Condução de Calor Unidimensional em Esferas

de Calor Vicente Luiz Scalon

⋅ c

⋅ ∂ T

∂ t



E˙_Ac

= 1 r

∂

∂ r  ^{k⋅ r}

^{∂ ∂ T r}  ^ _r

_sin ¹

_ ^{∂  ∂}  ^{k ∂ ∂  T}  ^ _r

_sin ¹ _ ^{∂ ∂}  ^{k⋅ sin  ∂  ∂ T} 



E˙e− ˙Es

 ˙ q 

E˙_G

(2.23)

Condução de Calor

Unidimensional em Esferas

●

Regime Estacionário Equação geral

●

Sem geração de Energia

●

Fluxo de Calor unidimen- sional (radial)

d

d r  ^{k⋅ r 2 d T d r}  ^{= 0}

de Calor Dr. Vicente Luiz Scalon

Solução geral da Equação Unidimensional com Temperaturas de Parede Conhecidas

 ∫ _{d r} ^d  ^{r 2 d T d r}  ^{dr = ∫ 0 dr C 1}

d T

d r = C ₁ r ²

∫ ^{d T} _{d r} ^{dr =C 1 ⋅} ∫ ¹

r ² dr C ₂  T  r =− C ₁

r C ₂

Condução de Calor em Geometrias Cilíndricas resulta em perfil hiperbólico de temperaturas d

d r  ^{r 2 d T d r}  ⁼⁰

Considerando k constante:

de Calor Vicente Luiz Scalon

Solução para o caso de Casca Esfé- rica com Temperaturas Conhecidas

T

T

r = r

 T  r

=T

r

 T  r

=− C

r

 C

C ₂ =T ₁ C ₁ / r _i (I)

r = r

 T  r

=T

 T  r

=− C

r

C

 T

=− C

r

 T

 C

r





C₂(I)

r _i r _e

 T

−T

=C

⋅  ^{r 1}

^{− r 1}



C

= T

−T

1

r − 1

T  r = T ₁  T ₂ − T ₁ r

⋅  ^{1 − 1} 

C

= T

 T

− T

1

r

− 1 r

⋅ 1

r

de Calor Dr. Vicente Luiz Scalon

Cálculo do Fluxo de Calor

Com base na Lei de Fourier :

q = − k A ∂ T

∂ r = − k A d

d r ^ [ ^{T 1   1 / r T i − 2 −T 1 1 / r e  ⋅  r 1 i − 1 r } ]

T r 

q =− 4 ⋅⋅ k

 1 / r _i −1 / r _e  ⋅T ₂ − T ₁ = 4 ⋅⋅ k

 1 / r _i −1 / r _e  ⋅  T ₁ − T ₂ 

 T

q = − k ⋅  A

4 ⋅⋅ r

⋅ T ₂ −T ₁ 1 / r _i − 1 / r _e

d

d r  ^{− 1 r} 



1 / r

=− k⋅ 4 ⋅⋅ r ² ⋅ T ₂ −T ₁ 

[ 1 / r _i − 1 / r _e ]⋅ r ²

de Calor Vicente Luiz Scalon

Definição de Resistência Térmica em Cascas Esféricas

Do apresentado anteriormente é fundamental pode-se definir o conceito de resistência térmica:

q =  T

R _term  R _term =  T q Para o caso de Cascas Esféricas:

R _term =  T

q =  T

4 ⋅⋅ k

 1 / r _i −1 / r _e  ⋅ T

R _term = 1

4 ⋅⋅ k  ^{r 1 i − r 1 e} 

de Calor Dr. Vicente Luiz Scalon

Observações importante sobre geometrias cilíndricas

●

Não existe condução pura na direção radial em geometrias esféricas não vazadas.

●

soluções envolvendo condições de contorno de 2ª e 3ª espécies são resolvidos através de circuitos térmicos.

●

apenas o conhecimento do fluxo de calor nas duas faces não permite a solução do

problema

de Calor Vicente Luiz Scalon

Geometria Resistência Térmica

Plana

Cilíndrica Esférica

Convecção

Tabela Resumo das Resistências Térmicas

R _term = ln  r _e / r _i  2 ⋅⋅ k⋅L R _term = 1

4 ⋅⋅ k  ^{r 1 i − r 1 e} 

R _term = L k⋅ A

R _term = 1 h ⋅A

q =  T

R _term