Medidas de Risco

Segundo McNeil et al. (2005), existem várias abordagens para o cálculo de medidas de risco, mas de modo geral, podemos classificá-las em quatro diferentes categorias. Neste trabalhoconsideramos duas dessas categorias. A primeira delas são as medidas de risco baseadas em distribuição de perdas. Tais medidas de risco são estatísticas que descrevem a distribuição condicional e não-condicional das perdas do portfólio sobre um horizonte de tempo pré-determinado, como por exemplo a variância, o Valor em Risco (VaR) e o Valor em Risco Condicional (CVaR ou Expected Shortfall). A segunda abordagem são as medidas de risco baseadas em cenários. Nesta abordagem, para calcular as medidas de risco em um portfólio, consideramos um número de possíveis mudanças de fatores de risco (cenários), tais como 10% de variação nas taxas de câmbio ou queda de 20% no preço das ações. O risco do portfólio é então medido como a perda máxima do portfólio sobre todos os possíveis cenários.

Lembramos que, dado o portfólio , dizemos que é eficiente se ele contém uma combinação de ativos que proporciona o máximo retorno para uma dada classe de risco, ou de forma equivalente, o mínimo risco para uma dada classe de retornos. Sendo assim, a seleção dos pesos , para os ativos em , é de fundamental importância. Portanto, antes de discutirmos o cálculo das medidas de risco, relembramos o método da média-variância para seleção de portfólios eficientes (Markowitz, 1952).

2.1. Cálculo do Portfólio Eficiente e o Modelo CAPM

A maioria dos investidores espera que um portfólio eficiente satisfaça ambas as condições, máximo retorno e mínima variância. Segundo Markowitz (1952), o portfólio com máximo valor esperado não é, necessariamente, o de mínima variância. Existe uma proporção tal que o investidor pode aumentar os retornos esperados aumentando a

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variância ou reduzir a variância diminuindo os retornos esperados. Em seu trabalho, o autor apresenta um estudo sobre a seleção de portfólios eficientes baseado no valor esperado e na variância dos retornos (E - V rule). De acordo com os conceitos desenvolvidos, o investidor pode reduzir o risco total de seus investimentos através da combinação de ativos que não apresentam correlação positiva e a redução dos riscos será tão maior quanto menor for esta correlação.

Sharpe (1964) e Lintner (1965) demonstram que o conjunto de portfólios eficientes disponíveis para o investidor que emprega a análise de média-variância, na ausência de um ativo livre de risco, isto é, um ativo não-correlacionado com o mercado e com retorno esperado igual ao retorno observado, é inferior ao disponível quando existe ativo desse tipo. Segundo Fabozzi et al. (2006) os pesos ótimos , para o portfólio eficiente , na presença de um ativo livre de risco , são dados por

(1)

onde é o nível de retorno esperado, é a matriz de variância-covariância dos retornos, , é o retornoativo livre de riscose é o vetor coluna com entradas iguais a 1. Obviamente, o peso para o ativo livre de risco é

.

A expressão (1) mostra que todos os pesos para ativos de risco para um portfólio de mínima variância são proporcionais ao vetor , com constante de proporção

. Mais especificamente (veja Fabozzi et al., 2006),quando introduzimos um ativo livre de risco no portfólio, todos os portfólios de mínima variância são combinações lineares de um ativo livre de risco com um portfólio de risco. Este cenário é representado por uma reta denominada Linha de Mercado de Capitais (CML) e corresponde a situação do mercado em equilíbrio.

O modelo de precificação de ativos de capital (Capital Asset Pricing Model ou CAPM), desenvolvido por Sharpe (1964) e Lintner (1965), mostra como o retorno esperado de um ativo está relacionado ao seu risco sistemático. Tal modelo baseia- se nas seguintes hipóteses:

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•inexistência de custos de transação (mercado perfeito);

• ausência de informação confidencial, o que faz com que não hajam ativos subavaliados ou superavaliados no mercado;

• a decisão do investidor baseia-se unicamente no retorno esperado e no risco; os investidores estimam o risco em função da variabilidade das taxas de retorno estimadas;

• existência de um ativo livre de risco, denotado por , onde os investidores podem emprestar e tomar emprestado a uma única taxa, denotada por , visando obter alocações ótimas;

• os investidores ajustam a decisão de alocação às preferências de risco decidindo dessa forma, quando investirão em ativos livres de risco ou ativos arriscados.

Se o mercado está em equilíbrio, situação representada pela linha de capital de mercado (CML), o retorno esperado de um portfólio é uma função linear do valor esperado do portfólio do mercado e o retorno esperado de ativos individuais deve estar sobre a Linha de Mercado de Títulos (Security Market LineouSML) e não sobre a linha CML. A SML é definida por

(2)

para todo , onde .

O modelo (2) é também denominado CAPM e sua versão empírica é a regressão linear,denominada linha característica, dada por

(3) onde é o tamanho amostral, é o erro e representa o risco não-sistemático, ou seja, aparcela do risco que pode ser eliminada através da diversificação (compra ou venda de ações), representa o risco sistemático, isto é, a parcela do risco que não pode ser eliminada pela diversificação e está relacionada com o comportamento do mercado como um todo e é o coeficiente da ação, definido por , e determina se o ativo está subavaliado ( ) ou superavaliado ( ).

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Observação 2.1 - O coeficiente do portfólio , denotado por , é dado por onde , para , é o coeficiente do ativo .

O coeficiente angular , dado na expressão (2), pode ser visto como uma medida de volatilidade das taxas de retorno de um ativo qualquer com relação às taxas de retorno do mercado como um todo. Esse pressuposto parte do princípio de que todos os ativos tendem a ter os seus preços alterados com maior ou menor proporção às alterações do mercado como um todo. Lembramos que o retorno esperado depende apenas do risco sistemático. Como ativos com valores de maiores têm riscos sistemáticos mais altos, têm também retornos esperados maiores. Dessa forma, conhecendo-se as características de risco (seu respectivo ) de uma ação, é possível estimar-se o preço justo (ou valor intrínseco), tendo-se a indicação se o ativo é, ou não, uma boa opção de compra.

2.2. Medidas de Risco Baseadas na Distribuição de Perdas e Ganhos

Dado um portfólio fixo , denotamos por o valor do portfólio no tempo . Assumimos que , para todo , são variáveis aleatórias observáveis e denotamos por a perda do portfólio sobre o período . A distribuição da variável aleatória é denominada distribuição de perdas. Em geral, a variável aleatória é definida como uma função de um vetor aleatório observável , de fatores de risco, ou seja, para todo , para alguma função mensurável , denominada função dos riscos.

Observação 2.2 - Em alguns casos, é conveniente utilizar, ao invés dos fatores de risco