corte horizontal no elemento A, a uma altura y arbitrada e medida a partir da base resultando no corpo livre retangular ilustrado na Figura 2.4.

Figura 2.2 - Modelo treliça plana para análise de uma viga de betão armado [9]

Figura 2.3 - Ilustração do equilíbrio do elemento A [9].

A tensão nos tirantes diagonais de betão σ1c, obtém-se a partir da força de tração 𝑇

𝜎1𝑐=

𝑇 𝑡𝑑𝑣 sin 𝛼

(2.4)

Já a tensão aplicada, nas escoras de betão σ2c, resulta da força de compressão 𝐶 que

atua na secção da escora com uma área transversal de 𝑡 por 𝑑𝑣cos 𝛼.

𝜎2𝑐=

𝐶 𝑡𝑑𝑣 cos 𝛼

(2.5)

Onde α é o ângulo entre a força de compressão C e o eixo longitudinal da viga, dv

corresponde à distância que separa as armaduras longitudinais concentradas na corda superior e inferior da viga como representado na Figura 2.3.

A resultante R das forças de compressão C e de tração T encontra-se esquematizada também na Figura 2.3, no triângulo de forças superior, e obtém-se da seguinte forma:

𝑅 = √𝐶2_{+ 𝑇}2

(2.6) Onde as forças R,C eT, resultam das seguintes equações:

𝑅 = 𝑀𝑇𝑑𝑣 2𝐴0sin 𝛾 (2.7) 𝐶 = 𝑅 cos 𝛽 =𝑀𝑇𝑑𝑣 2𝐴0 cos 𝛽 sin 𝛾 (2.8) 𝑇 = 𝑅 sin 𝛽 =𝑀𝑇𝑑𝑣 2𝐴0 sin 𝛽 sin 𝛾 (2.9)

Sendo que β e γ são os ângulos que a resultante R faz com a força de compressão C e o eixo longitudinal da viga, respetivamente.

Tais ângulos são determinados do seguinte modo:

𝛽 = arctan (𝑇

𝐶)

(2.10) 𝛾 = 𝛼 + 𝛽

Figura 2.4 - Equilíbrio do corpo livre retangular para 𝛼 + 𝛽 ≤ 90° e 𝛼 + 𝛽 > 90° [9].

Tendo por base o equilíbrio do corpo livre retangular apresentado na Figura 2.4 é possível obter o valor de γ’ :

𝛾′_{= {}

𝛼 − 𝛽 = 𝛾 − 2𝛽 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 + 𝛽 ≤ 90° 𝛽 − 𝛼 = 2𝛽 − 𝛾 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝛼 + 𝛽 > 90°

(2.12)

A tensão na escora e no tirante diagonais de betão pode ser obtida através da substituição das Equações 2.8 e 2.9 nas Equações 2.5 e 2.4, respetivamente, obtendo as seguintes equações: 𝜎1𝑐= 𝑀𝑇 2 𝐴0 𝑡𝑡 sin 𝛽 sin 𝛾 cos 𝛼 (2.13) 𝜎2𝑐= 𝑀𝑇 2 𝐴0 𝑡𝑐 cos 𝛽 sin 𝛾 cos 𝛼 (2.14)

Onde tc é a espessura da escora diagonal de betão e tt é a espessura do “tirante”

diagonal de betão.

As 5 equações básicas de equilíbrio para a torção no GSVATM são constituídas pelas equações 2.1, 2.2, 2.3, 2.9 e 2.13, expostas anteriormente. Para além de serem válidas para secções de betão armado retangulares ocas, são também válidas para secções cheias tendo por base as conclusões obtidas por Hsu em 1968 [17], designadamente através de ensaios experimentais. Nestes ensaios, o referido autor observou que a resistência última de uma viga de secção cheia era semelhante à de uma viga de secção oca com as mesmas características. Assim, o autor chegou a conclusão que o núcleo central de betão não condiciona a resistência de uma viga na proximidade da fase de rotura. Tal pode justificar-se pelo facto do momento torsor atuante ser resistido essencialmente pela envolvente exterior da viga, ou seja a “casca”. No momento em que as armaduras são solicitadas e entram em cedência, o equilíbrio da treliça espacial para o momento torsor último passa a ser definido pelas equações 2.2 e 2.3.