Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

desigualdade para o autovalor λmin, escrita em função do menor momento não-nulo pmin

e de um parâmetro que descreve a geometria da primeira região de Gribov Ω. Este

resultado é baseado na concavidade da função mínimo (ver, por exemplo, a Seção 12.4

na Ref. [150]) e nas três propriedades importantes da região Ω descritas na Seção 2.1

acima. De fato, considerando uma conguração de gauge A

_{que pertence ao primeiro}

horizonte de Gribov ∂Ω e indicando com λmin[_{M] o menor autovalor não-nulo da matriz}

de Faddeev-Popov M, podemos escrever

λ

min

[M[ρA

] ] = λ

min

[(1− ρ) (−∆) + ρ M[A

]] ,

(4.29)

com ρ ∈ <. Pela segunda propriedade de Ω sabemos que ρA

_{∈ Ω para ρ ∈ [0, 1]. Ao}

mesmo tempo, temos que

λ

min

[(1− ρ) (−∆) + ρ M[A

]] =

min

χ6=

constant

(χ , [ (1_{− ρ) (−∆) + ρ M[A}

] ] χ) ,

(4.30)

onde os vetores χ(b, x) são normalizados, i.e. (χ , χ) = 1. Logo, usando a concavidade da

função mínimo [150] e os resultados

λmin[_M[A

] ] = 0

(4.31)

λ

min

[M[−∆] ] = p

2min

,

(4.32)

obtemos

λmin[_M[ρA

] ] =

min

χ6=

constant

(χ , [ (1_{− ρ) (−∆) + ρ M[A}

] ] χ)

(4.33)

≥ (1 − ρ)

min

χ6=

constant

(χ , (_{−∆) χ) + ρ}

min

χ6=

constant

(χ ,_M[A

] χ)

= (1_{− ρ) λ}

min

[−∆] + ρ λ

min

[M[A

] ]

= (1_{− ρ) p}

2_min

.

(4.34)

Assim, no limite de volume innito, o autovalor λmin[_M[ρA

] ]

não pode decrescer mais

rapidamente do que o produto (1 − ρ) p

4.4 Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

97 N

−2−α

, com α > 0, somente se a grandeza 1 − ρ também vai para zero pelo menos

como N

−α

_{. É interessante observar que no caso abeliano temos M = −∆ e λmin}

_{= p}

2_min.

Assim, todos os efeitos não-abelianos da teoria são incluídos no fator (1−ρ). É importante

ressaltar que o resultado acima se aplica a qualquer cópia

_{de Gribov A = ρA}

∈ Ω e que

a nova desigualdade pode também ser escrita como

λ

min

[M[A] ] ≥ [1 − ρ(A)] p

2min

,

(4.35)

onde ρ(A) ≤ 1 é a medida da distância entre a conguração A ∈ Ω e a origem A = 0,

com ρ

−1

_A

∈ ∂Ω.

Um aspecto importante do resultado (4.35) acima é que o limite inferior depende de

p

2_{min. Desta forma, usando a desigualdade na Eq. (4.25), podemos escrever}

G(A, p)

_≤

1 λ

min

(A)

≤

1 [1_{− ρ(A)] p}

2 min

,

(4.36)

onde foi evidenciado que todas as grandezas foram calculadas para a conguração de

gauge A. Assim, para obter um propagador de fantasmas G(A, p) fortalecido no limite

infravermelho, uma condição necessária é que o fator 1 − ρ(A) vá a zero de forma suci-

entemente rápida no limite de volume innito. Além disso, escrevendo o propagador de

fantasmas como

G(A, p) =

1 p

1 1_{− σ(A, p)}

,

(4.37)

onde σ(A, p) é o chamado fator de forma de Gribov, obtemos para p = pmina desigualdade

σ(A, p

min

)

≤ ρ(A)

(4.38)

[com ρ(A) ≤ 1]. Relembramos que a restrição da integral funcional (ou de trajetória)

que dene a função de partição Z da teoria à região Ω é em geral obtida impondo a

chamada no-pole condition [6]

σ(A, p) < 1

for

p

> 0 .

(4.39)

A desigualdade (4.38), que deve ser satisfeita para qualquer conguração de gauge A ∈ Ω,

representa então uma versão mais forte da condição de ausência de polos (4.39).

11_{Claramente, cópias de Gribov diferentes serão em geral caracterizadas por valores diferentes do pa-}

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

0.01

0.02

0.04 1/N

Figura 4.3: O inverso do propagador de fantasmas 1/G(p2

min) (triângulos), calculado para o menor momento não nulo na rede pmin, o menor autovalor não nulo λmin (qua- drados) e o limite inferior na Eq. (4.35) (círculos) como função do inverso do lado de rede. Para cada grandeza é também mostrado o ajuste usando a função c/Nη_. Todas as grandezas são em unidades de rede. Para esta gura foi usado o conjunto de cópias de Gribov indicado na Ref. [149] como rst copy (fc). Observe a escala logarítmica nos dois eixos. As barras de erro (que não são visíveis) correspondem a um desvio padrão. (Na análise dos dados foram considerados somente os erros estatísticos.) Este gráco é apresentado na Figura 11 da Ref. [149].

4.4 Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

99 Claramente, os resultados acima podem também ser escritos como

1/G(A, p

min

)

≥ λ

min

[M[A] ] ≥ [1 − ρ(A)] p

2min

.

(4.40)

Estas desigualdades foram vericadas numericamente na Ref. [149] (ver Fig. 4.3). Como

já mostrado na seção anterior, ca claro que λmin

se aproxima de 1/G(p

min

)

no limite

de volume innito. Ao contrário, o limite inferior (1 − ρ) p

min

decresce mais rapida-

mente do que 1/G(p

min

)

e λmin. De fato, usando a função c/N

para fazer um ajuste

dos dados, foram obtidos para o expoente η os valores η ≈ 3.4 para o limite inferior

(1_{− ρ) p}

2min, η ≈ 2.0 para o inverso do propagador e η ≈ 1.3 para λmin. Os dados

também mostram que o valor do parâmetro ρ é em geral muito próximo de 1, até para

redes de tamanho relativemente pequeno, i.e. a maioria das congurações obtidas em

simulações numéricas está localizada muito próxima do primeiro horizonte de Gribov

∂Ω. É importante ressaltar que a desigualdade (4.35) se torna uma igualdade somente

quando os autovetores correspondentes aos menores autovalores não-nulos das matrizes

−∆ e M[A

_]

_{são iguais. Assim, o resultado λmin}

(1 − ρ) p

min

conrma mais uma vez

que o autovetor ψmin

é muito diferente das ondas planas de momento pmin. Ao mesmo

tempo, isto fornece uma clara indicação de por que a chamada solução conforme das EDS

[65, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82] não é obtida nas simulações

de rede (pelo menos em três e quatro dimensões), i.e. fornece uma primeira resposta para a

pergunta formulada na Seção 4.1 acima. De fato, parece que o fortalecimento do propaga-

dor de fantasmas para pequenos momentos poderia acontecer se fosse λmin

≈ (1 − ρ) p

2_min,

i.e. se ψmin

tivesse uma projeção grande nas ondas planas de momento pmin. Neste caso

λ

min

tenderia a zero, no limite de volume innito, mais rapidamento do que 1/N

e o

limite inferior na Eq. (4.25) implicaria um propagador de fantasmas fortalecido na região

infravermelha. Isto nos leva à singular conclusão de que os efeitos não-perturbativos da

QCD no gauge de Landau estariam relacionados a congurações de gauge cuja matriz de

Faddeev-Popov M é caracterizada por um autovetor ψ

min

muito próximo de uma onda

plana, i.e. próximo ao autovetor ψmin

do caso livre! Podemos concluir que as condições

necessárias para produzir um propagador de fantasmas fortalecido no limite de pequenos

momentos são tão peculiares que parece muito difícil a sua realização em simulações na

rede. Dito de outra forma, os resultados obtidos indicam que a solução massiva é, sob

vários pontos de vista

_{, a mais natural e que a chamada solução conforme representa}

uma solução sui generis que pode ser obtida somente em condições muito especícas.

No documento Estudo não-perturbativo de teorias de Gauge e o confinamento de cor (páginas 96-100)

Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

desigualdade para o autovalor λmin, escrita em função do menor momento não-nulo pmin

e de um parâmetro que descreve a geometria da primeira região de Gribov Ω. Este

resultado é baseado na concavidade da função mínimo (ver, por exemplo, a Seção 12.4

na Ref. [150]) e nas três propriedades importantes da região Ω descritas na Seção 2.1

acima. De fato, considerando uma conguração de gauge A

que pertence ao primeiro

horizonte de Gribov ∂Ω e indicando com λmin[M] o menor autovalor não-nulo da matriz

de Faddeev-Popov M, podemos escrever

λ

[M[ρA

] ] = λ

[(1− ρ) (−∆) + ρ M[A

]] ,

(4.29)

com ρ ∈ <. Pela segunda propriedade de Ω sabemos que ρA

∈ Ω para ρ ∈ [0, 1]. Ao

mesmo tempo, temos que

λ

[(1− ρ) (−∆) + ρ M[A

]] =

min

constant

(χ , [ (1− ρ) (−∆) + ρ M[A

] ] χ) ,

(4.30)

onde os vetores χ(b, x) são normalizados, i.e. (χ , χ) = 1. Logo, usando a concavidade da

função mínimo [150] e os resultados

λmin[M[A

] ] = 0

(4.31)

λ

[M[−∆] ] = p

,

(4.32)

obtemos

λmin[M[ρA

] ] =

min

constant

(χ , [ (1− ρ) (−∆) + ρ M[A

] ] χ)

(4.33)

≥ (1 − ρ)

min

constant

(χ , (−∆) χ) + ρ

min

constant

(χ ,M[A

] χ)

= (1− ρ) λ

[−∆] + ρ λ

[M[A

] ]

= (1− ρ) p

.

(4.34)

Assim, no limite de volume innito, o autovalor λmin[M[ρA

] ]

não pode decrescer mais

rapidamente do que o produto (1 − ρ) p

4.4 Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

97

N

, com α > 0, somente se a grandeza 1 − ρ também vai para zero pelo menos

como N

. É interessante observar que no caso abeliano temos M = −∆ e λmin

= p

Assim, todos os efeitos não-abelianos da teoria são incluídos no fator (1−ρ). É importante

ressaltar que o resultado acima se aplica a qualquer cópia

de Gribov A = ρA

∈ Ω e que

a nova desigualdade pode também ser escrita como

λ

[M[A] ] ≥ [1 − ρ(A)] p

,

(4.35)

onde ρ(A) ≤ 1 é a medida da distância entre a conguração A ∈ Ω e a origem A = 0,

com ρ

Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

acima. De fato, considerando uma conguração de gauge A

_{que pertence ao primeiro}

horizonte de Gribov ∂Ω e indicando com λmin[_{M] o menor autovalor não-nulo da matriz}

_{∈ Ω para ρ ∈ [0, 1]. Ao}

(χ , [ (1_{− ρ) (−∆) + ρ M[A}

λmin[_M[A

λmin[_M[ρA

(χ , [ (1_{− ρ) (−∆) + ρ M[A}

(χ , (_{−∆) χ) + ρ}

(χ ,_M[A

= (1_{− ρ) λ}

= (1_{− ρ) p}

Assim, no limite de volume innito, o autovalor λmin[_M[ρA

4.4 Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

_{. É interessante observar que no caso abeliano temos M = −∆ e λmin}

_{= p}

_{de Gribov A = ρA}

onde ρ(A) ≤ 1 é a medida da distância entre a conguração A ∈ Ω e a origem A = 0,

_A

_≤

[1_{− ρ(A)] p}

onde foi evidenciado que todas as grandezas foram calculadas para a conguração de

infravermelho, uma condição necessária é que o fator 1 − ρ(A) vá a zero de forma suci-

entemente rápida no limite de volume innito. Além disso, escrevendo o propagador de

1_{− σ(A, p)}

[com ρ(A) ≤ 1]. Relembramos que a restrição da integral funcional (ou de trajetória)

que dene a função de partição Z da teoria à região Ω é em geral obtida impondo a

A desigualdade (4.38), que deve ser satisfeita para qualquer conguração de gauge A ∈ Ω,

4.4 Volume Innito e Geometria da Região de Gribov

Estas desigualdades foram vericadas numericamente na Ref. [149] (ver Fig. 4.3). Como

já mostrado na seção anterior, ca claro que λmin

de volume innito. Ao contrário, o limite inferior (1 − ρ) p