Semana 14 - Fun¸c˜ oes trigonom´ etricas
(a) −1 (b) 1 (c) 2x+ 1 x−2
2
(d) x−2
2x+ 1 (e) x
5) Se (f ◦g)(x) = 4x2−8x+ 6 e g(x) = 2x−1, ent˜ao f(2) ´e igual a:
(a) −2 (b) −1 (c) 3
(d) 5 (e) 6
6) Considere as fun¸c˜oes f(x) = 2x+ 1, g(x) = x2−1. Ent˜ao, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao (f ◦g)(x) = 0 s˜ao:
(a) inteiras (b) negativas (c) racionais n˜ao inteiras (d) inversas uma da outra (e) opostas uma da outra
7) Sef(x) = 2x−1, ent˜ao f−1(x) ´e igual a:
(a) x−1
2 (b) −x−1
2 (c) x+ 1
2
(d) 1
2x−1 (e) nda
8) Sef−1 ´e a inversa de f(x) = 2x+ 3, ent˜ao o valor de f−1(2) ´e igual a:
(a) 12 (b) 17 (c) 0
(d) −17 (e) −12
9) A inversa da fun¸c˜ao f(x) = x3 + 1 ´e definida pela lei:
(a) √3
x+ 1 (b) x31+1 (c) √3
x−1 (d) √3
x3−1 (e) nda
10) Seja f : R− {13} −→ B ⊂ R a fun¸c˜ao invers´ıvel definida por f(x) = 6x 3x−1. O conjunto B ´e igual a:
(a) R (b) R−©
−2ª
(c) R−©1
2
ª
(d) R−©
− 12ª
(e) R−© 2ª
O tema da semana ´ e . . .
Fun¸c˜ oes trigonom´ etricas inversas!
Come¸camos com a famosa pergunta: por que as pessoas acham este tema t˜ao dif´ıcil?
Realmente, as fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas reservam alguns segredos e alguns mist´erios que custam um pouco a serem revelados. Mas, nada que cinco ou seis horas de estudo seguido por trˆes ou quatro dias para resolver.
Na minha opini˜ao a dificuldade desse tema reside na justaposi¸c˜ao de dois assuntos que, por si s´o, j´a causam razo´avel estrago na auto-estima dos alunos: fun¸c˜oes trigonom´etricas e fun¸c˜oes inversas.
Para complicar ainda mais, as fun¸c˜oes trigonom´etricas n˜ao s˜ao as fun¸c˜oes mais (por assim dizer) invers´ıveis que conhecemos...
Nossa estrat´egia para sobrepujar essas dificuldades consistir´a em lembrar dos aspectos mais importantes de cada um desses t´opicos e, quando estivermos mais certos disso, faremos, cuidadosamente, a mistura desses perigosos ingredientes.
O que vocˆ e n˜ ao pode deixar de saber a respeito de fun¸c˜ oes inversas?
• Sef :A−→B ´e invers´ıvel, ent˜ao f−1 :B −→A. Ou seja, o dom´ınio def ´e a imagem (coincidente com o contradom´ınio) def−1; a imagem de f ´e o dom´ınio de f−1.
Exemplo:
f : R− {3} −→ R− {2}
x 7−→ 1
x−3+ 2
f : R− {2} −→ R− {3}
x 7−→ 1
x−2 + 3
• Seja f uma fun¸c˜ao invers´ıvel. Os gr´aficos de f e de sua inversa f−1 s˜ao sim´etricos em rela¸c˜ao `a reta definida por y=x, bissetriz dos primeiro e terceiro quadrantes.
Veja os gr´aficos de f : R −→ [−2, +∞), de f−1 : [−2,+∞) −→ R e os dois gr´aficos sobrepostos com a reta y=x tracejada.
Note que a reta horizontaly =−2 limita o gr´afico da f e o a reta verticalx=−2 limita o gr´afico de f−1. Esse fenˆomeno ´e chamado de ass´ıntota horizontal e ass´ıntota vertical e vocˆe aprender´a muita coisa sobre isso no C´alculo I.
• Dada a lei de defini¸c˜ao y=f(x), da fun¸c˜ao f, para determinarmos a lei de defini¸c˜ao de f−1, devemos “resolver” a equa¸c˜aoy =f(x) em x. . .
Por exemplo, se y =f(x) = 2x−3
x−1 , fazemos y= 2x−3x−1 e resolvemos em x:
y = 2x−3 x−1 y(x−1) = 2x−3
yx−y = 2x−3 yx−2x = y−3 x(y−2) = y−3 x = y−3 y−2
Portanto, para escrever a lei de defini¸c˜ao de f−1, colocamos x no lugar dey:
f−1(x) = x−3 x−2.
E as trigonom´ etricas, digamos seno e cosseno?
As fun¸c˜oes trigonom´etricas tˆem caracter´ısticas muito especiais, que as diferenciam das usuais fun¸c˜oes polinomiais, que foram, at´e agora, nossa principal fonte de exemplos. Elas s˜ao
a) limitadas: ∀x∈R, |senx| ≤1, e |cosx| ≤1;
b) peri´odicas: ∀x∈R, sen(x+ 2π) = sen(x) e cos(x+ 2π) = cos(x);
c) satisfazem a Identidade Trigonom´etrica Fundamental:
sen2x + cos2x = 1 v´alida ∀x∈R.
c) As fun¸c˜oes obtidas `a partir dessas duas, tangente, cotangente, secante e cossecante, n˜ao s˜ao mais limitadas, mas ainda s˜ao peri´odicas e satisfazem importantes identidades decorrentes da Identidade Trigonom´etrica Fundamental, como
tg2x + 1 = sec2x,
v´alida em todo o dom´ınio da fun¸c˜ao tangente, que ´e igual ao dom´ınio da fun¸c˜ao secante, determinado pela condi¸c˜ao cosx6= 0.
Encontro de tit˜ as . . .
Como lidar com as fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas?
E necess´ario dedica¸c˜ao e paciˆencia. A cultura atual nos d´a a impress˜ao que n˜ao precisamos´ gastar mais do que uns poucos minutos para dominar um assunto para estarmos prontos para outro. A Matem´atica n˜ao poderia estar mais distante disso. Portanto, arregace as mangas, beba um copo d’´agua, v´a ao banheiro e pegue todo o material did´atico dispon´ıvel sobre o tema, sente-se no seu lugar m´agico de estudos e mergulhe de cabe¸ca nas fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas. Vocˆe acabar´a gostando disso.
Bem, na falta de alguns dos ingredientes acima citados, fa¸ca o poss´ıvel, a prova est´a logo ali.
Vamos come¸car com a seguinte pergunta:
Quais fun¸c˜oes podem ser invertidas?
Muitas, poucas, quantas?
A resposta, como tudo na vida, depende de algumas condi¸c˜oes. A condi¸c˜ao para que uma fun¸c˜ao seja invers´ıvel ´e que ela seja bijetora, que ´e uma restri¸c˜aoforte. Isso nos leva a crer que a resposta `a pergunta feita anteriormente seja que poucas fun¸c˜oes s˜ao invers´ıveis.
No entanto, se restringirmos a pergunta `as fun¸c˜oes com que temos lidado a maior parte do tempo, polinomiais e coisas do gˆenero, o cen´ario torna-se um pouco mais r´oseo. Neste caso, dividiremos a quest˜ao em duas abordagens:
a) (Abordagem global)Dada uma fun¸c˜ao f, ser´a que ´e invers´ıvel?
b) (Abordagem local) Dada uma fun¸c˜ao f, ser´a que h´a subintervalos de seu dom´ınio, restritos aos quais f ´e invers´ıvel?
A abordagem global ´e mais dif´ıcil de ser respondida positivamente. No entanto, a abor- dagem local tem, quase sempre, resposta positiva.(h´a uma maneira matem´atica de precisar isso e vocˆe aprender´a como, come¸cando no C´alculo I)
Por exemplo, considere a fun¸c˜ao f : R −→ R definida por f(x) = x2. Esta fun¸c˜ao n˜ao ´e injetora (f(−1) = f(1), por exemplo) e n˜ao ´e sobrejetora (n˜ao existe x ∈ R tal que f(x) = x2 = −1, por exemplo). Logo f n˜ao ´e invers´ıvel, respondendo negativamente `a pergunta (a).
No entanto, se considerarmos as suas restri¸c˜oes aos intervalos (− ∞, 0] e [0, +∞), teremos duas fun¸c˜oes invers´ıveis. Veja os detalhes.
Sejam f1 : (− ∞, 0]−→[0, +∞) e f2 : [0, +∞) −→[0, +∞) duas restri¸c˜oes de f. Isto
´e, f1(x) =f(x) =x2 e f2(x) = f(x) = x2. As duas fun¸c˜oes f1 e f2 s˜ao invers´ıveis. Eis aqui as suas inversas, como vocˆe pode verificar.
f1−1 : [0, +∞)−→(− ∞,0], definida por f1−1(x) = −√ x;
f2−1 : [0, +∞)−→[0,+∞), definida por f2−1(x) =√ x.
Note que, nos dois casos, elevar ao quadrado resulta emx:
¡− √ x¢2
= ¡√
x¢2
= x,
pois x∈[0, +∞).
Aqui est˜ao os gr´aficos.
Gr´afico de f(x) = x2
−2
Gr´afico de f1 Gr´afico de f2
Gr´aficos de f1 ef1−1
−2
Gr´aficos de f2 ef2−1
Observe mais um exemplo de uma fun¸c˜ao n˜ao invers´ıvel, mas que admite “ramos” de invers˜ao. Isto ´e, admite partes de seu gr´afico que, considerados independentemente do resto da fun¸c˜ao, s˜ao gr´aficos de fun¸c˜oes invers´ıveis.
Gr´afico de fun¸c˜ao n˜ao invers´ıvel
Gr´aficos de restri¸c˜oes que s˜ao invers´ıveis
Isto ´ e o que faremos com as fun¸c˜ oes trigonom´ etricas
As fun¸c˜oes trigonom´etricas s˜ao, em geral, n˜ao sobrejetoras (seno e cosseno s˜ao limitadas, nunca excedem 1, em valor absoluto) nem injetoras (uma vez que s˜ao peri´odicas, cos(π) = cos(3π), por exemplo). No entanto, ao olharmos seus gr´aficos, podemos ver v´arios “ramos” de invers˜ao.
Isto ´e, os trechos do dom´ınio nos quais a fun¸c˜ao ´e crescente (ou decrescente).
Portanto, quando falamos de fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas, falamos de fato de restri¸c˜oes das fun¸c˜oes trigonom´etricas que s˜ao, de fato, invers´ıveis. Aqui entra a parte que d´a trabalho.
Vocˆe precisar´a memorizar, tatuar no c´erebro, fazer fichinhas, sei l´a, os dom´ınios de invers˜ao das fun¸c˜oes trigonom´etricas. Vamos ao exemplo mais simples: a fun¸c˜ao seno. Comece olhando seu gr´afico, com destaque no trecho que ser´a invertido!
Gr´afico de fun¸c˜ao f(x) = senx com destaque do trecho que ser´a invertido.
Assim, consideramos a restri¸c˜ao da fun¸c˜ao seno e sua inversa, a fun¸c˜ao que chamamos arco seno:
f : £
− π2, π2¤
−→ [−1,1]
x 7−→ senx
e f−1 : [−1,1] −→ £
− π2, π2¤ x 7−→ arc senx.
Veja os gr´aficos:
f(x) = senx f−1(x) = arc senx
Olhem bem, pois a diferen¸ca ´e sutil.
Assim, fa¸ca uma tabela com os dom´ınios (regi˜oes de invers˜ao) das fun¸c˜oes seno (j´a est´a a´ı), cosseno e tangente. Pelo menos essas vocˆe PRECISA saber...
Agora, alguns exerc´ıcios para praticar.
11) Calcule os seguintes valores:
(a) arc sen¡1
2
¢ (b) arccos¡√3
2
¢ (c) arc sen¡
−√22¢ (d) arccos¡
− 12¢
(e) arc sen¡ cos¡π
6
¢¢ (f) arccos¡
sen¡
− π4¢¢
(g) arc tg(1) (h) arc tg(√
3) (i) arc tg¡
− √33¢
12) Determine os dom´ınios das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f(x) = arc sen(2x) (b) g(x) = arccos(x−3) (c) h(x) = arc tg(2x−5) (d) j(x) = p
arc sen(x) (e) k(x) =p
4−arc tg2x
N˜ao deixe de fazer os exerc´ıcios 1, 2 e 3 da aula 39.