Campo magnético com decaimento exponencial espacial

Figura 12 - Linhas de campo magnético estático decaindo exponencialmente.

Legenda: Esquema de linhas de campo de um campo magnético estático decaindo exponencialmente.

Fonte: MURGUÍA et al., 2010, p.705.

Figura 13 - FunçõesEp(x) para elétrons em campo magnético estático decaindo exponencialmente, em (2 + 1)-D.

(a) (b)

(c)

Legenda: Funções Ep(x) da eq.127 em unidades arbitrárias para vários valores des; comeB =α= 1; fixandonem (a) n= 0, (b) n= 1, (c) n= 2.

Fonte: MURGUÍA et al., 2010, p.705−706.

onde ρ= (^2eB_α )e^−αx, s =−^p_α². Logo, as soluções E_p,σ são:

Ep,1 = 1 2π

2αn!(s−n) Γ(2s−n+ 1)

!1/2

e^−ip0t+ip2ye^−ρ/2ρ^(s−n)L^2(s−n)_n (ρ); (126) Ep,−1 = 1

2π

2α(n−1)!(s−n) Γ(2s−n)

!1/2

e^−ip0t+ip2ye^−ρ/2ρ^(s−n)L^2(s−n)_n−1 (ρ), (127) com

n=s−

s

− k

α² +s². (128)

O índicen é o número quântico principal esé centro de oscilação⁴, na qual o fatorα atua como uma massa.

Os resultados obtidos nesta seção estão no artigo de Murguía et al. (2010), onde também foi utilizado o método de Ritus. É importante notar que, na figura 14, o

4Neste exemplo, a oscilação é amortecida.

Figura 14 - Função|Ep|² para elétrons em campo magnético estático decaindo

exponencialmente, em (2 + 1)-D.

Legenda: Função|E_p|² da eq.127 em unidades arbitrárias para vários valores den, fixando s= 8; comeB= 1, p2= 0.

A curva y= (8−e^−x)²+e^−x corresponde ao potencial da eq.123 para esta configuração exponencial de campo.

Fonte: MURGUÍA et al., 2010, p.706.

potencial 123 também envolve os quadrados das soluções.

3 AUTOENERGIA DE UM NEUTRINO EM CAMPO MAGNÉTICO

Como sugere o nome que receberam, “pequenos neutros” em italiano, os neutrinos são eletricamente neutros. O universo está repleto dessas partículas, provenientes de diversas fontes. Foram produzidos em grande quantidade logo após o Big Bang, e muitos desses neutrinos primordiais de baixa energia permeiam o universo até hoje, por conta da escassa probabilidade de interagirem. Entretanto, mesmo não tendo carga elétrica, os neutrinos podem interagir com o campo magnético por processos de autoenergia, nos quais as partículas virtuais são carregadas. Para a descrição de léptons e suas interações, é utilizado o modelo de Weinberg-Salam, cujos termos da lagrangiana relevantes ao assunto são:

Lcalibre = −1

4F_µνⁱ F^{i µν} − 1

4BµνB^µν, (129)

L_léptons = Riγ¯ ^µ(∂_µ+ig⁰B_µ)R+ ¯Liγ^µ ∂_µ+ i

2g⁰B_µ−igτⁱ 2Aⁱ_µ

!

L, (130)

Lescalares = ∂µφ^†+ig⁰

2 Bµφ^†+igτⁱ 2Aⁱ_µφ^†

!

∂^µφ−ig⁰

2 B^µφ−igτⁱ 2A^{i µ}φ

!

−µ²φ^†φ−λ(φ^†φ)², (131)

Linter = −Ge( ¯Rφ^†L+ ¯LφR), (132)

onde

F_µνⁱ = ∂_µAⁱ_ν−∂_νAⁱ_µ+g^ijkA^j_µA^k_ν, (133)

B_µν = ∂_µB_ν −∂_νB_µ, (134)

L = 1

2(1−γ⁵)





ν ψ



, (135)

R = 1

2(1 +γ⁵)ψ, (136)

φ =





φ₊ φ₀



. (137)

Assume-se queAⁱ_µeBµsão campos de calibre não-abelianoSU(2) e abelianoU(1), respec- tivamente, sendo as constantes de acoplamento de calibreg, g⁰. Para o caso não-abeliano, as matrizes geradoras do grupo sãoτⁱ, correspondendo às matrizes de Pauli. Nos termos de autointeração estão presentes as constantes µ (de massa do campo de Higgs) e λ. O campo escalar de Higgs φ é representado como um dubleto, onde φ₊ é carregado posi- tivamente, enquanto φ₀ é neutro. Os campos fermiônicos da teoria são ψ (elétron) e ν (neutrino). A constanteG_e presente na equação 132 é a constante de acoplamentoψ−φ.

O termo da equação 131 que não é relacionado à simetria de calibre é definido

Figura 15 - Potencial efetivoV(|φ|²) com o termo quadrático possuindo diferentes sinais.

Legenda: Duas formas possíveis do potencial V(|φ|²): paraµ² >0, a qual possui um mínimo, e µ²<0, em que há um contínuo de mínimos.

Fonte: A autora, 2015.

como

L_simples ≡(∂µφ^†)(∂^µφ)−µ²φ^†φ−λ(φ^†φ)². (138)

Existe em L_simples uma simetria U(1) global — quando é feita a transformação φ → e^iαφ, com α ∈R. Em outras palavras, a lagrangiana é invariante sob rotações no plano complexo. Sendo a constante de acoplamento λ > 0, o termo potencial definido como V(|φ|²)≡µ²|φ|²+λ(|φ|²)², onde |φ|² =φ^†φ, é limitado por baixo. A figura 15 apresenta as duas formas possíveis deV(|φ|²), paraµ² >0 eµ² <0. No último caso, há um contínuo de pontos que representam os mínimos do potencial, formando uma circunferência de raio

√v

2, com v ≡^q−^µ_λ², o que se deduz pela equação abaixo.

∂_φ(µ²|φ|²+λ|φ|⁴) = 0 ⇒







|φ|= 0

|φ|² = Re(φ)²+ Im(φ)² = ^v₂² =−^µ_2λ², µ² <0. (139) O único mínimo no gráfico simétrico da condição µ² >0 é o estado fundamental, visto como o vácuo. Obviamente, é invariante: h0|φ|0i = e^iαh0|φ|0i = 0. Entretanto, quando µ² <0, todos os pontos da circunferência são relacionados entre si por rotações de grupo O(2). Isto equivale a dizer que há um número infinito de “vácuos” degenerados. Surge

então a obrigação de escolher um dos estados fundamentais para se construir a teoria⁵. O potencialV em si continua sendo simétrico (figura 15), mas qualquer estado fundamental escolhido não é invariante: h0|φ|0i 6=e^iαh0|φ|0i. Com auxílio das equações 137 e 139, é possível escrever:

h0|φ^†φ|0i=h0||φ+|²|0i+h0||φ0|²|0i= v²

2. (140)

Pode-se escolher, por exemplo, h0|φ₊|0i= 0; h0|φ₀|0i= v

√2. (141)

Considerando pequenas oscilações em torno do mínimo escolhido, define-se uma nova variável de campo, um deslocamento em relação ao mínimo:

φ⁰₀ =φ0− h0|φ0|0i ⇒ φ0 =φ⁰₀+ v

√2, (142)

o que, substituído na lagrangiana L_simples, leva a L_simples =|∂_µφ⁰₀|²+|∂_µφ₊|²− λv²

2

φ⁰₀^†+φ⁰₀²−λ|φ⁰₀|²+|φ₊|²² −µ²v²

4 +L_I, (143) onde o primeiro termo foi escrito como|∂_µφ⁰₀|² = (∂_µφ⁰₀^†)(∂^µφ⁰₀), e o segundo de maneira análoga; o último éL_I ∼(|φ⁰₀|²+|φ₊|²)(φ⁰₀^†+φ⁰₀). Não há termo quadrático para o campo φ+, somente para φ⁰₀, que possui sinal correto para termo de massa, pois λv² >0. Desta maneira,φ₊ é chamado de bóson de Goldstone (não-massivo) e o estado (φ⁰₀^†+φ⁰₀) corres- ponde a uma partícula com massa ^qλv²/2. É possível perceber isso representativamente na figura 15. Pequenas oscilações em torno de qualquer ponto daquela curva de mínimos podem ser decompostas em componentes polares. Oscilações de ângulo ocorrem ao longo da trajetória equipotencial, de modo que não custam energia, relacionando-se a bósons de Goldstone (escalares sem massa). A escolha do vácuo feita em 141 implica uma oscilação de ângulo ao longo da direção deφ₊, que portanto é o bóson de Goldstone.

Considerando agora os termos de simetria local nas equações 129 e 131, percebe-se que existem os casos de U(1), abeliano, e SU(2), não-abeliano. Os termos concernentes

5A obrigação de escolha de um (e somente um) estado fundamental pode ser facilmente entendida num exemplo mais simples ainda, de simetria discreta (φ → −φ). Sendo V(φ) = µ²φ² +λφ⁴, os dois possíveis estados fundamentais paraµ²<0 são φ=±q

−^µ_2λ². Ambos os espaços de Fock construídos com base nos possíveis vácuos são ortogonais entre si, portanto, não há sentido nenhum em construir a teoria fundada em uma superposição dos dois vácuos.

ao primeiro caso estão reunidos na seguinte equação:

Labeliano = (D_µφ)^†(D^µφ)−µ²φ^†φ−λφ^†φ²−1

4BµνB^µν, com D^µ ≡∂^µ−ig⁰

2 B^µ. (144) A transformação de calibre local sob a qual a lagrangianaL_abelianoé invariante está descrita abaixo:

φ(x) → φ⁰(x) = e^−iα(x)φ(x);

B_µ(x) → B_µ⁰(x) = B_µ(x)− 2

g⁰∂_µα(x).

De forma análoga ao que foi feito na quebra espontânea de simetria global, quando µ² <

0, o mínimo do potencial V(|φ|²) = −µ|φ|² −λ(|φ|²)² está em |φ| = v/√

2, com v ≡ (−µ²/λ)^1/2. Entretanto, se o campoφ (cujo valor esperado no vácuo é | h0|φ|0i |=v/√

2) for escrito em termos de campos reaisφ₁ eφ₂, tais queφ ≡ ^√1₂(φ₁+iφ₂), pode-se escolher h0|φ1|0i = v e h0|φ2|0i = 0. Esta escolha para o vácuo, dentro do número infinito de possíveis valores de mínimo, quebra a simetria. Através da introdução dos campos deslocados,

φ⁰₁ =φ₁−v, φ⁰₂ =φ₂, (145)

conclui-se que φ⁰₂ é o bóson de Goldstone. Entretanto, neste caso, mais um efeito da quebra espontânea de simetria é notado:

|D_µφ|² = ¹₂ ∂_µφ⁰₁+^g₂⁰B_µφ⁰₂²+¹₂ ∂_µφ⁰₂−^g₂⁰B_µφ⁰₁²−^g₂⁰vB^µ∂_µφ⁰₂+ ^g₂⁰B_µφ⁰₁+^g02₄^v2B^µB_µ. (146) O bóson de calibre adquire massa, de valorgv/2. O termo ^g₂⁰vA^µ∂µφ⁰₂ pode ser removido parametrizando o campo complexo em variáveis polares, de forma que o deslocamento só se dá no módulo do campo:

φ(x) = 1

√2[v +η(x)]e^iξ(x)v = 1

√2[v+η(x) +iξ(x) +. . .]. (147) Assim, para pequenas oscilações, η(x) e ξ(x) são equivalentes aos respectivos φ⁰₁ e φ⁰₂. O próximo passo para eliminar o termo indesejado é fixar o calibre, no chamado calibre unitário. Definem-se os campos:

φ⁰⁰(x) ≡ φ(x)e^−iξ(x)v = 1

√2(v+η(x)); (148)

B_µ⁰ ≡ B_µ− 2

g⁰v∂_µξ(x). (149)

Assim, a lagrangianaL_abeliano fica da forma L_abeliano = 1

2(∂µη)²−µ²η−1

4B_µν⁰ B^0µν+g⁰v²

4 B_µ⁰B^0µ+g⁰

8B_µ⁰B^0µη(2v+η)−λv²η³−1

4λη⁴. (150) Observa-se que o campoξdesaparece da lagrangiana, mas isso não é um problema quando são contados os graus de liberdade. Antes da quebra espontânea de simetria, havia dois campos escalares (φ₁ eφ2) e um bóson de calibre sem massa (com dois estados de polariza- ção). Depois da quebra, passa a haver somente um campo escalarηe um bóson de calibre massivo (com três estados de polarização). O bóson de Goldstone ξ, que desapareceu, se tornou a componente longitudinal do bóson de calibre massivo B_µ⁰. Este é o mecanismo de Higgs para o caso abeliano. Para tornar a explicação do mecanismo mais clara, não foi utilizada a informação de que o campoφ é na verdade um dubleto,φ =





φ₊ φ₀



. Mas quando se faz a parametrização deste dubleto no calibre unitário,

φ=e^iξ(x)v





0

v+η(x)√ 2



 (151)

o resultado da equação 150 é o mesmo.

No caso da parte da teoria com simetria de calibre não-abeliana, a lagrangiana correspondente é

L_n-ab=|D^µφ|²−µ²(φ^†φ)−λ(φ^†φ)²−1

4F_µνⁱ F^{i µν}, (152)

ondeD_µ=∂^µ−ig^τ₂ⁱA^{i µ}. Quandoµ² <0, o potencial possui a mesma característica do exemplo anterior. O vácuo pode ser escolhido de forma queh0|φ|0i= ^√1

2





0 v



. O novo campoφ⁰ =φ− h0|φ|0ifaz com que o termo da derivada covariante gere uma massa para o bóson vetorial, pois contém

1

4g²h0|φ|0i^†τⁱAⁱ_µτ^jA^j_µh0|φ|0i= 1 2

gv 2

2

Aⁱ_µA^{i µ}. (153)

Além disso, o termo quadrático em φ⁰ na lagrangiana aparece como ^λv₂²(φ⁰₀+φ⁰₀^†)², mos- trando que somente a combinação (φ⁰₀ +φ⁰₀^†) é massiva (partícula de Higgs física), ao contrário dos outros estadosφ⁰₊, φ⁰₊^† e (φ⁰₀−φ⁰₀^†), “tragados” pelos bósons de calibre, que, por sua vez, se tornam massivos.

Finalmente, pode-se entender melhor a quebra de simetria espontânea na teoria de Weinberg-Salam, na qual os campos vetoriaisAⁱ_µeBµadquirem massa, a não ser por uma componente, (gB_µ+g⁰A³_µ)/(g²+g⁰²)^1/2, que é identificada como o fóton. O rearrranjo proporcionado pela quebra de simetria também leva ao bóson Z, que não é relevante para

a aplicação tratada nesta dissertação.

A partir daqui, considera-se que a parte eletromagnética da teoria se restringe a um campo magnético externo constante, descrito pelo potencialα_µ e pela intensidade de campo, F_µν, tais que

F_µν = ∂_µα_ν−∂_να_µ; (154)

eαµ = gA³_µ=g⁰Bµ, (155)

a carga elétrica é escrita em termos deg e g⁰ através da relação e= _(g2+g^gg02⁰)^1/2. Estabelecendo os bósonsW_µ^± ≡ ^√1₂(A¹_µ∓iA²_µ) e o novo campoφ⁰ =φ−^√1₂





0 v



, é possível identificar as partes das lagrangianas em 129–132 que contribuem para processos nos quais há partículas carregadas. Elas são:

L_φ = |(∂^µ−ieα^µ)φ⁰₊|²+v²g²

4 W_µ⁺W^−µ +ivg

2 W_µ⁻(∂^µ−ieα^µ)φ⁰₊− ivg

2 W_µ⁺(∂^µ+ieα^µ)φ⁰₊^†; (156) L_ψ = ψ¯

"

iγ^µ(∂_µ+ieα_µ)− G_ev

√2

#

ψ; (157)

L_W = 1 2

hW_ν⁻(∂_µ−ieα_µ)(∂^µ−ieα^µ)W^+ν −W_µ⁻(∂^µ−ieα^µ)(∂_ν −ieα_ν)W^+ν

−2ieW_µ⁻F^µνW_ν⁺ⁱ+ 1 2

hW_ν⁺(∂_µ+ieα_µ)(∂^µ+ieα^µ)W^−ν

−W_µ⁺(∂^µ+ieα^µ)(∂_ν +ieα_ν)W^−ν + 2ieW_µ⁺F^µνW_ν⁻ⁱ. (158) Da lagrangiana de interação,

L_I = −G_e

"

ψφ¯ ⁰₊^† 1−γ⁵ 2

!

ν+ ¯νφ⁰₊ 1 +γ⁵ 2

!

ψ

#

+√ 2g

"

¯

νW_σ⁺γ^σ 1−γ⁵ 2

!

ψ+ ¯ψW_λ⁻γ^λ 1−γ⁵ 2

!

ν

#

, (159)

surgem as expressões correpondentes à autoenergia Σ de um neutrino, cujos diagramas estão dispostos na figura 16.

Σ(r, r⁰) = (−Ge)²R S(r, r⁰)G(r, r⁰)L+ (√

2g)²R γ^µS(r, r⁰)G_µν(r, r⁰)γ^νL, (160) ondeR = ¹₂(1 +γ⁵) e L= ¹₂(1−γ⁵). O primeiro termo envolve os propagadoresG(r, r⁰) do bóson carregado de Higgs (escalar) e S(r, r⁰) do elétron (espinorial), ambos na presença do campo magnético externo constante. Seu cálculo pelo método das autofunções de Ritus mostra-se uma aplicação formidável para finalizar a dissertação, portanto, somente o primeiro termo será tratado a partir daqui. O segundo termo foi calculado no artigo de Elizalde, Ferrer e Incera (2002), utilizando o mesmo método.

Figura 16 - Diagramas a 1 loopcontendo partículas virtuais carregadas.

Legenda: De cima para baixo, ordens g² e (Ge)² dos diagramas de bolha de um neutrino. A linha pontilhada corresponde ao propagador do bóson de Higgs carregado e a linha ondulada representa o

propagador do bóson W⁺, ambos na presença de campo magnético externo constante.

Fonte: MCKEON, 1981, p.2744.

De forma análoga ao que foi feito na seção 2.1 para os pares de Cooper no espaço euclidiano, o propagador no campo magnético do bóson de Higgs carregado, no espaço- tempo quadridimensional, pode ser calculado pelo método de Ritus, resultando em G(r, r⁰) = ^X

Z

n

d⁴k

(2π)⁴E_k(r) 1

−k²+m²_WE_k^∗(r⁰), (161)

onde a autofunçãoE_k se escreve

E_k(r) = (4πeB)^1/4 e^{i(k0t+k2y+k3z)}e^−eB2 (^x−eB^k2)²(2ⁿn!)^−1/2H_n

"

q|eB| x− k₂ eB

!#

. (162) Ademais, relembra-se a expressão para o propagador do elétron à la Ritus (seção 2.2), S(r, r⁰) = ^X

Z

m

d⁴q

(2π)⁴Eq(r)γ·q¯+m_e

¯ q²−m²_e

E¯q(r⁰), (163)

onde

Eq = E_q,1Ω₁+Eq,−1Ω−1

= (4πeB)^1/4 e^{i(q0t+q2y+q3z)}e^{−eB2 (x−eBq2)2}

(2^mm!)^−1/2H_m

q

|eB|

x− q₂ eB

Ω₁ + (2^m−1(m−1)!)^−1/2Hm−1

q

|eB|

x− q₂ eB

Ω−1

. (164) Como os propagadores são diagonalizados pelo método de Ritus, pode-se escrever a au- toenergia (para o vérticeν–e⁻–φ⁺) no espaço de momenta como

(2π)⁴δ⁴(p−p⁰)Σ_φ(p) = ^R d⁴r d⁴r⁰ e^{−i(p·r−p0·r0)}Σ_φ(r, r⁰)

= (G_e)^2R d⁴r d⁴r⁰ e^{−i(p·r−p0·r0)}R^PR_m(2π)^d4q4E^q(r)^γ·¯_q¯2^q+m−m²_e^eE¯^q(r⁰)

×

PR

n d⁴k (2π)⁴

E_k(r)E_k^∗(r⁰)

−k²+m²_W

L, (165)

onde Σ_φ(r, r⁰)≡ (−G_e)²R S(r, r⁰)G(r, r⁰)L é o primeiro termo da equação 160. A partir de agora é importante conhecer algumas das propriedades das matrizes Ωσ, comσ =±1:

Ω^†_σ = Ω_σ; (Ω_σ)² = Ω_σ; Ω₁Ω−1 = Ω−1Ω₁ = 0;

γ^kΩ_σ = Ω_σγ^k; γ^⊥Ω_σ = Ω_−σγ^⊥; RΩ_σ = Ω_σR; LΩ_σ = Ω_σL, (166) onde as matrizesγ foram classificadas de acordo com as componentes ao longo do campo magnético, γ^k = (γ⁰, γ³), e perpendiculares a ele, γ^⊥ = (γ¹, γ²). Devido a essas proprie- dades, é essencial ter atenção com o produto E^p(r)(γ·q¯+me), que resulta em

Ep(r)(γ·q¯+m_e) = ¯q⊥γ^⊥[E_q,1(r)Ω−1+Eq,−1(r)Ω₁] + ¯q_kγ^k[E_q,σ(r)Ω_σ] +m_e[E_q,σ(r)Ω_σ]. (167)

Na equação 165, esta expressão está multiplicada pela esquerda porR e pela direita por E¯q(r⁰)E_k(r)E_k^∗(r⁰)L. Como a matriz γ⁵ anticomuta com quaisquer das γ^µ, conclui-se que Rγ^µ =γ^µL. Além disso, RL = 0. Como o último termo de 167 não contém matrizγ, ao ser multiplicado pelos fatores descritos acima, leva a sua eliminação:

R m_eE¯q(r⁰)E_k(r)E_k^∗(r⁰)L=m_eE¯q(r⁰)E_k(r)E_k^∗(r⁰)R L= 0. (168) Os outros termos não se anulam. Incluindo tais fatores, a equação 167 fica

RE^p(r)(γ·q¯+m_e)E_k(r)E_k^∗(r⁰)L

= 1 2

n(¯q⊥γ^⊥−q¯⊥γ^⊥γ⁵)^hIm−1,n(r)I_m,n^∗ (r⁰)Ω₁+I_m,n(r)I_m−1,n^∗ (r⁰)Ω−1

i

+ (¯qkγ^k−q¯kγ^kγ⁵)^hI_m,n(r)I_m,n^∗ (r⁰)Ω₁+Im−1,n(r)I_m−1,n^∗ (r⁰)Ω−1

ioL, (169) onde as funçõesIa,b advêm do produto das autofunções de Ritus do elétron e do bóson de Higgs:

I_m,n(r) ≡ E_q,1(r)E_k(r) (170)

Im−1,n(r) ≡ Eq,−1(r)E_k(r). (171)

Substituindo 169 em 165, (2π)⁴δ⁴(p−p⁰)Σ_φ(p)

= (G_e)² 2

XZ

m

d⁴q (2π)⁴

XZ

n

d⁴k (2π)⁴

Z

d⁴r d⁴r⁰ e^{−i(p·r−p0·r0)} (¯q² −m²_e)(−k²+m²_W)

×ⁿ(¯q_⊥γ^⊥−q¯_⊥γ^⊥γ⁵)^hI_m−1,n(r)I_m,n^∗ (r⁰)Ω₁+I_m,n(r)I_m−1,n^∗ (r⁰)Ω₋₁ⁱ + (¯q_kγ^k−q¯_kγ^kγ⁵)^hI_m,n(r)I_m,n^∗ (r⁰)Ω₁+Im−1,n(r)I_m−1,n^∗ (r⁰)Ω−1

ioL. (172) A equação 172 pode ser simplificada resolvendo as integrais em r e r⁰, que são análogas.

De forma geral, a integral emr possui termos do tipo

Z

d⁴r E_q,σ(r)E_k(r)e^−ip·r. (173)

Comparando as equações 164 e 162, é fácil perceber que as funçõesE_q,σ(r) eE_k(r) possuem fatores similares. Além disso, podem ser escritas em termos da função cilíndrica parabólica D_a(ρ)≡ 2^−a/2e^−ρ2/4H_a(ρ/√

2), com ρ = ^q2|eB|(x−q₂/eB) no caso do elétron, ou com q2 →k2 para o escalar. Particularmente, quandok0+q₀ =−p0,k2+q₂ =p2ek3+q₃ =p3, somente um termo exponencial resta no integrando de 173:

Z ∞

−∞d⁴r E_q,σ(r)E_k(r)e^−ip·r = (2π)³δ³(k+q−p)^XN(m)N(n)

Z ∞

−∞dx D_m(ρ)D_n(ζ)e^−ip1x, (174)

onde N são os termos restantes em 164 e 162 respectivamente em função dos núme- ros quânticos m e n (cada um dos termos está multiplicado pelo fator (4πeB)^1/4); ρ =

q2|eB|(x−q₂/eB) e ζ = ^q2|eB|(x−k₂/eB). A integral pode ser reescrita através de uma mudança de variáveis, onde são definidos

η≡ρ+ ˜p₂; p˜_µ≡

q2|eB|

2eB p_µ. (175)

Por outro lado, ρ = ρ(x). Quando é feita a mudança de variável x → η, surge em exp (−ip₁x) um termo exp−ip₁(2˜q₂−p˜₂)/^q2|eB| que, devido à presença da função delta δ(k₂+q₂ −p₂), pode ser visto como exp

−ip₁√^q˜2+˜k2

2|eB|

. Sabendo que sinal(eB) =

|eB|/eB, a integral em 174 se torna

Z ∞

−∞

dx D_m(ρ)D_n(ζ)e^−ip1x = e^{−ip1(q2+k2)/2eB}

q2|eB|

Z ∞

−∞

dη e−iηsinal(eB) ˜p1 D_m(η−p˜₂)D_n(η+ ˜p₂).

(176) Esta última integral foi resolvida no artigo de Lee, Leung e Ng (1998) através de uma transformação em coordenadas polares e de propriedades das funções cilíndricas parabó- licas. O resultado está em termos de e^−˜p2⊥/2 eJ_mn(˜p⊥), onde

Jmn(˜p⊥) =

min(m,n)

X

a=0

m!n!

a!(m−a)!(n−a)![i sgn(eB)˜p⊥]^m+n−2a, p˜⊥ ≡^qp˜²₁+ ˜p²₂. (177) Finalmente, a equação 174 tem seu resultado:

Z ∞

−∞

d⁴r E_q,σ(r)E_k(r)e^−ip·r

= (2π)⁴δ³(k+q−p)e^{−ip1(q2+k2)/2eB}e^−˜p2⊥/2 1

√m!n!e⁻ⁱsgn(eB) (m−n)ϕ

J_mn(˜p⊥), (178) ondeϕ= arctan(˜p₂/˜p₁). A partir de agora, assume-se que o alcance do campo magnético é tal que m²_e eB m²_W, tornando possível utilizar a aproximação LLL (ou nível de Landau mais baixo) para o elétron. Assim, os fatores com m− 1 na equação 172 desaparecem:

(2π)⁴δ⁴(p−p⁰)Σ_φ(p)

= (G_e)² 2

XZ

m

d⁴q (2π)⁴

XZ

n

d⁴k (2π)⁴

Z

d⁴r d⁴r⁰ e^{−i(p·r−p0·r0)} (¯q² −m²_e)(−k²+m²_W)

×I_0,n(r)I_0,n^∗ (r⁰)(¯q_kγ^k−q¯_kγ^kγ⁵)Ω₁L. (179) Por conta do fator e^−˜p2⊥/2 que aparece quando se integra em r e r⁰, como visto anterior- mente, contribuições de altos valores de ˜p⊥ são suprimidos. Só as menores potências de

˜

p⊥ em J_0,n(˜p⊥) são mantidas. Isso significa que, quando n = 0, J₀₀(˜p⊥) = 1, e quando n assume quaisquer outros valores, J₀₀(˜p⊥)→ 0. Em outras palavras, J_0n(˜p⊥) 'δ_0n. O resultado das integrações emr e r⁰ nesta aproximação LLL é

(2π)⁴δ⁴(p−p⁰)Σ_φ(p)

= (G_e)² 2

XZ

m

d⁴q 1 (¯q²−m²_e)

XZ

n

d⁴k

n! δ³(k+q−p)δ³(k+q−p⁰) 1 (−k²+m²_W)

×e^{i(p1−p01)(q2+k2)/2eB} e^{−12( ˜p2⊥+ ˜p0}

2

⊥)

δ0nδ0n(¯qkγ^k−q¯kγ^kγ⁵)Ω1L. (180) A integração em k é feita facilmente por conta das funções delta presentes na equação.

Dentre outros fatores resultantes, aparecem a funçãoδ³(p−p⁰) e a exponencial em termos de (p₁ −p⁰₁), que pode ser anulada introduzindo δ_p1p⁰

1. Ambas as deltas combinadas são idênticas àquela do lado esquerdo da equação 180. Assim,

Σ_φ(p) = (G_e)² 2(2π)⁴

Z

d⁴q 1

(¯q²−m²_e)[−(¯q−p)¯²+m²_W]e^{−p2⊥/2|eB|}(γ^kq¯_k−γ^kq¯_kγ⁵)Ω₁L, (181) onde ¯q=qk;−(¯q−p)¯² =−(qk−pk)²+eB. A integração em q⊥ pode ser feita com a ajuda da mudança de variável q⁰ = q−p, de tal forma que a exponencial exp (−p²_⊥/2|eB|) = exp (−(q⊥−q_⊥⁰ )²/2|eB|). A integral gaussiana emq_⊥⁰ é facilmente resolvida e, desfazendo a mudança de variável, resta apenas a seguinte integração em qk:

Σ_φ(p) = −(G_e)²

2(2π)⁴ 2|eB|π

Z

d²qk

γ^kqk(1−γ⁵)

(q²_k−m²_e)[(q_k−p_k)²−eB−m²_W]Ω₁L. (182) O denominador passa pela parametrização de Feynman que, de modo geral, para dois fatores, A eB, no denominador, é escrita como

1 AB =

Z 1 0

dx

[xA+ (1−x)B]². (183)

O resultado é

Z

d²q_k γ^kqk(1−γ⁵)

(q_k²−m²_e)[(q_k−pk)²−eB −m²_W]Ω₁L=

Z 1 0

dx

Z

d²l l+xpk

(l²−∆)²γ^k(1−γ⁵)Ω₁L, (184) onde

l≡q_k−xp_k; ∆ =−x(1−x)p²_k+xm²_W +xeB+ (1−x)m²_e. (185) A integral da equação 184 pode ser escrita como a soma de duas integrais. A primeira, com lno numerador, é nula, por ser uma integração simétrica de integrando ímpar. O resultado

da segunda pode ser encontrado após rotação de Wick e mudança para coordenadas polares, ou mesmo pelas soluções da regularização dimensional. Assim,

pk

Z 1 0

xdx

Z

d²l 1 (l² −∆)²

!

γ^k(1−γ⁵)Ω₁L=pk

Z ₁

0

xdxiπ

∆

γ^k(1−γ⁵)Ω₁L. (186) Depois de certa manipulação, incluindo frações parciais e mudanças de variáveis, esta última integral em x resulta em uma expressão logarítmica. Finalmente, é calculado o termoν–e⁻–φ⁺ a 1 loop da autoenergia do neutrino:

Σ_φ(p) = −i(G_e)²

16π² |eB| 1

2p²_k (C₁+C₂)p_kγ^k(1−γ⁵)Ω₁L, (187) onde

C₁ ≡ ln

m²_W +eB m²_e

; (188)

C₂ ≡ M_ef² −p²

q(M_ef² −p²)²−2m²_ep² ln

p⁴−M_ef² p² −M_ef² p^2q(M_ef² −p²)²−2m²_ep² p⁴−M_ef² p²+M_ef² p^2q(M_ef² −p²)²−2m²_ep²

, (189)

M_ef² = m²_W +eB −m²_e. (190)

Esta expressão pode ser comparada com a do artigo de McKeon (1981), que calcula a autoenergia para ambos os vérticesν–e⁻–φ⁺ eν–e⁻–W⁺, utilizando um método diferente e na aproximação de campo “fraco” (eB m²_W). No vácuo trivial, a autoenergia deve depender do quadrimomentum/psem mostrar diferença entre as componentes/p_k e /p_⊥, ou seja, ambas devem ser acompanhadas dos mesmos coeficientes. Entretanto, neste caso, a quebra de simetria muda a estrutura de Σ_φ. Tanto na expressão 187 quanto na do artigo de McKeon (1981), fica claro que os modos de propagação do neutrino transversos e longitudinais se comportam diferentemente. Mais detalhadamente, o campo magnético externo dá origem a uma anisotropia na propagação do neutrino, que aparece também na autoenergia que, por sua vez, segundo a expressão acima, passa a depender somente do momentum paralelo ao campo magnético aplicado. Além disso, é importante notar que há uma dependência linear de Σ_φ em relação à magnitude do campo magnético, encontrada também no artigo.

Outro artigo que aborda a autoenergia de um neutrino é Elizalde, Ferrer e Incera (2002), que interessantemente o faz pelo método de Ritus, mas somente para outro vértice, ν–e⁻–W⁺. O livro de Alexander e Nicolay (2013) faz os cálculos por outros métodos e em diversas aproximações, comparando os coeficientes de p_µ com os de outros artigos, inclusive os dois aqui citados.

CONCLUSÃO

Através do método de autofunção de Ritus, foram calculados os propagadores, na presença de campo magnético externo, dos pares de Cooper (eq. 61) em 3-D, do bósonφ₊ de Higgs (eqs. 161–162) e do elétron em 4-D (eqs. 163–164), todos constituindo contribuições desta dissertação para o estudo da interação de partículas elementares com campo magnético externo. O propagador do elétron em (2 + 1)-D (eqs. 111,116) está em termo das autofunções E_p,σ, que estão descritas nas equações 121–122 para campo magnético constante, e em 126–127 para campo magnético com decaimento exponencial espacial, tendo sido extraídas do artigo de Murguía et al. (2010). O fato mais importante a ser observado, depois de obtidas todas as soluções, é o de que todos os propagadores das partículas submetidas a um campo magnético externo dependem da magnitude desse campo.

Os diagramas das funçõesE_p e|E_p|² em condições específicas foram plotados atra- vés do programa MAPLE para os pares de Cooper no campo magnético uniforme, em diversos níveis de Landau (figuras 5 e 6). Tais funções são parecidas com as das outras partículas estudadas, desde que submetidas ao campo magnético constante, de modo que produzem gráficos similares, como se pode comparar pelas figuras 10 e 11.

Todas as soluções que puderam ser comparadas com as de outros autores foram bem sucedidas. Somente o artigo de Murguía et al. (2010) utiliza o mesmo método utilizado nesta dissertação, o método de Ritus, sendo os das outras referências, Lawrie (1997) e Bhattacharya (2004), o método de Fock-Schwinger, talvez o mais conhecido, e a segunda quantização das soluções da equação de Dirac. A relevância do método de autofunção de Ritus está associada à possibilidade de aplicação no estudo da interação de diversas partículas, sejam bosônicas ou fermiônicas, com campo magnético, uniforme ou não, em várias áreas da física, como matéria condensada, física de partículas, astronomia, entre outras.

A aplicação escolhida para enriquecer e finalizar este trabalho foi a autoenergia ν–e⁻–φ⁺ de um neutrino na presença de campo magnético na aproximação de nível de Landau mais baixo, eq.187, pela primeira vez (tanto quanto se saiba) calculada através do método de Ritus. Observa-se que a autoenergia depende apenas do momentum paralelo ao campo magnético aplicado (constante na direção z) e que há um termo linear em eB, caracterizando o fascinante efeito de que o campo magnético deixa sua assinatura na propagação do neutrino.

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No documento Método de Ritus aplicado a férmions e escalares em campo magnético externo (páginas 45-87)