Mesmo que o jogo do NIM não tenha, em sua aplicação, relação direta com o ensino do MMC e MDC, é possível analisar matematicamente o que acontece “por detrás do jogo”. Esse jogo, embora utilizado desde a antiguidade, teve uma análise mais detalhada apenas em 1901 por Charles L. Bouton em seu artigo “NIM, A game with a complete mathematical theory”.
O jogo NIM é considerado como um jogo imparcial de estratégia, sem interferência do acaso e com número finito de movimentos. Tais características garantem que um dos participantes possa elaborar uma estratégia de vitória. A partir do jogo, que consiste em jogadas seguindo determinadas regras, existem também adaptações para o jogo, como em uma versão semelhante ao jogo de xadrez.
com várias peças distribuídas em torres. Cada jogador pode retirar no mínimo uma peça e no máximo toda a torre, não sendo permitido retirar peças de torres distintas em uma mesma jogada. A derrota é dada àquele participante que não puder retirar mais peças. A Figura 5.4 mostra uma das distribuições possíveis para o jogo.
Figura 5.4 – Exemplo do jogo das torres.
Fonte: Adaptado de Rodrigues e Silva (2004).
Especificamente, os autores determinam o uso de 13 peças, distribuídas em 4 torres. Lembrando-se das regras do jogo, é fácil notar que ele tem um número mínimo de jogadas igual a 4 e máxima de 13. Para ganhar o jogo, um dos participantes terá feito jogadas, enquanto que seu adversário terá feito jogadas, ou seja, sempre terá um número par e ímpar de jogadas. Utilizando a técnica de decomposição em fatores primos, processo utilizado para a obtenção do MMC de dois números, obtém o seguinte (Figura 5.5):
cinco jogadas e o . Interpretando esse resultado ao jogo, nota-se que seriam necessárias 30 jogadas distintas para se repetirem as mesmas jogadas feitas. Como os autores concluem, tais noções também estariam ligadas ao cálculo de possibilidades (análise combinatória). Além do MMC, podemos utilizar o algoritmo de Euclides para calcular o MDC aplicado ao jogo, de onde obtemos (Figura 5.6):
Figura 5.6 – Algoritmo de Euclides aplicado ao jogo do NIM.
Fonte: Rodrigues e Silva (2004, p. 11).
E vemos que o . Aplicando o resultado ao jogo, existirá apenas uma jogada (em comum) utilizada para se ganhar o jogo. Por fim, os autores comentam sobre a utilização do jogo para um melhor rendimento nos tópicos vistos na Matemática escolar e afirmam que, embora as análises do MMC e MDC foram feitas ao jogo das torres, a abordagem é análoga às outras variações do jogo NIM.
Os exemplos vistos acima servem para responder a algumas das questões levantadas no quarto capítulo. Ao longo dos últimos dois capítulos, foram discutidos diversos pontos referentes à abordagem usual dos assuntos nas diferentes etapas da Educação Básica e no Ensino Superior. Além disso, vimos abordagens que poderiam facilmente ser trabalhadas ao longo dos anos tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio.
Tais aplicações fazem referências a diversos assuntos, como área de figura, noções de geometria plana e equações. Esse fato responde às questões sobre a possibilidade de abordar os assuntos do MMC e MDC para complementar outros assuntos, tanto para compreender melhor os temas em questão, quanto para ajudar no aprofundamento de outros temas da Matemática. Por fim, vemos também que aplicações sobre esses tópicos podem ser implantadas no Ensino Médio, para complementar os próprios conteúdos estudados nesse período, e também servindo para contextualizar problemas e situações encontradas no cotidiano.
6 CONCLUSÕES
.Percebemos que o MMC e o MDC podem ser facilmente incorporados em várias aplicações, por exemplo, na geometria. Notamos também que os temas ajudam na compreensão de outros assuntos, como o de equações ou de cálculo de possibilidades. Resta somente fazermos algumas conclusões, decorrentes da elaboração deste trabalho. Além disso, propositalmente, uma das questões levantadas no quarto capítulo não foi respondida, referente a se a utilização de jogos e atividades não atrapalharia o currículo previsto para os anos letivos em questão.
Mesmo que para a aplicação desses recursos necessite-se de um tempo maior dedicado ao assunto de divisores e múltiplos, os benefícios dessa complementação são evidentes. Como afirma o PCN (1998), a utilização de conceitos e noções que liguem os assuntos de MMC e MDC a situações cotidianas ajudam na compreensão das relações existentes na Matemática e, mais especificamente, no conjunto dos números naturais.
Como defendido por Sfard (1991), todo conteúdo deve ser visto seguindo um caminho, formando novos conhecimentos concretos, e, para tanto, processos estruturais e operacionais devem ser unidos para garantir tal ação. Por causa disso, mesmo que alunos de 6º ano ainda não tenham conhecimentos suficientes para ver demonstrações ou resolver complexos problemas, já é possível nessa idade contextualizar os assuntos, seja por meio de notas históricas ou problemas textuais, seja por jogos e atividades.
A autora defende ainda que, para formação de conceitos, os assuntos devem ser tratados primeiro operacionalmente e em seguida, estruturalmente. Para que isso ocorra, os estágios para aquisição e formação de novos conceitos devem ser alcançados, com especial destaque à reificação, pois é nesse estágio que, através de aplicações e jogos, o aluno consegue criar ferramentas concretas para desenvolver não somente esses tópicos, mas também assuntos posteriores.
Como visto em nossa análise, geralmente a abordagem realizada ao MMC e MDC é bastante superficial, tratando apenas de operações e cálculos. Além disso, o
defasagem. Devido a isso, é importante questionar quais abordagens podem ser realizadas.
Entretanto, é necessário possuir um bom planejamento quanto aos recursos que podem ser trabalhados com os alunos. A utilização de meios para se ensinar certo tópico, mas que escape totalmente da realidade do aluno, ao invés de ajudá-lo, poderá atrapalhar seu aprendizado, podendo até mesmo fazer com que o aluno tenha receio da Matemática, considerando-a estranha e impossível. Assim, no próprio ano letivo onde são vistos pela primeira vez esses tópicos, os alunos ainda não estão familiarizados com a utilização de incógnitas nem de propriedades generalizadas, por isso é importante que os recursos utilizados pelo professor também não saiam desse nível.
A resolução de problemas, como elaborado pelo grupo de alunos do PIBID-UFPR (RYNDACK; LACERDA; VALVERDE, 2011), permitem aos alunos estabelecer relações com outros assuntos, até mesmo ligados ao seu cotidiano, ajudando-os a compreender melhor os tópicos vistos. Outro recurso é a utilização de figuras, como o tratamento geométrico dado ao MMC e ao MDC propostos por Oliveira (1995), Cardoso e Gonçalves (2004), e Polezzi (2004). A utilização desse tipo de recursos, em que os alunos possam ver e até mesmo tocar, é altamente eficiente não só para o MMC e o MDC, mas também à Geometria, treinando os alunos para a compreensão de conteúdos através de figuras e representações gráficas.
Vale ressaltar que a resolução de problemas envolvendo MMC e MDC pode voltar a
Chegando ao Ensino Médio, o aluno traz habilidades e competências adquiridas e desenvolvidas no Ensino Fundamental. Devido a isso, já é capaz de compreender conceitos e definições através de generalizações. Ainda assim, sempre que possível, também é importante continuar a procurar relações com a área da Matemática e com o cotidiano vivido pelo aluno. Um dos tópicos que consegue fazer essa ligação é o das equações diofantinas, pois ao mesmo tempo em que representa equações vistas pelo aluno no início do Ensino Médio, têm diversas aplicações ligadas a problemas contidos na sociedade. Vale notar ainda que, devido às equações diofantinas buscarem apenas soluções inteiras, são aplicadas em situações que busquem esse tipo de resposta e, mais especificamente, também são aplicadas em exercícios que busquem valores positivos. Além disso, ajuda aos alunos construírem conceitos estruturais em relação ao assunto de equações polinomiais do primeiro grau, tema presente no currículo escolar do Ensino Médio.
Aprofundando ainda mais, o MMC e MDC são usados também para justificar algumas contas, como no cálculo de possibilidades, ligado à Análise Combinatória.
Como visto em Rodrigues e Silva (2004), a utilização de jogos na Educação Básica, além de possibilitar aos alunos trabalhar sobre regras e convenções, proporciona aproximações com possíveis teorizações. No caso, são utilizados os algoritmos de obtenção do MMC e MDC para compreender, por meio da Matemática, características do jogo, e até estabelecer condições para a vitória neste jogo.
Por fim, atendendo aos objetivos deste trabalho, buscamos por meio da abordagem e caracterização de temas realizada no Ensino Superior, aplicações e atividades que poderiam ser trabalhadas na Educação Básica, fornecendo assim subsídios para a prática profissional do professor sobre os objetos em questão. Nesse sentido, o ensino da Matemática alcança sua principal meta, a de contribuir para a formação de cidadãos responsáveis e críticos, reconhecendo e incentivando seus conhecimentos e auxiliando na compreensão de questões relacionadas à sociedade.
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APÊNDICE A - CRITÉRIOS UTILIZADOS PELO PNLD 2011 (2010)
Para a seleção de livros recomendados pelo PNLD, são necessários que os livros atendam uma série de critérios. Mostraremos abaixo tais critérios, extraídos os principais pontos do PNLD 2011 (2010):
Critérios eliminatórios comuns a todas as áreas
Os critérios eliminatórios comuns a serem observados na apreciação de todas as coleções submetidas ao PNLD 2011 são os seguintes:
respeito à legislação, às diretrizes e às normas oficiais relativas ao ensino;
observância de princípios éticos necessários à construção da cidadania e ao convívio social republicano;
coerência e adequação da abordagem teórico-metodológica assumida pela coleção, no que diz respeito à proposta didático-pedagógica explicitada e aos objetivos visados;
correção e atualização de conceitos, informações e procedimentos;
observância das características e finalidades específicas do manual do professor e adequação da coleção à linha pedagógica nele apresentada;
adequação da estrutura editorial e do projeto gráfico aos objetivos didático pedagógicos da coleção.
O não atendimento de qualquer um desses critérios resulta em uma proposta pedagógica incompatível com os objetivos e justifica sua exclusão do PNLD 2011 (2010). O edital detalha ainda critérios específicos de cada componente curricular.
Critérios eliminatórios específicos
Além dos critérios eliminatórios comuns, para o componente curricular Matemática será excluída a coleção que:
operações, álgebra, geometria, grandezas e medidas e tratamento da informação;
der atenção apenas ao trabalho mecânico com procedimentos, em detrimento da exploração dos conceitos matemáticos e de sua utilidade para resolver problemas;
apresentar os conceitos com erro de encadeamento lógico, tais como:
recorrer a conceitos ainda não definidos para introduzir outro conceito, utilizar-se de definições circulares, confundir tese com hipótese em demonstrações matemáticas;
deixar de propiciar o desenvolvimento, pelo aluno, de competências cognitivas básicas, como: observação, compreensão, argumentação, organização, análise, síntese, comunicação de ideias matemáticas, memorização; supervalorizar o trabalho individual;
apresentar publicidade de produtos ou empresas.
Além disso, o Manual do Professor deverá:
apresentar orientações metodológicas para o trabalho do ensino- aprendizagem da Matemática;
contribuir com reflexões sobre o processo de avaliação da aprendizagem de