sistema, esse modelo também é conhecido na literatura como no-slip. Dessa forma, considera-se que as fases escoam na mesma velocidade e, portanto:
𝑣 = 𝑣 (31)
Além disso, para este modelo é assumido que as fases encontram-se em equilíbrio termodinâmico entre si. Essa hipótese simplifica bastante o modelo, pois o holdup não mais é calculado através dos modelos mecanicistas, mas sim do flash termodinâmico.
Essa hipótese também foi empregada por Eghbali, Banks e Nobes (2021) para modelar o escoamento multifásico em poços verticais. Para padrões de escoamento do tipo bolhas essa hipótese é razoável, uma vez que as fases estão bem dispersas umas nas outras. Para padrões de escoamento estratificado, anular ou slug, essa hipótese pode não ser adequada, pois as fases estão pouco dispersas.
exploração de petróleo tanto onshore como offshore, os escoamentos ascendentes verticais e escoamentos horizontais e inclinados são os mais pertinentes para serem analisados. Nesse sentido, destacam-se os trabalhos de Taitel, Duckler e Bornea (1976 e 1980) que estabeleceram diferentes critérios para identificação dos padrões de escoamento em tubulações horizontais ou inclinadas (1976) e tubulações verticais com escoamento ascendente (1980). É usual definir um ângulo limite de operação para cada correlação horizontal ou inclinada, e.g. foi utilizado o ângulo de 45° para definir quando uma correlação horizontal ou vertical deve ser utilizada.
Existem diversos regimes de escoamento possíveis de serem identificados em um escoamento multifásico, porém nesta dissertação foram especificados os seguintes tipos:
Horizontal: estratificado, anular, disperso com bolhas e intermitente;
Vertical: anular, disperso com bolhas e intermitente.
Nos tópicos seguintes são especificadas as relações matemáticas para identificação de cada um dos padrões de escoamento mencionados.
Figura 2 – Regimes de escoamento horizontais. Nome dos regimes de escoamento de cima para baixo: estratificado, anular, intermitente, disperso com bolhas.
Fonte: O autor, 2023
Figura 3 – Regimes de escoamento verticais. Nome dos regimes de escoamento da esquerda para a direita: anular, intermitente, disperso com bolhas
Fonte: O autor, 2023
2.3.1 Horizontal
Os padrões de escoamento para tubulações horizontais e inclinadas utilizados nessa dissertação foram retirados de Taitel e Duckler (1976), que especificaram regiões de transição do regime de escoamento a partir das características da tubulação, ângulo de inclinação e propriedades do fluido.
A abordagem adotada começa assumindo uma condição de regime estratificado e a partir dessa hipótese são realizados testes de estabilidade para identificar se algum mecanismo para transição de regime de escoamento é esperado dada as condições do sistema. Essa abordagem não impacta no resultado final, uma vez que a existência de um padrão de escoamento específico é independente do caminho utilizado para se chegar a esse estado.
A transição entre o regime estratificado e um regime não estratificado (anular, bolhas ou intermitente), é identificada através de uma análise de estabilidade a partir
da teoria de Kelvin-Helmholtz, expandida para a condição de um fluido escoando dentro de um tubo:
𝑣 > 1 −ℎ 𝐷
(𝜌 − 𝜌 )𝑔 cos 𝜃 𝐴 𝜌 𝑑𝐴
𝑑ℎ
(32)
na qual 𝑣 é a velocidade do gás, que é a velocidade definida se o gás escoasse sozinho dentro da tubulação, ℎ é o nível de líquido dentro da tubulação, 𝜃 é o ângulo de inclinação da tubulação em relação à horizontal, 𝐴 é a área de seção transversal ocupada pelo gás e a derivada 𝑑𝐴 𝑑ℎ⁄ é uma relação geométrica entre a área da seção transversal ocupada pelo líquido e seu nível dentro da tubulação.
A transição entre o regime intermitente e anular se baseia puramente na quantidade de líquido que ocupa o tubo. A escolha do fator de 0,5 pode ser entendida como a tendência das ondas de líquido alcançarem o topo da tubulação ou irem para o fundo, imaginando as ondas de líquido como uma função senoidal, se a crista da onda estiver acima da linha de centro da tubulação, o gás em escoamento pode ser capaz de elevar esse fluido bloqueando a passagem. Esta relação é simplesmente descrita por:
ℎ
𝐷 < 0,5 (33)
A transição entre os regimes intermitente e disperso com bolhas é ditada pela força necessária para manter o gás flutuando sob o topo da tubulação, se a velocidade vazão de líquido for alta suficiente e seu nível se aproximar do topo da tubulação o gás tende a se misturar no líquido na forma de bolhas dispersas. A relação de transição pode ser escrita como:
𝑣 > 4𝐴 𝑆
𝑔 cos 𝜃 𝑓
𝜌 𝜌
/ (34)
na qual 𝑆 é o perímetro formado pela interface líquido-vapor e 𝑓 é o fator de atrito do líquido com as paredes da tubulação.
2.3.2 Vertical
Os padrões de escoamento para tubulações verticais com fluxo ascendente utilizados nessa dissertação são retirados de Taitel et al. (1980), que especificaram regiões de transição do regime de escoamento a partir das características da tubulação, ângulo de inclinação e propriedades do fluido. Os autores previram a formação dos padrões de escoamento anular, bolhas, disperso com bolhas, slug e churn, porém nessa dissertação, os padrões bolha e dispersos com bolha são considerados equivalentes e o padrão slug e churn são considerados intermitentes.
Assim como foi feito para o escoamento em tubulações horizontais, os padrões de escoamento são identificados através de critérios de estabilidade para cada região de transição.
O padrão anular é observado para altas vazões de gás. Nesse escoamento o gás “fura” a coluna de líquido escoando no meio da tubulação e o líquido forma uma camada que escoa ao longo das paredes do tubo. Esse padrão de escoamento só pode existir se a velocidade do gás for suficiente para suspender as gotículas de líquido, caso contrário o líquido se acumula e o gás não mais arrasta todas as gotículas. A expressão para identificação dessa região de transição é expressa pela seguinte relação:
𝑣 > 3,1[𝜎𝑔(𝜌 − 𝜌 )] / 𝜌 /
(35)
na qual 𝑣 é a velocidade superficial do gás e 𝜎 é a tensão superficial do líquido.
Quando gás escoa verticalmente numa tubulação com líquido, para diâmetros elevados esse gás tende a escoar em pequenas bolhas. Se as forças atuantes sobre o líquido forem suficientes para prevenir as bolhas de gás de coalescerem, o escoamento com bolhas se mantém. Essa condição é expressa com a seguinte inequação:
𝑣 > 𝑣 − 1,15[𝜎𝑔(𝜌 − 𝜌 )] / 𝜌
(36)
Porém, uma condição necessária para esse escoamento de bolhas existir é que o diâmetro da tubulação esteja dentro de um limite especificado pelas dimensões do tubo:
𝜌 𝑔𝐷 (𝜌 − 𝜌 )𝜎
/
≤ 4,36 (37)
Além disso, se a velocidade superficial do líquido for alta o suficiente, a turbulência no escoamento pode ser suficiente para manter as bolhas de gás dispersas na forma de pequenas bolhas. Para isso, a seguinte relação se observa:
𝑣 ≥ 4,0 𝐷 , (𝜎 𝜌⁄ ) , 𝑣 ,
𝑔(𝜌 − 𝜌 ) 𝜌
,
− 𝑣 (38)
2.3.3 Fluxograma
As relações para identificação das regiões de transição para os padrões de escoamento são resumidas na Tabela 1.
Tabela 1 – Equações de transição para os regimes de escoamento Horizontal
Estratificado-Não Estratificado:
𝑣 > 1 −ℎ 𝐷
(𝜌 − 𝜌 )𝑔 cos 𝜃 𝐴 𝜌 𝑑𝐴
𝑑ℎ
Intermitente-Anular:
ℎ
𝐷 < 0,5
Intermitente-Bolha:
𝑣 > 4𝐴 𝑆
𝑔 cos 𝜃 𝑓
𝜌 𝜌
/
Vertical
Anular-Bolha-Intermitente:
𝑣 > 3,1[𝜎𝑔(𝜌 − 𝜌 )] / 𝜌 /
Bolha-Slug:
𝑣 > 𝑣 − 1,15[𝜎𝑔(𝜌 − 𝜌 )]/ 𝜌
𝜌 𝑔𝐷 (𝜌 − 𝜌 )𝜎
/
≤ 4,36
ou 𝑣 ≥ 4,0 𝐷 , (𝜎 𝜌⁄ ) ,
𝑣 ,
𝑔(𝜌 − 𝜌 ) 𝜌
,
− 𝑣 Fonte: TAITEL et al., 1976 e 1980
Apesar das expressões estarem sendo mostradas dessa maneira, na implementação numérica essas comparações booleanas foram trocadas por funções sigmoidais como sugerido por Souza (2010), visando conferir uma maior estabilidade numérica no momento da resolução do sistema não-linear de equações.
A identificação do padrão de escoamento é feita de acordo com o fluxograma presente na Figura 4.
Figura 4 – Identificação do padrão de escoamento
Fonte: O autor, 2023