Matriz caracterizada pelo Critério de Drucker-Prager

Os conceitos descritos até o momento são genéricos, ou seja, podem ser aplicados a matrizes obedecendo a qualquer critério de resistência G^m(definido pela respectiva função

( ) 0

Fm σ ≤ ). Nesta seção é descrita a formulação para uma matriz com comportamento isotrópico e que obedece ao critério de Drucker-Prager.

O critério de Drucker-Prager foi desenvolvido inicialmente para o estudo do comportamento de solos. Entretanto, tem sido aplicado também para o estudo de rochas, polímeros, espumas, concreto e outros materiais dependentes da pressão hidrostática. No espaço tridimensional de tensões principais, a superfície de Drucker-Prager apresenta a forma de um cone regular com vértice sobre o eixo hidrostático (σ_xx =σ_yy =σ_zz) (Figura 4.7). No espaço bidimensional de tensões (ou seja, considerando uma seção transversal do cone no plano de tensões principais

(σ σ_xx, _yy), por exemplo), ele representa um domínio com forma elipsoidal.

Figura 4.7 – Representação gráfica do critério de Drucker-Prager.

O critério de Drucker-Prager pode ser expresso da seguinte forma:

( )

( ) 3 0

2

m

m m m

F σ = s +α trσ σ− −σ ≤ (4.52)

onde s =( : )s s ¹² é a norma do tensor de segunda ordem s, o qual é a parte desviadora de σ , ou seja, s dev= ( )σ . σ_m representa o limite elástico do material sob estado de tração uniaxial. O escalar α_m é um parâmetro adimensional variando entre 0 (critério de von Misses) e 1, o qual considera a dependência do critério em relação à tensão hidrostática.

Observa-se que:

3 1

2

m

m

F s

s α σ

∂ = +

∂ (4.53)

Considerando as Equações 4.52 e 4.53, que expressam, respectivamente, o critério de Drucker-Prager e a derivada da função que o define em relação à σ , a resolução da Equação 4.50 leva a:

( ) ( ) ( )

2 2

2

3 2 3

: ( )

2 3 3 1 2 2

x y m x y

z zz zz x y xx yy

m

S σ σ α S S S σ σ S S

σ σ σ

α

 

+ −

 

=  + + − + − − − 

 − 

 

(4.54)

onde S dev= ( )Σ representa a parte desviadora do tensor de tensão macroscópica.

Eixo hidrostático.

σxx

− σzz

−

__________________________________________________________________________________

Dois dos trechos B do domínio de resistência macroscópico são então obtidos considerando- se:

( )

z z z z z

x x x y y y

z z z z

x x x y y y

z z z z z

f se f

com f e f

se I

ou f e f

f se f

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

− −

+ −

− +

+ +

 ≤

 = =

Σ = ∈

= =



 ≥



(4.55)

na expressão F^hom( )Σ =F^m(Σ −σ_xe_x⊗e_x−σ_ye_y⊗e_y−σ_ze_z⊗e_z). Os demais trechos B são obtidos pelas permutações de x, y e z nas Equações 4.50, 4.54 e 4.55.

Considerando as Equações 4.52 e 4.53, a resolução do sistema de equações 4.51 fornece as expressões para um dos trechos A. Do sistema 4.51 obtêm-se:

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 3

1 4

2 2 3

1 4

m

x xx yy z xy xz yz

m m

y yy xx z xy xz yz

m

S S S S S e

S S S S S

σ σ α

α

σ σ α

α

= + + + + + +

−

= + + + + + +

−

(4.56)

O trecho A₃ do domínio de resistência macroscópico é então obtido considerando-se:

( )

( )

x x x x x

x x z z z x x

x x x x x

y y y y y

y y z z z y y

y y y y y

f se f

com f se I

f se f

f se f

com f se I

f se f

σ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ

σ σ σ

− −

+

+ +

− −

+

+ +

 ≤

Σ = = ∈

 ≥



 ≤

Σ = = ∈

 ≥



(4.57)

na função F^hom( )Σ =F^m(Σ −σ_xe_x⊗e_x−σ_ye_y⊗e_y−σ_ze_z⊗e_z). Os demais trechos A são obtidos pelas permutações de x, y e z nas Equações 4.51, 4.56 e 4.57.

É importante ressaltar que f_xσ_x⁺ = f_yσ_y⁺ = f_zσ_z⁺ = −f_xσ_x⁻ = −f_yσ_y⁻ = −f_zσ_z⁻ =(f 3)σ_f⁺, sendo f a fração volumétrica das fibras e σ⁺_f a resistência à tração uniaxial das fibras.

4.2.2.1.1 Direções das Tensões Principais Colineares às Direções das Fibras

Considerando-se as direções das fibras e das tensões principais colineares, ou seja, Σ = Σ_{I xx},

II yy

Σ = Σ , Σ_III = Σ_zz e Σ = Σ = Σ =_{xy xz yz} 0, as seguintes expressões são obtidas para os trechos B do domínio de resistência macroscópico a partir das Equações 4.54 e 4.55:

Trecho B₁:

(

1 2

)(

7 8

)

9 I

f f f f

f

+ −

Σ = , com σ_x = f_xσ_x⁺eσ_z = f_zσ_z⁻

Trecho B₂:

(

3 4

)(

7 8

)

9 II

f f f f

f

+ − +

Σ = , com σ_y = f_yσ_y⁺eσ_z = f_zσ_z⁻

Trecho B₃:

(

5 6

)(

7 8

)

9 II

f f f f

f

− −

Σ = , com σ_x = f_xσ_x⁻eσ_y = f_yσ_y⁺

Trecho B₄:

(

1 2

)(

7 8

)

9 I

f f f f

f

− + +

Σ = , com σ_x = f_xσ_x⁻eσ_z = f_zσ_z⁺

Trecho B₅:

(

3 4

)(

7 8

)

9 II

f f f f

f

− +

Σ = , com σ_y = f_yσ_y⁻eσ_z = f_zσ_z⁺

Trecho B₆:

(

5 6

)(

7 8

)

9 II

f f f f

f

+ − −

Σ = , com σ_x = f_xσ_x⁺eσ_y = f_yσ_y⁻

(4.58)

sendo f1= 3 1

(

−α_m²

) ⁽

−σ_x+σ_z− Σ_III

⁾

, f2 = 1−α_m²

(

3α_m

(

−σ_x−σ_z+ Σ_III

)

−2σ_m

(

1+α_m

) )

,

(

²

)( )

3 3 1 _{m y z III}

f = −α σ −σ + Σ , ^{f4 = 1−αm2}

(

^3αm

(

^{σy+σz− ΣIII}

)

^+2σm

⁽

^1+αm

⁾ )

^,

(

²

)( )

5 3 1 _{m x y III}

f = −α σ −σ − Σ , ^{f6 = 1−αm2}

(

^3αm

(

^{σx+σy− ΣIII}

)

^+2σm

⁽

^1+αm

⁾ )

^,

2

7 3 _m 1 _m

f = α −α , f8 = 3 1

(

−α_m²

)

e f9 =3 1

(

−α_m²

)(

1 4− α_m²

)

.

Enquanto as expressões que definem os trechos B₁, B₂, B₄ e B₅ são constantes para cada escolha das propriedades da matriz e do reforço e para cada Σ_III, as expressões para os trechos B₃ e B₆ são funções f

(

Σ ΣI^, II

)

=⁰.

As expressões obtidas para os trechos A do domínio de resistência macroscópico, considerando-se as direções das fibras e das tensões principais colineares, são descritas de forma simplificada abaixo:

__________________________________________________________________________________

Trecho A₁: 3 ( 1)

3

m x m m

I

m

α σ σ α α

+ +

Σ = , com σ_x = f_xσ_x⁺

Trecho A₂: 3 ( 1)

3

m y m m

II

m

α σ σ α α

+ +

Σ = , com σ_y = f_yσ_y⁺

Trecho A₃: 3 ( 1)

3

m z m m

III

m

α σ σ α α

+ +

Σ = , com σ_z = f_zσ_z⁺

(4.59)

Através das expressões acima, verifica-se que os trechos A₁, A₂, e A₃ são constantes em relação às componentes da tensão macroscópicas Σ_I, Σ_II e Σ_III, respectivamente. Os planos definidos pelas expressões 4.59 correspondem a planos sobre quatro vértices de quatro domínios obtidos pela translação do domínio de resistência da matriz.

As resistências à compressão uniaxial e biaxial do CRFA, respectivamente, f_c^CRFA e f_cb^CRFA, podem ser estimadas, através das considerações adotadas nesta seção, pelas seguintes expressões:

(2 ) ( 3) (1 )

( 1)

(2 ) ( 3) (1 )

(2 1)

m f m m

CRFA c

m

m f m m

CRFA cb

m

f f e

f f

α σ α σ

α

α σ α σ

α

+

+

+ + +

= −

− + +

= −

sendo f a fração volumétrica das fibras e σ_f⁺ a resistência à tração uniaxial das fibras.

Na Figura 4.8 observa-se a intersecção do domínio de resistência macroscópico de um compósito reforçado com fibras nas direções x, y e z com o plano Σ_III /Σ =₀ 0 ao se considerar uma matriz obedecendo ao critério de Drucker-Prager. Σ₀ é uma tensão de referência. As intersecções com o mesmo plano do domínio de resistência da matriz e dos oito domínios obtidos pelas suas translações f_xσ_x^±e_x+ f_yσ_y^±e_y+ f_zσ_z^±e_z, também podem ser visualizadas. É possível verificar que o domínio de resistência macroscópico do compósito é o envoltório convexo destes oito domínios.

Figura 4.8 – Domínio de resistência macroscópico G^hom no plano

I, II

Σ Σ de um compósito reforçado nas direções x, y e z e cuja resistência da matriz é representada pelo critério Drucker-Prager.

Na Figura 4.9 estão representadas as intersecções do domínio de resistência macroscópico do compósito com os planos Σ_III /Σ =₀ 0, Σ_III /Σ =₀ 0, 7, Σ_III /Σ =₀ 1, 41, Σ_III /Σ =₀ 2 e

/ 0 3, 41

ΣIII Σ = . As intersecções do domínio de resistência da matriz com estes planos (elipses) também estão representadas.

B1

B2

/ 0

ΣI Σ / 0

ΣII Σ

B3

B4

B5

B6

C1

C2

C3

C4

C5

C6

ΣII

Σ_I ey

ex

__________________________________________________________________________________

Figura 4.9 – Intersecções de G^hom e do domínio de resistência da matriz com os planos Σ_III /Σ =₀ 0, Σ_III/Σ =₀ 0, 7, Σ_III/Σ =₀ 1, 41,

III/ 0 2

Σ Σ = e Σ_III /Σ =₀ 3, 41.

No plano Σ_III =(3α σ_{m z}+σ α_m( _m+1)) / 3α_m, com σ_z = f_zσ_z⁻, estão localizados os vértices dos domínios de resistência obtidos pelas translações f_xσ_x^±e_x+ f_yσ_y^±e_y+ f_zσ_z⁻e_z (translação vertical negativa) do domínio de resistência da matriz. Neste plano, os trechos C₁, C₂ e C₃ representam três pontos (os vértices) e os trechos A₁ e B₁ e A₂ e B₂ se interceptam, ou seja, ocorre a intersecção entre os mesmos. Para tensões Σ_III abaixo deste valor (plano), apenas os trechos definidos como B e C ocorrem, assim como mostrado na Figura 4.8. Para tensões acima deste valor, as equações dos trechos A₁ e A₂ passam a definir o domínio de resistência macroscópico substituindo, respectivamente, as equações dos trechos B₁ e B₂, como pode ser visualizado na Figura 4.9. No plano Σ_III =(3α σ_{m z}+σ α_m( _m+1)) / 3α_m, com σ_z = f_zσ_z⁺, por sua vez, estão localizados os vértices de todos os domínios de resistência obtidos pelas translações f_xσ_x^±e_x+ f_yσ_y^±e_y+ f_zσ_z⁺e_z (translação vertical positiva) do domínio de resistência da matriz. Neste plano está localizado o trecho A₃ do domínio de resistência macroscópico do

/ 0 0 Σ Σ = Σ Σ = Σ Σ = Σ_III Σ =

/ 0

ΣII Σ

/ 0

ΣI Σ

/ 0 0,7 Σ Σ = ΣΣ Σ =Σ = Σ_III Σ =

/ 0 1,41 Σ Σ = ΣΣ Σ =Σ = Σ_III Σ =

/ 0 2 Σ Σ = ΣΣ Σ =Σ = Σ_III Σ =

/ 0 3,41 Σ Σ = ΣΣ Σ =Σ = Σ_III Σ =

A1

A2

B2

B1

Σ_II Σ_I ey

ex

compósito. Estados de tensões onde Σ_III possui um valor maior que este plano, representam a ruptura do material.

No documento CONCRETO REFORÇADO COM FIBRAS DE AÇO VIA TEORIA DA HOMOGENEIZAÇÃO (páginas 157-164)