XXIV Congresso de Iniciação Científica
Análises de modos de alta ordem em vigas de Euler-Bernoulli
Carlos Danielli Netto, Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves, Campus de Bauru, Faculdade de Engenharia, Engenharia Mecânica, carlos-netto@hotmail.com
Palavras Chave: Modos de vibração, vigas Euler-Bernoulli.
Introdução
Muitas bibliografias fornecem expressões para as formas dos modos de vibrações em vigas Euler- Bernoulli, porém essas expressões fornecidas permitem a avaliação dos doze primeiros modos devido a questões numéricas. Como os cálculos das freqüências naturais das vigas utilizam de expressões trigonométricas e hiperbólicas, ao tratar-se de valores muito altos tais expressões resultam em aproximações fornecendo resultados imprecisos. Para contornar esse problema tais expressões serão reorganizadas de modo a evitar que resultem nessas imprecisões, e uma vez reorganizadas é possível calcular as freqüências naturais para valores maiores de modos de vibração.
Material e Métodos
De modo a se obter primeiramente resultados mais simplificados e de fácil compreensão, foi considerada uma viga alumínio de seção transversal circular e a partir de dados como o seu diâmetro, comprimento, densidade, módulo de Young, segundo momento de área, área da seção transversal, sua frequência angular, da ordem do modo e aplicando as condições de contorno, obtém- se o valor do número de onda (wavenumber). A partir deste, é possível calcular a freqüência natural e analisá-la graficamente.
todos esses procedimentos de cálculos e análises foram realizados através de programação em MATLAB para as equações tradicionais(doze primeiros modos) e para as mesmas equações, mas reorganizadas, permitindo a análise gráfica para maiores ordens de modos de vibração. Para esse estudo foi tomada como exemplo uma viga biengastada.
Resultados e Discussão
Pode-se observar que as tradicionais equações fornecidas pelos livros não são úteis para calcular a frequência natural da viga para modos de vibração de ordem superior a doze (Fig.1) necessitando ser reorganizadas para fornecerem dados mais precisos para análises (Fig.2).
Figura 1. Frequência natural para o vigésimo modo de vibração. Forma Tradicional
Figura 2. Frequência natural para o vigésimo modo de vibração. Nova forma
Conclusões
A análise dos gráficos evidencia a eficiência em se eliminar as aproximações geradas pelas equações tradicionais de modos de vibração a partir de sua reorganização, dessa maneira é obtido um novo gráfico sem as imprecisões anteriormente geradas.
Agradecimentos
Ao professor Paulo Gonçalves e à Faculdade de Engenharia de Bauru
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1 S.S. Rao, Mechanical Vibrations, Prentice Hall, 2008.
2 P.J.P. Gonçalves, M.J. Brennan, S.J. Elliott, “Numerical Evaluation of high-order modes of vibration in uniform Euler-Bernoulli beams”, Institute of Sound and Vibration Research, University of Southampton.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Clamped-Clamped
comprimento
Frequencia Natural
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Clamped-Clamped
comprimento
Frequencia Natural
