2.3 VOTING GAMES NA TEORIA DOS JOGOS 2.3.3 Voting Games Voting Games (Jogos de Votação), ou também chamados de Simple Games, ou ainda Weighted Majority Games (Jogos de Maioria Ponderada), caracterizam um conjunto de jogos baseados em sistemas de votação. Podendo ser sistemas com número de votos igualmente distribuídos entre os eleitores, ou sistemas de votação onde cada eleitor possua um valor específico de votos. Algumas obras como González-Díaz, García-Jurado e Fiestras-Janeiro (2010) chamam estes modelos de Problemas de Votação (Voting Problems). Von Neumann e Morgenstern (1944) já dedicaram um capítulo do seu livro à caracterização destas situações de jogo. Estes problemas são muito associados à negociação e por isso o estudo dos referidos autores se dedicou a definições mais específicas e algumas abordagens referentes às estratégias utilizadas pelos jogadores. Para caracterização dos modelos de votação, Laruelle e Valenciano (2005) destacam a existência de dois elementos básicos que devem ser considerados. O primeiro elemento é a regra de votação existente. O segundo elemento é o conjunto de jogadores. Para os autores a regra de votação especifica o processo de tomada de decisão, ou seja, ela estabelece quando um projeto será aprovado ou rejeitado dependendo diretamente da configuração de votos obtida. Os eleitores participam do jogo considerando a condição de seu voto, e segundo um pensamento estratégico, seus votos estão associados a variáveis aleatórias diretamente influenciadas pela regra de votação. Outros trabalhos discutiram o conceito de problemas de votação, como Laruelle e Valenciano (2001, 2002, 2003), Albizuri e Laurelle (2013), entre outros. A seguir serão descritos alguns conceitos fundamentais de Jogos de Votação descritos nos trabalhos supracitados. 2.3.3.1 Regra de Votação De acordo com Laurelle e Valenciano (2005) uma regra de votação é um procedimento bem definido para a tomada de decisão em grupo por meio de votos, sendo indiferente o número de membros da comissão. Assumindo que o número de votantes é 𝑛, denota-se a rotulagem destes como “assentos” dos elementos 1, 2, … , 𝑛 pertencentes a 𝑁. Cabe destacar que se entende por votantes, e/ou eleitores o mesmo que jogadores. Uma vez apresentada a proposta, os eleitores formulam seus votos e votam. Será considerada apenas a possibilidade de voto nas opções ou “SIM” ou “NÃO”. É possível denotar por configuração de voto a forma como cada eleitor votou, no caso onde o voto seja aberto. Os problemas de voto secreto não são estudados, por não configurarem a existência de interação entre os eleitores. Ao considerar a dicotomia na opção de voto, é possível construir todas as configurações de votos, ou também podendo ser chamadas de coalizões, como 2𝑛. Cada combinação de voto será representada pelo número de votos favoráveis a aprovação. Além disso, representa-se por 𝑆 o conjunto de todos os eleitores que votaram pela aprovação, entendendo-a como a coalizão formada para a aprovação do projeto. Considerando 𝑁 como o conjunto universo dos eleitores, sabendo que 𝑆 ⊆ 𝑁, por analogia temos 𝑆𝐶 como o conjunto de eleitores que votaram contra o projeto. Desta forma, conclui-se que se um eleitor (jogador) 𝑖 votar na opção “SIM”, é correto afirmar que 𝑖 ∈ 𝑆. Além disso, se o eleitor 𝑖 votar contra a proposta então 𝑖 ∉ 𝑆 ou ainda 𝑖 ∈ 𝑆𝐶. Uma regra para uma votação (jogo) com 𝑁 é bem especificada se oferecer o devido entendimento de quais condições devem ser satisfeitas para que o projeto seja aprovado. Isso implica que ao se definir a regra de um jogo, é necessário conhecer todas as configurações de votos que levaram a aprovação do projeto. A estas configurações de voto dá-se o nome de coalizões vencedoras. Ao se representar por 𝑉 o conjunto de todas as coalizões vencedoras para uma votação com 𝑁 eleitores, segundo Laruelle e Valenciano (2005), é possível estabelecer três condições importantes para este conjunto: i) 𝑁 ∈ 𝑉; ii) ∅ ∉ 𝑉; e iii) Se 𝑆 ∈ 𝑉, então 𝑇 ∈ 𝑉 caso 𝑇 contenha a coalizão 𝑆. Estas condições levam a algumas reflexões. Para a primeira condição destaca que deve existir pelo menos uma coalização vencedora, mesmo que seja a unanimidade dos eleitores. A segunda leva a considerar que uma proposta nunca é aprovada sem que, pelo menos, um eleitor seja favorável. Já, a terceira condição indica a possibilidade de existir uma coalizão vencedora mínima, ou seja, aquela que qualquer outra coalizão que a contenha também será vencedora. Considerando estas condições referentes as regras de votação, é possível definir uma configuração mínima vencedora como: Definição 4.10 – Uma coalizão, ou configuração de votos, é minimamente vencedora se, para 𝑆 ∈ 𝑉, é possível verificar que (𝑆 − {𝑖}) ∉ 𝑉 para todo 𝑖 ∈ 𝑆. Laurelle e Valenciano (2005) não explicitam em seu trabalho, como pode ser descrita uma regra de votação onde existe a variação do número de votos para cada jogador. De forma mais contemporânea Jelnov e Tauman (2014), trabalharam com a ideia de um sistema de votação ponderado, em uma aplicação na Holanda considerando o poder que cada partido obteve com as eleições no passar do tempo. Adaptando esta ideia ao que foi trabalhado por Laurelle e Valenciano (2005), é possível abrir margem para a definição, dada a seguir, referente as regras de votação com variação no número de votos entre os eleitores. Estes jogos são melhor descritos pelo nome de Jogos de Maioria Ponderada. De acordo com Bolger (1982) uma regra de votação para Jogos de Maioria Ponderada pode ser definida como: Definição 4.11: Um Jogo de Maioria Ponderada é qualquer jogo 𝑣 ∈ 𝑆𝑁 que possua uma quota 𝑞 de aprovação, e um sistema de pesos não negativos 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 associados a cada um dos eleitores, tal que 𝑣(𝑆) = {1 se e somente se, ∑ 𝑝𝑖 𝑖∈𝑆 ≥ 𝑞 Sendo 𝑆 qualquer coalizão formado pelos jogadores, ou eleitores, do sistema de votação. A definição trazida, quando comparada com a definição de Laurelle e Valenciano (2005), deve esclarecer que quando 𝑣(𝑆) = 1, a coalizão 𝑆, é dita vencedora. Caso 𝑣(𝑆) = 0 a coalizão 𝑆 de eleitores que aprovam o projeto, é denominada perdedora. Considerando o que foi apresentado nesta seção sobre as regras de votação, para o entendimento completo dos jogos de votação é preciso entender o segundo aspecto importante, o jogador/eleitor. Mais importante ainda para se definir os indicadores de poder, é entender, sob o aspecto do eleitor, quando ele é Bem-Sucedido e quando é Decisivo. Estes conceitos são apresentados a seguir. 2.3.3.2 Eleitor Bem-Sucedido e Eleitor Decisivo Em uma votação, o papel de um jogador pode ser entendido por dois focos importantes. O primeiro estabelece que um jogador pode ser Bem-sucedido ou Mal-sucedido em sua estratégia de votação. O segundo aspecto existente, estabelece que um jogador pode ser Decisivo ou Irrelevante. Estes conceitos serão importantes para a construção dos índices de poder. A definição a seguir pode ser vista em Laurelle e Valenciano (2005, p. 175): Definição 4.12 – Após a tomada de decisão baseada em uma regra de votação, cujo conjunto de coalizões vencedoras é denotado por 𝑉, se a coalizão vencedora é 𝑆, e 𝑖 ∈ 𝑁: i) O Eleitor (Jogador) 𝑖 é dito Bem-sucedido se a decisão tomada pelo grupo coincidir com o voto de 𝑖, isso, se e somente se: (𝑖 ∈ 𝑆 ∈ 𝑉) ou (𝑖 ∉ 𝑆 ∉ 𝑉) ii) O Eleitor (Jogador) 𝑖 é dito Decisivo se ele for Bem-sucedido e seu voto for crítico para a tomada de decisão, ou seja: (𝑖 ∈ 𝑆 ∈ 𝑉 e (𝑆 − {𝑖}) ∉ 𝑉) ou (𝑖 ∉ 𝑆 ∉ 𝑉 e (𝑆 ∪ {𝑖}) ∈ 𝑉) O único índice de poder que não utilizou desta definição, de maneira explicita, é o índice de Shapley-Shubik, pelo fato que referido método utiliza o conceito de valor da coalizão. Ou então 𝑖 é um jogador Bem-sucedido. Assim como, se 𝑖 ∈ 𝑆 e se 𝑣(𝑆) = 1 e 𝑣(𝑆 − {𝑖}) = 0 então é verdadeiro afirmar que 𝑖 é decisivo. Complementarmente, em alguns Jogos de Maioria Ponderada é possível a existência de um Ditador. Isso significa a existência um jogador 𝑖 tal que 𝑣(𝑖) ≥ 𝑞, significando que seu peso de votação seja igual o maior do que a cota. Neste caso o Ditador sempre é Bem-sucedido e decisivo em qualquer votação. É comum observar estas situações de jogos em conselhos de acionistas de uma empresa, se um destes acionistas é majoritário, então ele pode ser visto como um ditador, conforme definição apresentada acima. As definições trazidas até o momento são importantes para a construção da ideia que permeia os índices de poder, principalmente os índices clássicos como Shapley-Shubik e Banzhaf. A seção seguinte destina-se a apresentar a construção teórica destes dois índices, considerando seus principais fundamentos e resultados. No documento UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ MOACIR MANOEL RODRIGUES JUNIOR ALOCAÇÃO DE RECURSOS COM BASE NO DESEMPENHO: UMA APLICAÇÃO DE VOTING GAMES AO PROGRAMA REHUF CURITIBA 2015 (páginas 70-74)
