Viola¸c˜ ao da simetria de Lorentz

Uma vez entendido o significado da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz, resta-nos saber de onde ela pode vir. Existem duas maneiras da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz se manifestar: atrav´es de uma quebra espontˆanea ou quebra expl´ıcita.

A quebra espontˆanea da simetria de Lorentz, como j´a comentamos, ocorre quando um campo tensorial adquire um valor esperado no v´acuo n˜ao-trivial. Assim, uma vez que um campo tensorial condensa, ela ir´a adquirir um valor constante e selecionar uma dire¸c˜ao privilegiada, permeando todo o espa¸co, implicando na viola¸c˜ao da simetria de rota¸c˜oes e boosts. No caso de quebra espontˆanea, os modos de Nambu-Goldstone ou o mecanismo de Higgs podem trazer consequˆencias extras a serem consideradas.

A quebra expl´ıcita da viola¸c˜ao da simetria de Lorentz ocorre quando campos ten- soriais de fundo s˜ao acoplados aos campos usuais do MP, mas n˜ao ´e levado em conta o surgimento de poss´ıveis modos de Nambu-Goldstone: que s˜ao flutua¸c˜oes em torno do es- tado de v´acuo (campos de fundo). Embora n˜ao esteja associado explicitamente a campos de fundo provenientes de uma quebra espontˆanea de simetria, esses acoplamentos n˜ao s˜ao sem sentido. De fato, ´e razo´avel pensar que se existe campos de fundo, ´e esperado que eles pudessem interagir com os demais campos do MP. Isso facilita o estudo fenomenol´ogico e experimental, uma vez que atrav´es desses termos podemos indicar quais acoplamentos ser˜ao relevantes e onde os esfor¸cos devem ser direcionados.

Embora a viola¸c˜ao expl´ıcita da simetria de Lorentz seja, teoricamente, consistente dentro do setor da F´ısica de part´ıculas, ela n˜ao ´e consistente no caso da gravita¸c˜ao [69]. Considerando o caso de uma teoria de gravidade do tipo Riemann-Cartan [11] com vi- ola¸c˜ao expl´ıcita da simetria de Lorentz, nota-se que as identidades de Bianchi s˜ao incom- pat´ıveis com a conserva¸c˜ao covariante de energia e momento e as equa¸c˜oes de movimento para a m´etrica. Este problema ´e contornado atrav´es da quebra espontˆanea de simetria; onde os coeficientes de viola¸c˜ao de Lorentz surgem como solu¸c˜oes para as equa¸c˜oes de movimento de campos fundamentais extras.

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E sabido, contudo, que a quebra espontˆanea de simetria apresenta dois distintos cen´arios: quebra global e quebra local de simetria. Na gravita¸c˜ao isso ´e mais sutil, pois o campo que descreve a intera¸c˜ao gravitacional ´e a m´etrica do espa¸co-tempo em quest˜ao, a qual ´e uma quantidade geom´etrica dependente em cada ponto do espa¸co-tempo. Diferentemente das teorias de Yang-Mills [87] onde o grupo de calibre ´e interno – onde se pode definir a conex˜ao afim (ou campo de calibre) – o grupo de calibre da gravita¸c˜ao (considerado como uma variedade), que seria o grupo interno (tamb´em com transporte paralelo definido por uma conex˜ao afim Γλ

µν(x)) est´a diretamente relacionado `a variedade

base M . Contudo, sabe-se – do princ´ıpio de equivalˆencia – que a variedade da relatividade geral localmente ´e Minkowski. Assim, h´a uma simetria de Lorentz local. Deste modo, pode-se associar localmente cada ponto da variedade base a um ponto no espa¸co tangente – que ´e Minkowski – atrav´es da vierbein e a

µ . Ainda, a cada ponto do espa¸co-tempo pode-

se associar uma fibra, e a conex˜ao de spin ωab

µ pertencente a representa¸c˜ao ajunta do

grupo de Lorentz local define o transporte paralelo ao longo da fibra. Com a defini¸c˜ao de vierbein e conex˜ao de spin – o chamado formalismo de primeira ordem – se pode acoplar spin `a gravita¸c˜ao.

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E importante ressaltar que a quebra da simetria de Lorentz local implica na que- bra de difeomorfismos e vice-versa. Em vista disso, a contagem dos modos de Nambu- Goldstone e a possibilidade do mecanismo de Higgs s˜ao propriedades sutis. De fato, a contagem dos modos de Nambu-Goldstone – como explicado na introdu¸c˜ao – n˜ao se man- tem no caso da quebra espontˆanea de simetria do espa¸co-tempo, e depende da geometria deste. Por exemplo, no espa¸co-tempo de Minkowski ou de Riemann os modos de Nambu- Goldstone aparecem como modos de massa nula ou modos auxiliares na vierbein. N˜ao ´e dif´ıcil perceber que, embora n˜ao muito claro nesta r´apida exposi¸c˜ao, num espa¸co rie- manniano os acoplamentos que poderiam fornecer massa para a m´etrica s˜ao acoplamentos derivativos nesta. Refletindo somente uma modifica¸c˜ao da propaga¸c˜ao da gravidade. Por outro lado, no espa¸co-tempo de Riemann-Cartan existe a possibilidade do mecanismo de Higgs; aonde a massa para a conex˜ao de spin vem do termo cin´etico do campo que adquire valor esperado no v´acuo n˜ao-trivial. Esta situa¸c˜ao ´e favorecida se a conex˜ao for propa- gante; que exige tor¸c˜ao dinˆamica. Conv´em ressaltar que os termos cin´eticos associados `a conex˜ao de spin, que podem tornar isso poss´ıvel, s˜ao sutis.

Em resumo, o estudo da quebra espontˆanea da simetria de Lorentz depende de v´arios fatores: tipos de campos que assumem valores esperados no v´acuo n˜ao-triviais, ca- racter´ısticas do potencial de Higgs, geometria do espa¸co-tempo etc. Nestes casos, embora a quebra de difeomorfismo implique necessariamente na quebra da simetria de Lorentz local, h´a diferen¸cas entre os modos de Nambu-Goldstone relacionados `a quebra de difeo- morfismo e `a quebra da simetria de Lorentz. Isto fica claro quando se estuda espec´ıficos modelos gravitacionais com quebra espontˆanea da simetria de Lorentz. Por exemplo, nos Bumblebee models [88, 89], que s˜ao modelos gravitacionais com campo vetorial, os modos de Nambu-Goldstone relacionados `a quebra da simetria de Lorentz local s˜ao asso- ciados a f´otons no calibre axial em um campo gravitacional, enquanto que os modos de Nambu-Goldstone relacionados `a quebra de difeomorfismo s˜ao associados apenas a modos auxiliares. Al´em disso, nos chamados Cardinal models [90, 91], os modos de Nambu- Goldstone s˜ao relacionados a gr´avitons de massa nula. Aqui o campo que condensa ´e um campo tensorial de ordem dois sobre um espa¸co de Minkowski. Nota-se, portanto, que a quebra espontˆanea da simetria de Lorentz abre espa¸co para importantes quest˜oes fenomenol´ogicas: novos tipos de intera¸c˜ao.

Conv´em ressaltar que, al´em de toda a vis˜ao geral do ponto de vista te´orico do MPE descrevida acima, embora n˜ao completa, como ser´a notado adiante, o MPE tem sido estudado extensivamente no ˆambito fenomenol´ogico e experimental. Podemos di- zer que esses estudos est˜ao situados em duas escalas de energias: altas energias e “bai- xas energias”. Altas energias poderia ser entendido como os fenˆomenos relacionados a processos astrof´ısicos com energias bem acima da escala do LHC10. Por exemplo, raios c´osmicos ultraenerg´eticos poderiam induzir modifica¸c˜oes nas usuais rela¸c˜oes de dispers˜oes relativ´ısticas [92]; dependentes da energia e momento das part´ıculas. Por baixas ener- gias, referimo-nos aos processos terrestres oriundos de fenˆomenos atˆomicos ou na escala de energia do LHC. Estes processos, por sua vez, podem ser vantajosos em rela¸c˜ao aos processos astrof´ısicos, devido `a acur´acia obtida nos experimentos. Devido `a extensa lite- ratura sobre aspectos fenomenol´ogicos e experimentais do MPE, o leitor fica remetido a consultar as Refs. [93, 94] e referˆencias a´ı contidas.

Vale ressaltar que existem v´arias abordagens que tratam a viola¸c˜ao da simetria de Lorentz. Para uma vis˜ao geral sobre as diferentes abordagens da viola¸c˜ao de Lorentz, do ponto de vista te´orico, experimental e fenomenol´ogico, ver Refs. [95, 96, 97].

Em resumo, o MPE ´e caracterizado pelos seguintes requerimentos: • Independˆencia de coordenadas;

• Cont´em toda a f´ısica conhecida;

• Presen¸ca de campos de fundo.