4EORIADOSANÏISn A PARTE 22

objetivos !5,!

-ETA DA AULA

!OlNALDESTAAULAVOCÐDEVERÉSERCAPAZDE

s#ONHECERALGUMASPROPRIEDADESOPERATØRIASDOSANÏIS

s#OMPREENDERCOMPORTAMENTOSDIFERENTESDEELEMENTOSDEUMANELQUANTO ÌOPERA ÎODEMULTIPLICA ÎO

s!PRENDERASESTRUTURASALGÏBRICASDEDOMÓNIODEINTEGRIDADEECORPOS s!NALISAREXEMPLOSDEDOMÓNIOSDEINTEGRIDADEECORPOS

!PRESENTARALGUMASPROPRIEDADESOPERATØRIASBÉSICAS DOSANÏISEDESCREVERTIPOSESPECIAISDEANÏIS CHAMADOSDOMÓNIOSDEINTEGRIDADEECORPOS

0RÏREQUISITO

6OCÐPRECISARÉDASPROPRIEDADESDOANEL DOSINTEIROSMØDULO

EDOSCONHECIMENTOSDEANÏISDESENVOLVIDOS NAAULAANTERIOR

LGEBRA)\4EORIADOSANÏISn^APARTE

).42/$5£²/ 6AMOSINICIARESTAAULAVENDOALGUMASPROPRIEDADESCARACTERÓSTICASDOANELDOS NÞMEROSINTEIROSQUETORNAMOSCÉLCULOSMUITOMAISFÉCEIS%MSEGUIDAVAMOS EXPANDIROCONCEITODEANELEOBTERDUASNOVASESTRUTURASALGÏBRICAS

02/0/3)£²/

Ã`iÀiÊÊÕÊ>iÊiÊ>]ÊLÊ

∈

^Ê°ÊÌK\

£°Ê>°äÊrÊä°>ÊrÊä°Ê

Ó°Ê>°ÊqL®ÊrÊq>®°LÊrÊq>°L®°Ê Î°Êqq>®ÊrÊ>°Ê

{°Êq>®°qL®ÊrÊ>°L°Ê

$EMONSTRA ÎO

£°Ê6VkÊ«ÀiVÃ>À?ÊÌiÀÊiÊKÃÊÃÊ>Ý>ÃÊ`iÊ>iÊ>«ÀiÃiÌ>`ÃÊ

>ÊÕ>ÊÎ°Ê6i>ÊµÕi\

Ê>°äÊrÊ>°äÊ³ÊäÊ«iÊ>Ý>ÊÎÆ

Ê>°äÊ³ÊäÊrÊ>°äÊ³Ê>°äÊ³Êq>°ä®®®Ê«iÊ>Ý>Ê{Æ

Ê>°äÊ³ÊQ>°äÊ³Êq>°ä®®RÊrÊQ>°äÊ³Ê>°äRÊ³Êq>°ä®®Ê«iÊ>Ý>Ê£Æ ÊQ>°äÊ³Ê>°äRÊ³Êq>°ä®®ÊrÊ>°ÊQäÊ³ÊäRÊ³Êq>°ä®®Ê«iÊ>Ý>ÊnÆ Ê>°QäÊ³ÊäRÊ³Êq>°ä®®ÊrÊ>°äÊ³Êq>°ä®®ÊÊ«iÊ>Ý>ÊÎÆ Ê>°äÊ³Êq>°ä®®ÊrÊäÊ«iÊ>Ý>Ê{°

ÃÃ]Ê«ÀÛ>ÃÊµÕiÊ>°äÊrÊä°Ê Ó°Ê"LÃiÀÛiÊµÕi\

Êq>®°LÊrÊq>®°LÊ³ÊäÊ«iÊ>Ý>ÊÎÆ

Êq>®°LÊ³ÊäÊrÊq>®°LÊ³ÊQ>°LÊ³Êq>°L®®RÊ«iÊ>Ý>Ê{Æ

Êq>®°LÊ³ÊQ>°LÊ³Êq>°L®®RÊrÊQq>®°LÊ³Ê>°LRÊ³Êq>°L®®Ê«iÊ>Ý>Ê£Æ ÊQq>®°LÊ³Ê>°LRÊ³Êq>°L®®ÊrÊQq>®Ê³Ê>R°LÊ³Êq>°L®Ê«iÊ>Ý>ÊnÆ ÊQq>®Ê³Ê>R°LÊ³Êq>°L®ÊrÊä°LÊ³Êq>°L®®ÊÊ«iÊ>Ý>Ê{Æ

Êä°LÊ³Êq>°L®®ÊrÊäÊ³Êq>°L®®Ê«i>Ê«À«Ài`>`iÊ£Æ ÊäÊ³Êq>°L®®ÊrÊqÊ>°L®Ê«iÊ>Ý>ÊÎ°

# % $ % 2 *

!5,!

*ÀÌ>Ì]Ê«ÀÛ>ÃÊµÕiÊq>®°LÊrÊq>°L®°Ê

Î°ÊÊÊ>Ê³Êq>®ÊrÊä]Ê>ÊÕV`>`iÊ`ÊiiiÌÊÃjÌÀVÊÃ«iÃiÌiÊ

`âÊµÕiÊqÊq>®ÊrÊ>°

{°Ê/iÃ\

q>®°qL®ÊrÊQq>®°LRÊ«i>Ê«À«Ài`>`iÊÓÆ

qÊQq>®°LRÊrÊqÊQq>®°LRÊÛ>iÌiÊ«i>Ê«À«Ài`>`iÊÓÆ ÊqÊQq>®°LRÊrÊ>°LÊ«i>Ê«À«Ài`>`i°

ÃÃ]Ê«ÀÛ>ÃÊµÕiÊq>®°qL®ÊÊrÊ>°L°

&A¥A AS ADAPTA¥ÜES NECESSÉRIAS PARA PROVAR O CASOä°>Ê rÊ äÊNA DEMONSTRA¥ÎODOITEMDA0ROPOSI¥ÎO

&A¥AASADAPTA¥ÜESNECESSÉRIASPARAPROVAROCASO>°qL®ÊrÊqÊ>°L®

NADEMONSTRA¥ÎODOITEMDA0ROPOSI¥ÎO

0ROVEALEIDISTRIBUTIVAPARAASUBTRA¥ÎOISTOÏPROVEQUEÊ>°LÊqÊV®Ê rÊ>°LÊqÊ>°V

!4)6)$!$%3

LGEBRA)\4EORIADOSANÏISn^APARTE

%8)34%-$)&%2%.4%34)0/3$%!.³)3

"LÃiÀÛiÊµÕiÊ>Ê*À«ÃXKÊ£°£Ê>wÀ>ÊµÕi]ÊÃiÊ>ÊÕÊLÊvÀÊ}Õ>Ê>Ê âiÀ]ÊiÌKÊ>°LÊ

=

Êä°Ê}À>]ÊjÊÌiÀiÃÃ>ÌiÊÌ>ÀÊµÕiÊiÝÃÌiÊ>jÃÊiÊµÕiÊ

>ÊÕÌ«V>XKÊ`iÊiiiÌÃÊKÕÃÊÀiÃÕÌ>ÊiÊÕÊ«À`ÕÌÊâiÀ°Ê*ÀÊ iÝi«]ÊÊ>iÊ<_È]ÊÌiÃÊÓÊ°ÊÎÊrÊÈÊrÊä°Ê iÃÌiÊV>Ã]Ê`âiÃÊµÕiÊÊÓÊiÊÎÊ ÃKÊ`ÛÃÀiÃÊ`iÊâiÀ°Ê?ÊKÊjÊÊV>ÃÊ`Ê>iÊ<]Ê«Ã]ÊÃiÊÊ>Ê

≠

^ÊäÊiÊLÊ

≠

^Êä]Ê

iÌKÊ>°LÊ

≠

ä]ÊÕÊÃi>]ÊÊ>iÊ<ÊKÊÌiÊ`ÛÃÀiÃÊ`iÊâiÀ°

$ElNI ÎO

-i>ÊÊÕÊ>iÊiÊ>Ê

∈

^Ê]Ê>Ê

≠

ÊäÊ°ÊâiÃÊµÕiÊ>ÊjÊÕÊ`ÛÃÀÊ`iÊ âiÀ]ÊÃiÊiÝÃÌiÊLÊ

∈

^Ê]ÊLÊ

≠

Êä]ÊÌ>ÊµÕiÊ>°LÊ

=

^ä°

$ElNI ÎO

1Ê>iÊÊjÊV>>`ÊìÊÕÊ`ÊìÊÌi}À`>ì]ÊÃiÊÊKÊ

«ÃÃÕÊ`ÛÃÀiÃÊ`iÊâiÀ]ÊÃÌÊj]ÊÃi

>Ê

≠

^{ÊäÊe LÊ}

≠

^Êä⇒ >°LÊ

≠

^Êä,

Õ]ÊiµÕÛ>iÌi]

>°LÊ

=

^ÊäÊ⇒ >Ê

=

^äÊÕÊLÊ

=

^ä.

ÊiÊ`ÊV>Vi>iÌÊ«>À>Ê>ÊÕÌ«V>XKÊKÊÛ>i]ÊiÊ}iÀ>]Ê

«>À>ÊÃÊ>jÃ]Ê>ÃÊÛ>iÊ«>À>ÊÃÊ`ÃÊ`iÊÌi}À`>`i°

02/0/3)£²/

-i>ÊÊÕÊ`Ê`iÊÌi}À`>`iÊiÊ>]L]VÊ

∈

°Ê-iÊ>°LÊrÊ>°VÊiÊ

>Ê

≠

Êä]ÊiÌKÊLÊ

=

^ÊV°

$EMONSTRA ÎO

iÊ >°LÊ

=

>°V]Ê Ãi}ÕiÊ µÕiÊ >°LÊ

−

^>°VÊ

=

Ê äÆÊ }]Ê >°LÊ

−

^{Ê V®Ê}

=

^Ê

>°LÊ

−

^Ê>°VÊ

=

Êä°ÊÊÊjÊ`Ê`iÊÌi}À`>`i]ÊÊ>Ê

=

^{ÊäÊÕÊLÊ}

−

^ÊVÊ

=

^Êä°Ê

>Ã]Ê«ÀÊ«ÌiÃi]Ê>Ê

≠

ÊäÆÊ«ÀÌ>Ì]ÊÃÊÀiÃÌ>Ê>Ê«ÃÃL`>`iÊLÊ

−

^ÊVÊ

=

^Êä]Ê

ÕÊÃi>]ÊLÊ

=

^ÊVÊ

.

^ÊÊÊ°

# % $ % 2 *

!5,!

!4)6)$!$%

6>ÃÊ>}À>Ê«>À>ÊÊ>iÊ<°Ê6i>ÊµÕiÊÓÊ°ÊxÊ

=

^Ê£äÊ

=

Ê£]ÊÕÊÃi>]Ê VÊÓÊ°ÊxÊ

=

Ê£]Ê`âiÃÊµÕiÊÓÊiÊxÊÃKÊiiiÌÃÊÛiÀÌÛiÃÊìÊ<°Ê?ÊKÊ jÊÊV>ÃÊìÊÈ°Ê KÊiÝÃÌiÊiÕÊiiiÌÊìÊ<ÊµÕi]ÊÕÌ«V>`Ê«ÀÊ È]ÊÃi>Ê}Õ>Ê>Ê£°Ê iÃÌiÊV>Ã]Ê`âiÃÊµÕiÊÊiiiÌÊÈÊKÊjÊÛiÀÌÛi°Ê >ÊÛiÀ`>ì]ÊÈÊjÊÕÊ`ÛÃÀÊìÊâiÀ]Ê«ÃÊÈÊ°ÊÎÊ

=

^Ê£nÊ

=

^Êä°

$ElNI ÎO

-i>Ê Ê ÕÊ >iÊ iÊ >Ê

∈

°Ê âiÃÊ µÕiÊ >Ê jÊ ÕÊ iiiÌÊ

ÛiÀÌÛi]ÊÃiÊiÝÃÌiÊLÊ

∈

]ÊÌ>ÊµÕiÊ>°LÊ

=

£°Ê iÃÌiÊV>Ã]Ê`âiÃÊµÕiÊLÊ jÊÕÊiiiÌÊÛiÀÃÊ`iÊ>°ÊÊÊiiiÌÊÛiÀÃÊjÊÖV]Ê«`iÃÊ

`iÌ?Ê«ÀÊ>^£°Ê>]ÊÌiÃÊ>°>^£ÊÊ

=

^ÊÊÊ^>^£^°Ê>Ê

=

^£°

0ROVEQUEOELEMENTOINVERSOÏÞNICOISTOÏPROVEQUESEÊ>°LÊ

=

^£Ê

EÊ>°LAÊ

=

^£^ENTÎO^ÊLÊ

=

^LA0ROVETAMBÏMQUESEAÏINVERTÓVELENTÎO V^£®Ê^£Ê

=

Ýi«Ê£

ÊÌ`Ê>iÊ]ÊÃÊiiiÌÃÊ£ÊiÊ

−

£ÊÃKÊÛiÀÌÛiÃ]Ê«ÃÊÊ£°£Ê

=

^Ê

£ÊiÊ

−

^£®°

−

^£®Ê

= 1

]Ê«i>Ê*À«ÃXKÊ£°{°Ê"ÊâiÀÊKÊjÊÛiÀÌÛi]Ê«Ã]Ê

«i>Ê*À«ÃXKÊ£°£]Êä°Ê>Ê

=

ÊäÊ«>À>ÊÌ`Ê>Ê

∈

^°

Ýi«ÊÓ

"ÃÊÖVÃÊiiiÌÃÊÛiÀÌÛiÃÊ`Ê>iÊ<ÊÃKÊ£ÊiÊ

−

^£°

LGEBRA)\4EORIADOSANÏISn^APARTE

02/0/3)£²/

1Ê iiiÌÊ >Ê `Ê >iÊ <]Ê `>ÃÊ V>ÃÃiÃÊ ÀiÃ`Õ>ÃÊ `ÕÊ ]Ê jÊ

ÛiÀÌÛi]ÊÃiÊiÊÃiÌiÊÃiÊ`V>]®ÊrÊ£°Ê

$EMONSTRA ÎO

ÃÌ>Ê «À«Ài`>ìÊ ?Ê vÊ ìÃÌÀ>`>Ê >Ê Õ>Ê £ÓÊ `Ê VÕÀÃÊ ìÊ

}iLÀ>Ê]Ê>ÃÊjÊÌKÊ«ÀÌ>Ìi]ÊµÕiÊÛ>ÃÊÀi«iÌ>Ê>µÕ°

(⇒) Se >ÊÊ

∈

^Ê<Êé invertível, então existe LÊ

∈

^<, tal que >°LÊ

= 1

ou seja, >ÊLÊ

= 1

, o que signiﬁca que ab

=

1(modn), e daí segue que ab

−

=

kn, assim, ab

−

^kn

=

^1.

Se d

=

mdc(a,n), então d

⏐

^{a e d}

⏐

n; logo, d

⏐

^(ab

−

Kn), ou seja, d

⏐

^1.

Portanto, d

=

^1.

(⇐) Se mdc (a,n)

=

1, então, pela propriedade do MDC, existem inteiros r e s, tal que ra + sn

=

1. Logo, ar

−

=

⁽

−

s)n, ou seja, ar

=

1(modn). Desta forma, ar

−

1 e daí a . r

=

1, ou seja, a é invertível.□

Ýi«ÊÎ

"ÃÊiiiÌÃÊÛiÀÌÛiÃÊ`Ê>iÊ<_È]Ê«i>Ê*À«ÃXKÊÎ]ÊÃKÊ£ÊiÊÊx°Ê?Ê

ÃÊiiiÌÃÊÛiÀÌÛiÃÊ`Ê>iÊ<ÊÃKÊÊ£]ÊÊÓ]ÊÊÎ]ÊÊ{]ÊÊx]ÊÊÇÊiÊÊn°

Ýi«Ê{

*>À>ÊÌ`Ê«ÀÊ«]ÊÃÊiiiÌÃÊÛiÀÌÛiÃÊ`Ê>iÊÊ<_«Ê

=

^{{ 0, 1,}

2, ..., p

− 1}

ÃK]Ê«i>Ê*À«ÃXKÊÎ]ÊÌ`ÃÊÃÊiiiÌÃÊKÊÕÃÊÊ£]ÊÓ]Ê°°°]Ê p

− 1

^`iÊ<«°

Ýi«Êx

/`Ê iiiÌÊ KÕÊ `Ê >iÊ +]Ê `ÃÊ ÖiÀÃÊ À>V>Ã]Ê jÊÛiÀÌÛi]Ê«Ã]ÊÃiÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊiÌKÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ°Ê/>LjÊÃÊ>jÃÊ,]Ê

`ÃÊÖiÀÃÊÀi>Ã]ÊiÊ]Ê`ÃÊÖiÀÃÊV«iÝÃ]ÊÌ`ÊiiiÌÊKÕÊjÊ

ÛiÀÌÛi°Ê?Ã]ÊÃÌÊÌÛ>Ê>Ê«ÀÝ>Ê`iwXK°

$ElNI ÎO

1Ê>iÊÊjÊV>>`Ê`iÊVÀ«]ÊÃiÊÌ`ÊiiiÌÊKÕÊ`iÊ ÊjÊÛiÀÌÛi°

L^+Ê

[ ]

^{ä ]} ^>

L L

°> £

# % $ % 2 *

!5,!

!4)6)$!$%

Ýi«ÊÈ

Ê "ÃÊ>jÃÊ+]Ê,ÊiÊÊÃKÊVÀ«Ã°Ê}À>]ÊÊ>iÊ<ÊjÊÕÊ`Ê

`iÊÌi}À`>`i]Ê>ÃÊKÊjÊÕÊVÀ«°

Ýi«ÊÇ

Ê *iÊµÕiÊÛÃÊÊÝi«Êx]ÊÊ>iÊ<_«ÊjÊÕÊVÀ«Ê«>À>ÊÌ`Ê

«Ê«À°ÊÊ<_«ÊÃÊÌiÊÕÊÖiÀÊwÌÊ`iÊiiiÌÃ]Ê`âiÃÊµÕiÊ jÊÕÊVÀ«ÊwÌ°

02/0/3)£²/

Ê /`ÊVÀ«ÊjÊÕÊ`Ê`iÊÌi}À`>`i°

$EMONSTRA ÎO

Ê -i>ÊÊÕÊVÀ«ÊiÊ>]LÊ

∈

Ê]ÊVÊ>°LÊ

=

^Êä°

Ê -iÊ>Ê

=

Êä]ÊiÌKÊKÊ?Ê>ÃÊÊµÕiÊ«ÀÛ>À°

Ê -iÊ>Ê

≠

Êä]ÊiÌKÊ>ÊjÊÕÊiiiÌÊÛiÀÌÛiÊ`iÊÊi Ê Ê LÊ

=

^Ê£°LÊ

=

^Ê>^£°Ê>®°LÊrÊ>^£°>°L®ÊrÊ>^£°äÊrÊä]

ÊµÕiÊ«ÀÛ>ÊµÕiÊÊjÊÕÊ`Ê`iÊÌi}À`>`i°

*USTIlQUEASIGUALDADESNASEQàÐNCIALÊ

=

^Ê£°LÊ

=

^Ê>^£°Ê>®°LÊrÊ>^£°>°L®Ê rÊ>^£°äÊrÊäDADEMONSTRA¥ÎODA0ROPOSI¥ÎOUTILIZANDOOSAXIOMASDE ANELADElNI¥ÎODECORPOEASPROPRIEDADESVISTASANTERIORMENTE

LGEBRA)\4EORIADOSANÏISn^APARTE

Ýi«Ên

Ê -iÊÊKÊjÊ«À]ÊiÌKÊÊ>iÊ<ÊKÊjÊÃiµÕiÀÊÕÊ`Ê`iÊ

Ìi}À`>`i°Ê*Ã]ÊÃiÊÊKÊjÊ«À]ÊiÌKÊiÝÃÌiÊÌiÀÃÊ>ÊiÊL]Ê£Ê

<

^>Ê

<

^ÊÊiÊ£Ê

<

^LÊ

<

]ÊÌ>ÊµÕiÊÊ

=

>L°Ê*ÀÌ>Ì]

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ>Ê°ÊLÊ

=

^Ê>LÊ

=

^ÊÊ

=

^Êä]

ÕÊÃi>]ÊÊ>ÊiÊLÊÃKÊ`ÛÃÀiÃÊ`iÊâiÀÊ`iÊ<°

"ÃÊiÝi«ÃÊ{ÊiÊnÊÃKÊÌKÊ«ÀÌ>ÌiÃ]ÊµÕiÊ«`iÃÊÀiÃÕÃÊ

ÊÃi}ÕÌiÊÌiÀi>\

4%/2%-!

Ê "Ê>iÊ<ÊjÊÕÊVÀ«]ÊÃi]ÊiÊÃiÌiÊÃi]ÊÊjÊ«À°Ê>ÃÊ>`>]Ê ÃiÊÊKÊjÊ«À]ÊiÌKÊÊ>iÊ<ÊKÊjÊÕÊ`Ê`iÊÌi}À`>`i°

#/.#,53²/

Ê>ÌÕÀ>ÊµÕiÊÛVkÊiVÌÀiÊÕ>ÊViÀÌ>Ê`wVÕ`>ìÊ«>À>ÊÃiÊÃiÌÀÊ DÊÛÌ>ìÊVÊÃÊVViÌÃÊ>«ÀiÃiÌ>`ÃÊiÃÌ>Ê>Õ>°Êw>]ÊÌÀ>Ì>ÃÊìÊ

ÕÌ>ÃÊÃÕÌiâ>ÃÊiÊÃÃÊÀiµÕiÀÊ>>`ÕÀiViÌÊ>Ìi?ÌV°Ê KÊÌi>Ê ÀiViÊ`iÊiÀÊiÊÀiiÀÊiÃÌ>Ê>Õ>Ê>}Õ>ÃÊÛiâiÃ°ÊÊV>`>ÊÀiiÌÕÀ>Ê>}Õ>Ê`ÖÛ`>Ê wV>À?ÊiÃV>ÀiV`>°Ê KÊÌi>ÊÀiVi]ÊÌ>Lj]Ê`iÊ«ÀVÕÀ>ÀÊÃiÕÊÌÕÌÀÊ«>À>Ê iÃV>ÀiViÀÊ >}Õ>Ê «>ÃÃ>}iÊ µÕiÊ ÀiÃÃÌ>Ê iÊ «iÀ>iViÀÊ LÃVÕÀ>°Ê >ÃÊ

iLÀiÊµÕiÊjÊ«i>ÊÃÃÌkV>ÊµÕiÊÛVkÊÛ>ÊÛiViÀÊÕÌ>ÃÊ`>ÃÊ`wVÕ`>`iÃÊ

>Ê>Ìi?ÌV>°Ê->L>]ÊÌ>Lj]ÊµÕiÊ>Ê>Ìi?ÌV>ÊÌiÊÕÌ>Êii}@V>Ê iÊ`ÛiÀÃK°Ê ÃÊ>ÕÌÀiÃÊ>V>ÃÊÃÊ>ÃÃÕÌÃÊÌÀ>Ì>`ÃÊiÃÌ>Ê>Õ>ÊÕÌÊ ii}>ÌiÃÊiÊiÃ«iÀ>ÃÊµÕiÊÛVk]ÊÌ>Lj]ÊÛi>Ê>Ê>«ÀiV?Ã°

# % $ % 2 *

!5,!

!4)6)$!$%3&).!)3

$ETERMINETODOSOSDIVISORESDEZERODE<_£È

$ETERMINEOSINVERSOSDETODOSOSELEMENTOSINVERTÓVEISDE<_n°

0ROVEQUESE«ÏPRIMOENTÎOOSÞNICOSELEMENTOSDE<_«QUESÎOSEUSPRØPRIOS INVERSOSOUSEJA>Ê°Ê>Ê

= 1

SÎO

1

E«

− 1

2 % 3 5 - /

!LGUMASPROPRIEDADESIMPORTANTESDEANÏISFAZEMCOMQUEAPARTEOPERATØRIA DE ANÏIS SEJA MUITO PARECIDA COM A DO ANEL DOS NÞMEROS INTEIROS /S CON CEITOS DE DOMÓNIO DE INTEGRIDADE E CORPO SÎO MUITO IMPORTANTES E HÉ UMA VARIEDADEDEEXEMPLOSEPROPRIEDADES#ERTIlQUESEDEQUEOSEXEMPLOSESTEJAM CLAROSNASUAMENTE%SPERAMOSQUEVOCÐTENHATANTOPRAZERNOESTUDODESTA AULAQUANTONØSTIVEMOSAOESCREVÐLA

LGEBRA)\4EORIADOSANÏISn^APARTE

!TIVIDADE

Ê>°qL®ÊrÊ>°qL®Ê³ÊäÊPELOAXIOMAÊÎÆ

Ê>°qL®Ê³ÊäÊrÊ>°qL®Ê³ÊQ>°LÊ³Êq>°L®®RÊPELOAXIOMA{Æ

Ê>°qL®Ê³ÊQ>°LÊ³Êq>°L®®RÊrÊQ>°qL®Ê³Ê>°LRÊ³Êq>°L®®ÊPELOAXIOMAÊ£Æ ÊQ>°qL®Ê³Ê>°LRÊ³Êq>°L®®ÊrÊ>°QqL®Ê³ÊLRÊ³Êq>°L®®ÊPELOAXIOMAÊnÆ Ê>°QqL®Ê³LRÊ³Êq>°L®®ÊrÊ>°äÊ³Êq>°L®®ÊPELOAXIOMAÊ{Æ

Ê>°äÊ³Êq>°L®®ÊrÊäÊ³Êq>°L®®ÊPELAPROPRIEDADEÊ£Æ ÊäÊ³Êq>°L®®ÊrÊqÊ>°L®ÊPELOAXIOMAÎ°

!TIVIDADE

3EOSAXIOMASEASPROPRIEDADESANTERIORESJÉESTÎOCLAROSPARAVOCÐENTÎOVOCÐ JÉPODERESUMIRSUAARGUMENTA ÎO

ÊÊ>°LÊ

−

^ÊV®Ê

=

^Ê>°ÊQLÊ

+

−

^ÊV®R

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

=

^>°LÊ

+

^>°V®

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

=

^>°LÊ

+

−

^>°V®®

=

^>°LÊ

−

^>°V°

!TIVIDADE

Êä°>ÊrÊä°>Ê³ÊäÊPELOAXIOMAÊÎÆ

Êä°>Ê³ÊäÊrÊä°>Ê³Êä°>Ê³Êqä°>®®®ÊPELOAXIOMA{Æ

Êä°>Ê³ÊQä°>Ê³Êqä°>®®RÊrÊQä°>Ê³Êä°>RÊ³Êqä°>®®ÊPELOAXIOMA£Æ ÊQä°>Ê³Êä°>RÊ³Êqä°>®®ÊrÊQäÊ³ÊäR°>Ê³Êqä°>®®ÊPELOAXIOMAÊnÆ ÊQäÊ³ÊäR°>Ê³Êqä°>®®ÊrÊä°>Ê³Êqä°>®®ÊPELOAXIOMAÊÎÆ Êä°>Ê³Êqä°>®®ÊrÊäÊPELOAXIOMAÊ{°

!TIVIDADE

6OCÐCONSEGUEIDENTIlCARAPROPRIEDADEAPLICADAEMCADAIGUALDADE ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊLAÊ

=

^Ê£°LA

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

=

>°L®°LA ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

=

L°>®°LA

=

L°>°LA®

=

^L°£

Ê Ê ÊÊÊ

=

^L°

!GORACOMO>^£®°>Ê

=

^>°>^£^®Ê

=

^>SEGUEPELAUNICIDADEDOELEMENTOINVERSOQUE

>^£®^£Ê

=

2%30/34!3

# % $ % 2 *

!5,!

!TIVIDADE

4EMOS

ÊLÊ

= 1

^°LÊPELOAXIOMAÊÇÆ

Ê£°LÊrÊ>^£ÊÊ>®°LÊÊPOISAÏUMELEMENTONÎONULODOCORPOÊÆ Ê>^£

.

^>®°LÊ

=

^>^£°Ê>°L®ÊPELOAXIOMAxÆ

Ê>^£°Ê>°L®Ê

=

^>^£^°ä^ÊÊPELAHIPØTESEÊ>°LÊ

=

^ÊäÆ

Ê>^£°äÊ

=

^ÊäÊPELAPROPOSI ÎOÊ£°£°

!TIVIDADE&INAL

$IVISORESDEZERODEÊ<_£È\ÊÓ]Ê{]ÊÈ]Ên]Ê£ä]Ê£Ó]Ê£{°

!TIVIDADE&INAL

%LEMENTOSINVERTÓVEISDE<_nCOMINVERSO COMINVERSO COMINVERSO ECOMINVERSO

!TIVIDADE&INAL

3EÊ Ê >Ê °Ê >Ê

= 1

^]ÊENTÎOÊ >Ê °Ê >Ê

= 1

ISTO ÏÊ Ê >^ÓÊ

≡ 1

^{`Ê «®Ê} E PORTANTOÊ «

⏐

^>^Ó

−

^{£®Ê °} #OMOÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ>^ÓÊ

− 1=

−

^£®>

+

^£®]Ê^ENTÎO^Ê«

⏐

−

^£®>

+

^£®°Ê^!GORACOMO^Ê«ÊÏPRIMOENTÎOÊ«

⏐

−

^£®Ê^OUÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ«

⏐

+

^£®°

3EÊ«

⏐

−

^£®Ê]^ENTÎO^Ê>Ê

≡ 1

^`Ê«®]ÊOQUESIGNIlCAQUEÊ>Ê

= 1

^°

3EÊ«

⏐

+

^£®ENTÎOÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ>Ê

≡

− 1

^®^`Ê«®

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

≡

^«

− 1

^®`Ê«®]

iÊÊÊ>Ê

≡

^«

− 1

^®`Ê«®ÊSIGNIlCAQUEÊ>Ê

=

^«

− 1

^°

No documento Álgebra I (páginas 31-43)