Propriedades recursivas - Dinâmica topológica em equações diferenciais ordinárias generalizadas

58 Sistemas semidinâmicos impulsivos gerados por EDOs generalizadas

para quaisquer x ∈ O e t, h ⩾ 0. Dessa forma, V(x(t), F_h) = V(x(t), F) = U(x(t), f) para todo h⩾0. Portanto,

V˙(x(t), F) = lim sup

h→0⁺

V(x(h, x(t), F), Fh)−V(x(t), F) h

= lim sup

h→0⁺

U(x(h, x(t), f), f)−U(x(t), f) h

= ˙U(x(t), f). Por outro lado, temos

V(I(u₁), F) = V(u⁺₁, F) =V(x(φ(u, F), u, F), F)

= V(x(φ(u, F), u, F), F_φ(u,F₎)

= V(π(φ(u, F), u, F)), para todo (u, F)∈ O × F₀^∗(Ω, h).

Agora, seja

E ={(v, H)∈ O × F₀^∗(Ω, h): ˙V(v, H) = 0}

e seja W ⊂ E o maior subconjunto positivamente π−e invariante de E. Sabendo que ω(x₀, f)∩M = ∅, podemos inferir que Ω⁺(x₀, F)∩(M× F₀^∗(Ω, h)) = ∅. Então, pelo Teorema 4.13, temos Ω⁺(x₀, F)⊂W. Para completar a prova, vamos provar a seguinte asserção.

Afirmação: ω(x₀, f)⊂ N.

Com efeito, dado x^∗ ∈ ω(x₀, f), existe uma sequência de números reais positivos (λ_n)^n∈N, tal que λ_n^n→∞−→ ∞ e

x(λ_n) = x(λ_n, x₀, f)^n→∞−→ x^∗.

Note que V(x(λ_n), F_λ_n) = U(x(λ_n), f). Como o conjunto F₀^∗(Ω, h) é compacto, a menos de uma subsequência de (Fλn)n ∈ N, existe F^∗ ∈ F₀^∗(Ω, h) tal que Fλn

n→∞−→ F^∗.

Daí, lim sup

n→∞ V(x(λ_n), F_λ_n) = lim sup

n→∞ U(x(λ_n), f), de onde segue que

U˙(x^∗, f) = ˙V(x^∗, F^∗).

Como (x^∗, F^∗) ∈ Ω⁺(x₀, F), pelo Teorema 4.13 extraímos que ˙V(x^∗, F^∗) = 0. Sendo assim,

U˙(x^∗, f) = ˙V(x^∗, F^∗) = 0 e x^∗ ∈H_f. Por conseguinte, ω(y₀, f)⊂H_f.

Como ω(y₀, f) é positivamente invariante e N é o maior subconjunto positivamente invariante de H_f, concluímos que ω(y₀, f) ⊂ N, provando a afirmação e finalizando a prova.

Propriedades recursivas 59 No conjunto O × F₀^∗(Ω, h), vamos considerar a seguinte métrica

ϱ((x, F₁),(y, F₂)) =∥x−y∥+ρ(F₁, F₂),

para quaisquer (x, F₁),(y, F₂)∈ O × F₀^∗(Ω, h), ondeρ foi definida em (2.18).

Adicionalmente, vamos considerar a seguinte condição (T):

(T) Se (u, F) ∈ M× F₀^∗(Ω, h), (v, H) ∈ O × F₀^∗(Ω, h) e (tn)n∈N é uma sequência tal que πe(t_n, v, H) ^n→∞−→ (u, F), então existe uma sequência (α_n)^n∈N ⊂ R+, α_n ^n→∞−→ 0, tal que π(α_n,π_e(t_n, v, H)) ∈ M× F₀^∗(Ω, h) para n suficientemente grande, ou seja, πe(t_n+α_n, v, H)^n→∞−→ (I(u), F).

A seguir, temos os conceitos de minimalidade e recorrência. Para sistemas semidinâ- micos impulsivos gerais, esses conceitos podem ser encontrados em [13].

Definição 4.19. Diremos que um subconjunto Σ ⊂ O × F₀^∗(Ω, h) é minimal quando Σ\(M× F₀^∗(Ω, h))̸=∅, Σ é fechado, Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante e Σ não contém nenhum subconjunto próprio satisfazendo todas essas condições.

Definição 4.20. Diremos que um ponto (u, F)∈ O × F₀^∗(Ω, h) érecorrentese, para todo ϵ >0, existe um T =T(ϵ)>0 tal que, para quaisquer t, s ⩾0, o intervalo [0, T] contém um número τ >0 tal que

ϱ(πe(t, u, F),πe(s+τ, u, F))< ϵ.

Diremos que um subconjunto Σ⊂ O × F₀^∗(Ω, h) érecorrente se cada ponto (u, F)∈Σ é recorrente.

Os próximos resultados apresentam caracterizações dos conjuntos minimais de O × F₀^∗(Ω, h).

Teorema 4.21 ( [12], Teorema 14.28). Um subconjunto Σ⊂ O × F₀^∗(Ω, h) é minimal se, e somente se,Σ = πe⁺(u, F), para todo (u, F)∈Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)).

Demonstração. ⋄ Prova de (⇒): Suponha que Σ seja minimal e tome (u, F)∈Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) arbitrariamente.

Como Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante e Σ é fechado, temos πe⁺(u, F)⊂Σ = Σ.

Sabendo que πe⁺(u, F)\(M× F₀^∗(Ω, h)) ̸= ∅, πe⁺(u, F) é fechado e πe⁺(u, F)\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante (pelo Lema 4.7), a minimalidade de Σ implica Σ =πe⁺(u, F).

⋄ Prova de (⇐): Agora, suponha que Σ = πe⁺(u, F) para todo (u, F) ∈ Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)). Seja Θ⊂Σ tal que Θ\(M×F₀^∗(Ω, h))̸=∅, Θ seja fechado e Θ\(M×F₀^∗(Ω, h)) seja positivamente invariante. Tome (v, G) ∈ Θ\(M× F₀^∗(Ω, h)). Então (v, G) ∈ Σ\ (M× F₀^∗(Ω, h)), o que implica Σ = πe⁺(v, G). Finalmente, como Θ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante e Θ é fechado, obtemos

Θ⊂Σ =πe⁺(v, G)⊂Θ = Θ, ou seja, Σ = Θ. Isso prova que Σ é minimal.

60 Sistemas semidinâmicos impulsivos gerados por EDOs generalizadas

Teorema 4.22 ( [12], Teorema 14.29). Seja Σ⊂ O × F₀^∗(Ω, h) e suponha que, para todo (u, F) ∈ Σ, Ω⁺(u, F) \(M× F₀^∗(Ω, h)) ̸= ∅. Então, Σ é minimal se, e somente se, Σ = Ω⁺(u, F) para todo (u, F)∈Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)).

Demonstração. ⋄ Prova de (⇒): Assuma que Σ seja minimal e tome (u, F) ∈ Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) arbitrariamente.

Sabendo que Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante, Ω⁺(u, F)⊂πe⁺(u, F) e Σ é fechado, temos

Ω⁺(u, F)⊂π_e⁺(u, F)⊂Σ = Σ.

Como Ω⁺(u, F)\(M× F₀^∗(Ω, h))̸=∅, Ω⁺(u, F) é fechado e Ω⁺(u, F)\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante (pelo Lema 4.9), a minimalidade de Σ implica Σ = Ω⁺(u, F).

⋄ Prova de (⇐): Agora, suponha que Σ = Ω⁺(u, F) para todo (u, F) ∈ Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)). Seja Θ⊂Σ tal que Θ\(M×F₀^∗(Ω, h))̸=∅, Θ seja fechado e Θ\(M×F₀^∗(Ω, h)) seja positivamente invariante. Tome (v, G) ∈ Θ\(M× F₀^∗(Ω, h)). Então (v, G) ∈ Σ\ (M× F₀^∗(Ω, h)), o que implica Σ = Ω⁺(v, G). Finalmente, como Θ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante e fechado, obtemos

Θ⊂Σ = Ω⁺(v, G)⊂πe⁺(v, G)⊂Θ = Θ, de onde segue que Σ = Θ, concluindo que Σ é minimal.

O próximo teorema atesta que conjuntos minimais e compactos são recorrentes. Sua prova foi inspirada na prova do [13, Teorema 4.17].

Teorema 4.23 ( [12], Teorema 14.30). Se o conjunto Σ⊂ O × F₀^∗(Ω, h) for minimal e compacto, então o conjunto Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) será recorrente.

Demonstração. Seja Σ um conjunto compacto e minimal. Suponha, por absurdo, que (u, F) ∈ Σ \(M × F₀^∗(Ω, h)) não seja um ponto recorrente. Então, existem ϵ > 0 e sequências (λ_n)n∈N, (s_n)n∈N, (t_n)n∈N ⊂R⁺ tais que λ_n ^n→∞−→ ∞ e

ϱ(πe(t_n, u, F),πe(s_n+τ, u, F))⩾ϵ, para quaisquer τ ∈[0, λ_n] e n∈N. (4.13) Note que πe(t_n, u, F),π_es_n+^λ₂ⁿ, u, F ∈ Σ para todo n ∈ N, uma vez que Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante. Como Σ é compacto, podemos assumir que existem (u₁, F₁), (u₂, F₂)∈Σ tais que

ϱ(πe(t_n, u, F),(u₁, F₁))^n→∞−→ 0 e ϱ π_e s_n+ λ_n 2 , u, F

,(u₂, F₂)

n→∞−→ 0.

Para continuar, vamos considerar dois casos, a saber, quandou₂ ∈/ M e quandou₂ ∈M.

Caso 1. u₂ ∈/ M.

Seja t ⩾ 0 tal que t ̸= ^P^kj=0φ((u₂)⁺j , F) para todo k ∈ N0, ou seja, t não é um momento de impulso. Usando a continuidade de π e I, obtemos δ > 0 de forma que, se ϱ((w, I),(u₂, F₂))< δ, então

ϱ(πe(t, w, I),π_e(t, u₂, F₂))< ϵ

3. (4.14)

Agora, seja n₀ ∈Ntal que ^λⁿ₂⁰ > t, ϱ(πe(t_n₀, u, F),(u₁, F₁))< ϵ

3 e ϱ πe s_n₀ + λn0

2 , u, F

,(u₂, F₂)

< δ. (4.15)

Propriedades recursivas 61 Por (4.13), (4.14) e (4.15), obtemos

ϱ(πe(t, u₂, F₂),(u₁, F₁))⩾ϱ π_e(t_n₀, u, F), π s_n₀ +λ_n₀

2 +t, u, F

−ϱ πe(t, u₂, F₂),πe t, π s_n₀ + λ_n₀ 2 , u, F

!!!

−ϱ(πe(t_n₀, u, F),(u₁, F₁))

> ϵ− ϵ 3 − ϵ

3 = ϵ 3.

Como t foi escolhido de modo arbitrário, podemos inferir que ϱ(πe(t, u₂, F₂),(u₁, F₁))> ϵ

3, para todot⩾0, com t̸=^P^k_j=0φ((u₂)⁺j , F),k ∈N0.

Por outro lado, se existirk ∈Ntal quet =^P^kj=0φ((u₂)⁺j , F), então poderemos escolher uma sequência (βn)n∈N ⊂R⁺ tal que

βn n→∞−→

j=0

ϕ((u2)⁺j, F) e ^X^k

j=0

φ((u2)⁺j , F)< βn<

k+1

j=0

φ((u2)⁺j , F). Pelo que foi constatado anteriormente, podemos afirmar que

ϱ(πe(βn, u2, F2),(u1, F1))> ϵ

3, para n ∈N. Fazendon → ∞, obtemos

ϱ πe

j=0

ϕ((u2)⁺j , F), u2, F2

,(u1, F1)

⩾ ϵ 3, posto que πe é contínua à direita. Dessa forma,

ϱ(πe(t, u2, F2),(u1, F1))⩾ ϵ

3, para todo t⩾0,

de onde podemos afirmar que (u1, F1) ∈/ πe⁺(u2, F2). Mas, como Σ é minimal, temos Σ =πe⁺(u₂, F₂) pelo Teorema 4.21. Então, (u₁, F₁)∈/ Σ, o que é uma contradição.

Caso 2. u₂ ∈M.

Pela condição (T), existe uma sequência (αn)n∈N ⊂R⁺, tal que αn

n→∞−→ 0 e ϱ π_e α_n+s_n+λ_n

2 , u, F

,(I(u₂), F₂)

n→∞−→ 0.

Como Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é positivamente invariante e (u, F) ∈ Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)), temos (I(u₂), F₂)∈Σ = Σ. Vamos, portanto, considerar o movimento πe(t,I(u₂), F₂) para todo t ⩾ 0. Sabendo que I(M)∩M = ∅, podemos atestar que I(u₂) ∈/ M. Seguindo as ideias do Caso 1, obtemos

ϱ(πe(t, I(u₂), F₂),(u₁, F₁))⩾ ϵ

3, para todot ⩾0,

implicando (u₁, F₁)∈/ πe⁺(I(u₂), F₂), o que também é uma contradição, já que Σ é minimal.

Pelo que provamos nos Casos 1 e 2 concluímos que (u, F) ∈Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) deve ser um ponto recorrente. Sendo (u, F) arbitrário, deduzimos que Σ\(M× F₀^∗(Ω, h)) é um conjunto recorrente.

62 Sistemas semidinâmicos impulsivos gerados por EDOs generalizadas

Como consequência imediata do Teorema 4.23, temos o seguinte resultado, com o qual finalizamos este capítulo e este trabalho.

Corolário 4.24. Seja (u, F)∈ O × F₀^∗(Ω, h). Se Ω⁺(u, F) é compacto e minimal, então Ω⁺(u, F)\(M× F₀^∗(Ω, h)) é recorrente.

Índice Remissivo

BV([α, β], X) denota o espaço vetorial das funções de variação limitada x: [α, β]→X, 24

G([c, d], X) denota o espaço vetorial das funções regradas definidas em [c, d] tomando valores em X, 26

R⁺={x∈R: x⩾0} , 38 N0 =N∪ {0}, 46

K([a, b], X) denota o conjunto de todas as funções U: [a, b] ×[a, b] 7→ X que são integráveis no intervalo [a, b], no sentido de Kurzweil, 20

var^βαx denota a variação de uma função x: [α, β]→X, 24

Axioma de Kamke, 38 calibre,18

classe

F(Ω, h),23 F0(Ω, h),23 F₀^∗(Ω, h),39 condição

(C_M), 45 (C_SM), 46 (Cφ),45 (C^e_M), 52 (T), 57 conjunto

ω-limite, 54 limite positivo, 50 minimal, 57

positivamente invariante, 49, 54 recorrente, 57

funcional de Lyapunov

associado ao sistema semidinâmico impulsivo, 51

função de Lyapunov

associada a uma EDO impulsiva, 54

integral de Kurzweil, 18,19 intervalo

marcado, 18 Lemade Cousin, 19

de Saks-Henstock, 20 marca, 18

movimento de (u, G), 47 normalização de G, 39 operador de impulso, 52 partição, 18

δ-fina,18 ponto

recorrente, 57 Princípio

da Escolha de Helly, 40

de Invariância de LaSalle, 51, 55 propriedade

semigrupo,39 sistema, 18

δ-fino,18

sistema semidinâmico global, 38, 47 impulsivo, 47 local, 38, 40 solução

de um problema de valor inicial, 23 de uma EDO generalizada, 22 Teorema

de Ascoli, 34

mudança de variável, 21 transladada G_t of G,38 órbita

positiva de (u, G), 47

positiva impulsiva de (u, G), 47 63

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