43 Figura 3.2 - Esquerda, capa de Mathematical Analysis of Logic, 1847; à direita, a primeira tabela de verdade binária, um trecho do livro George Boole. 46 Figura 3.3 – Proposição de eliminação, trecho de An Investigation of the Laws of Thoughts, Boole, 1854.
INTRODUÇÃO
Para tanto, o capítulo 02 será destinado a relatar e ordenar historicamente o desenvolvimento das calculadoras antes da descoberta da eletrônica, com algoritmos, ferramentas até chegarmos às calculadoras mecânicas. Por fim, no Capítulo 05, promoveremos uma abordagem prática do uso de calculadoras científicas em nosso dia a dia.
CALCULADORAS ANTES DA DESCOBERTA DA ELÉTRICA
As primeiras ferramentas – antes da automação
- Ábacos
- Ossos de Napier
- Réguas de Cálculo
Existem vários tipos de lâminas: logarítmicas, trigonométricas, para medição e conversão de temperatura, circulares, etc. Operação de divisão na régua de cálculo Pickett Microline 160-ES Fonte: Adaptação da régua de cálculo simulada Pickett Microline 160-ES;<.
A automação do cálculo – o surgimento das calculadoras mecânicas . 32
- A calculadora que inspirou uma era – Stafflwalze de Gottfried Leibniz . 34
Então Schickard, a pedido de Kepler, criou uma máquina capaz de cálculos automáticos e a chamou de Rechen Uhr ou relógio calculador em tradução livre. Sua calculadora mecânica, que ele chamou de Staffelwalze (Figura 2.6), influenciou uma geração de engenheiros e matemáticos e foi uma das precursoras das milhares de calculadoras mecânicas patenteadas nos séculos XIX e XX. Segundo Dalakov (2016i), a característica mais marcante do Stepped Reckoner (Figura 2.6) é o seu tambor, denominado roda de Leibniz, que possuía dentes paralelos de diferentes tamanhos.
1 Pascaline – calculadora considerada por muitos historiadores como a primeira calculadora mecânica, idealizada por Blaise Pascal. Segundo Dalakov (2016g) e Swade (2013), Charles Babbage (Inglaterra é considerado o pai da "computação" por ter planejado a primeira calculadora que realizava cálculos automáticos, projeto que chamou de Analytical Engine. Babbage considerava sua Analytical Engine uma máquina. aritmética universal, pois poderia lidar com praticamente qualquer possibilidade aritmética.
SÉCULO XX, O HOMEM DOMINA A TÉCNICA DE COMPUTAR
Pensadores
- George Boole (Grã Bretanha, 1815-1864) – o arquiteto de uma nova era
- John von Newmann (Império Austro-Húngaro, 1905-1957)
- Claude Shannon (Estados Unidos, 1916-2001)
Para ilustrar o impacto de suas publicações hoje, apresentamos a primeira tabela de verdade binária (Figura 3.2) projetada por Boole. Considerando que o primeiro livro ainda era uma tradução muito grosseira de suas ideias, em 1854 escreveu o livro Uma Investigação da Lei dos Pensamentos (Figura 3.3), no qual consolidou sua teoria, promoveu uma profunda analogia entre os símbolos, silogismos e álgebra , e afirmou que a lógica matemática é limitada a apenas dois valores, determinados por 0 e 1. Turing alcançou fama mundial quando, durante a Segunda Guerra Mundial, liderou o grupo de matemáticos responsáveis por decifrar a criptografia da máquina alemã de códigos Enigma.
A Máquina de Turing (Figura 3.4) é uma máquina computacional desenvolvida por Alan Turing, que consiste em um leitor e registrador de informações, com uma fita de papel que. Além disso, como mostra a Figura 3.4, a Rede de Turing ou diagrama de comportamento da máquina é muito semelhante aos fluxogramas atuais de operação de software, mostrando a capacidade preditiva de Turing mesmo em relação às calculadoras eletromecânicas. Em 1948, Shannon publicou um novo artigo, A Mathematical Theory of Communication (Figura 3.7).
A expansão da indústria da computação eletrônica
Shannon sugere que informações como palavras, imagens, sons, etc., foram enviadas por sinais lógicos em uma série de zeros e uns. No entanto, um computador como o EDVAC, o precursor de todas as calculadoras e computadores existentes hoje, realizou cálculos de multiplicação complexos em uma média de 2.900 microssegundos por dias sem erros ou travamentos, de modo que, apesar do custo de capital, as calculadoras eletrônicas foram uma revolução sem precedentes em campo de precisão e confiabilidade. Os circuitos integrados, ou CIs como são chamados, consistem na ligação de vários transistores em um único componente.
Influenciado pelo sucesso de Kilby, Robert Noyce (Estados Unidos) projetou o primeiro CI feito em uma única estrutura de silício sólido usando um método ainda usado hoje para fazer CIs, reduzindo drasticamente os custos de produção. As capacidades de um CI são quase ilimitadas, chegando até a atualidade, e possibilitaram a implementação de circuitos com complexidades até então inimagináveis em termos tecnológicos e colocaram a microeletrônica no centro do desenvolvimento mundial.
A Guerra das Calculadoras na década de 1970
Como a INTEL, outras empresas da Califórnia, como a norte-americana Rockwell Micro Electronics, Fairchild Semiconductors e Texas Instruments Mostek Corp e Jack Kilby's Texas Instrument também criaram CIs que podem executar as operações de uma calculadora. Desta forma, o consumo de energia das calculadoras foi drasticamente reduzido até que a Nippon Calculating Machine Corp. lançou a calculadora Busicom LE-120A "HANDY-LE" em fevereiro de 1971, considerada a primeira calculadora eletrônica portátil, operando com 4 baterias, utilizando CIs desenvolvidos pela Mostek, ao preço de $ 395. Sabendo que a Texas Instruments, líder no mercado de CI e convencida de seu domínio do mercado, continuaria a lançar calculadoras caras, os engenheiros da Sharp Corp. Estados Unidos. , e comprou um grande lote de ICs.
O mesmo aconteceu com a Casio Corp e a Hitachi Corp, que entregou a primeira calculadora ao mercado japonês a um custo inferior a US$ 50 (Figura 3.10). Em 1974, quando comprou um lote de CIs obsoletos da Texas Instruments Sinclair, desenvolveu a Sinclair Scientific (Figura 3.12), uma calculadora que usava 340 códigos de programação e um chip capaz de realizar apenas as quatro operações básicas. Graças aos CIs, transistores, telas de cristal líquido e LEDs de baixa potência, algumas calculadoras conseguem funcionar com painéis fotovoltaicos.
A MATEMÁTICA POR TRÁS DAS CALCULADORAS ELETRÔNICA
Adição
Na figura 4.1, apresentamos uma comparação entre os algoritmos de adição nos sistemas decimal e binário, executando a soma 6 + 5. Com o postulado 4 da adição (conforme tabela 4.2), aplicar o operador + à soma dos valores numéricos resultaria erro, pois não haveria alteração no algarismo significativo ao realizar a soma 12 + 12. Respeitando o quarto caso, o operador or exclusivo determina que a soma 12 + 12 é igual a 02, possibilitando a operação da soma por binário máquinas através do algoritmo descrito na figura 4.1.
Um meio somador só pode adicionar um número de 1 dígito, pois ignora o valor de transporte de 10 do bit anterior. Um somador completo permite adicionar mais de 1 dígito levando em consideração os valores de entrada e os valores de carry do bit anterior. 9 Um meio-somador converte dois bits de um número de entrada em dois valores, chamados de saída xi XOR yi e saída xi AND yi.
Subtração
Para um melhor entendimento deste algoritmo, iremos ilustrar seu funcionamento em uma máquina hipotética de subtração decimal utilizando os mesmos conceitos de uma máquina binária. No exemplo acima (gráfico 4.7), trabalhamos a subtração 0 – 5 na base decimal e ao invés de indicar o valor -6, trabalhamos como um computador, “pegando emprestado” a seguinte casa decimal, assumindo que existe uma diferença significativa valor que nos permite tal operação. O valor do carry-in será 10 vezes maior porque vem do dígito superior, enquanto o carry-out corresponderá a 1 unidade de valor emprestada do dígito superior.
No caso acima (Tabela 4.8), se aplicarmos o mesmo procedimento, o valor de carry-in será igual a 102 , pois semelhante ao procedimento no sistema decimal, o valor emprestado é 2 vezes maior que vem do dígito superior . Isso se deve ao fato de que, com esse algoritmo, na verdade subtraímos:. ideia de "-5 complementar" apresentada para o sistema decimal, mas agora aplicada no sistema binário. É esse processo de "empréstimo" que justifica a funcionalidade do algoritmo de complemento de 2. (Dada uma calculadora de 8 bits).
Multiplicação
Divisão
Portas lógicas
Dessa forma, os blocos lógicos, ou portas lógicas, são indicados pela operação binária que executam. Abaixo temos uma figura de blocos lógicos elementares para álgebra binária (Figura 4.5), utilizados pela eletrônica para processamento de circuitos eletrônicos.
O Algoritmo CORDIC
Giansante coloca de forma mais simples (2014, p. 5) “CORDIC é baseado, em ambos os sentidos, na rotação e/ou deslocamento de um ponto (ou vetor) arbitrariamente escolhido para um ponto em que se deseja chegar a um determinado sistema de informações.coordenadas. Segundo Sultain (2011) e Giansante (2014), temos um exemplo (figura 4.6) da operação do algoritmo CORDIC para determinar um ponto P, considerando a operação no sistema de coordenadas circulares, no modo Rotacional. Ressalte-se que para o caso do sistema hiperbólico, devido a sua existência, aceitam-se as mesmas considerações, com a ressalva de que os valores de k se limitam a 1≤ < , por se tratar de um sistema de coordenadas característico.
Exponencial e Logaritmos em CORDIC – Sistema de Coordenadas Hiperbólicas Além das funções trigonométricas, o CORDIC permite o cálculo de funções exponenciais e logarítmicas alterando coordenadas circulares para coordenadas hiperbólicas. O CORDIC permite chegar ao valor desejado usando conceitos semelhantes aos do sistema de coordenadas circulares, mas o que se visa é a redução a um argumento vetorial que realiza as pseudorotações hiperbólicas (Figura 4.8). CORDIC no sistema de coordenadas hiperbólicas executa funções exponenciais avaliando números descritos no formulário através da expressão.
Linguagem de Programação
A chave para o desenvolvimento de linguagens de programação foi decodificar uma palavra em uma string binária. Até que, em 1957, a IBM lançou o FORTRAN, a primeira linguagem de programação com instruções de "alto nível"12, que incluía um compilador13. Um nível alto indica que a linguagem de programação está mais próxima da simbologia utilizada pelo programador, por meio de palavras e códigos amigáveis.
Nível baixo indica que a linguagem de programação está mais próxima de como a máquina funciona, por exemplo, uma série de zeros e uns. Dentre as diversas linguagens de programação, C, Java e Pascal merecem destaque pela quantidade de outras linguagens baseadas em sua estrutura. Linguagens de programação e sistemas operacionais são de fato o que determinam as novas tecnologias a serem produzidas.
O USO DA CALCULADORA NO ENSINO BÁSICO
Exercícios motivadores do uso da calculadora
- Sistema de numeração sexagemal
- Exponenciais
- Logaritmos
- Números trigonométricos
A soma dos números trigonométricos que naturalmente acarreta a teoria matemática que a justifica tem uma alta carga de abstração e pode contar com o auxílio de calculadoras e programas de computador que ilustrem a sua justificação, com as devidas alterações didáticas que lhe dão fundamento. Os exemplos a seguir (Tabela 5.3) mostram alguns exercícios de vestibular aplicados antes da popularização das calculadoras que exigiam cálculos que hoje são facilmente realizados por máquinas. O exercício a seguir (Tabela 5.4) propõe o cálculo de logaritmos através de suas propriedades elementares, pois nos demais exercícios iremos comparar o uso da calculadora para execução e ver a formidável praticidade apresentada por esta máquina:.
Este exercício (caixa 5.4) é apenas uma introdução a um conceito mais abstrato da teoria logarítmica, a operação de troca de base logarítmica. 16 O site IES MATH fornece um aplicativo formidável que ilustra visualmente como ocorre o processo de soma do arco e como os valores de seno e cosseno se comportam em relação a essa soma. Vejamos então uma das formas de proceder, aplicando a propriedade de somar números trigonométricos, que na verdade é a teoria matemática subjacente a este cálculo, às alternativas C e D, que questionam num operador com conhecimentos mais avançados de trigonometria.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
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