O objetivo de pesquisa do trabalho intitulado Geometria e Demonstração: Contribuindo para a Formação de Professores das Séries Finais do Ensino Básico é demonstrar a importância da geometria. Este trabalho dedica-se ao relevante contributo que o ensino da geometria tem para a educação, nomeadamente no que diz respeito ao ensino primário. E por fim, mostrando o ensino atual de geometria, apresentamos o documento oficial, Lei de Diretrizes e Fundamentos (LDB 9394/96).
Apresentamos também como as teorias de Van Hiele e De Villiers (1956 - ) influenciaram o ensino de Geometria.
História da Geometria
Em 1829, o matemático Lobachevsky negou o quinto postulado de Euclides, dizendo que pelo menos duas retas paralelas passam por um ponto fora de uma reta. Riemann admitiu que através de um ponto fora de uma linha reta não se pode traçar uma linha reta paralela à linha reta dada.
A Geometria através do tempo
- Geometria Subconsciente
- Geometria Científica
- Geometria Pré-Helênica
- Geometria Demonstrativa
- Geometria grega primitiva
- Geometria grega posterior
- O desvio através da Índia e da Arábia
- A volta da geometria à Europa Ocidental
- Geometria projetiva
- Geometria analítica
- Geometria diferencial
- Uma visão moderna da Geometria
Outro geômetra grego mencionado no Compêndio Eudêmico de Proclo é Pitágoras, considerado uma continuação da Geometria Demonstrativa de Tales de Mileto. A contribuição mais importante dos antigos gregos para a matemática foi a criação do modelo axiomático e a organização da Geometria neste modelo. 3 O Compêndio Eudêmico de Proclo consiste em um breve relato do desenvolvimento da Geometria Grega desde os tempos mais primitivos até Euclides.
A geometria projetiva foi ressuscitada através de Poncelet, que publicou sua principal obra em 1822, inaugurando o grande período da geometria projetiva. A invenção da geometria analítica foi creditada aos gregos, especialmente a Apolônio, por usarem coordenadas e interpretação geométrica. Outros, entretanto, atribuíram a Nicole Oresme a invenção da geometria analítica para representar leis gráficas que comparavam a variável dependente com a independente.
A geometria diferencial começou no início do século 18 com aplicações de cálculo e geometria analítica. O segundo período da geometria diferencial foi inaugurado por Carl Friedrich Gauss, que introduziu curvas e superfícies através de representações paramétricas. Com o advento da geometria analítica, o espaço foi considerado como um conjunto de pontos com estudo de suas propriedades.
O Ensino da Matemática no Brasil
A partir da década de 1940, em São Paulo, os estudos matemáticos se expandiram tanto em qualidade quanto em quantidade. Em 1960, as universidades do Rio de Janeiro e de São Paulo iniciaram seus cursos de pós-graduação em matemática, e o primeiro curso de mestrado foi criado no Instituto Tecnológico da Aeronáutica – ITA. No início da década de 1970 houve um incentivo do governo com um programa de recursos financeiros para estudantes de pós-graduação.
No Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo (IFSP) foi implantado entre 2000 e 2008 entre vários cursos, dentre esses cursos alguns são universitários, o curso Diploma de Matemática teve início em 2008 e tem como objetivo proporcionar formação de professores, capacitando ele compreender a matemática dentro da realidade educacional brasileira nos contextos social, cultural, econômico e político. As breves considerações deste capítulo sobre a História da Matemática no Brasil tiveram como objetivo explicar fatos relevantes sobre a educação brasileira em relação à matemática. No tópico a seguir relataremos como se desenvolveu o ensino de matemática na Educação Básica e citaremos os PCN como referência.
Matemática Atual Na Educação Básica
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN/97)
O ensino de geometria visa que o aluno desenvolva outras formas de compreensão em relação ao ambiente em que é empregado, faça relações entre o concreto e o abstrato e compreenda a matemática com mais clareza desde o conhecimento dedutivo até o específico. Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino de geometria é fazer com que o aluno perceba e aprecie sua presença nos elementos da natureza e nas criações do homem. Isso pode ser feito através de atividades onde ele possa explorar formas como flores, elementos marinhos, colmeias, teias de aranha ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura ou mesmo em desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos. etc.
Ensinar geometria oferece ao aluno outras oportunidades de aprender com o concreto, realizar a interdisciplinaridade e assim observar elementos do seu cotidiano e do mundo em que vive. Os PCN (1997) foram desenvolvidos como uma proposta educacional para dar suporte de qualidade em todas as áreas do ensino fundamental. Segundo os PCN (1997), a geometria traz novas áreas de aprendizagem ao aluno, aprofundando seus estudos e descentralizando apenas conceitos aritméticos.
Não se pode ignorar o relevante documento oficial PCN (1997), que foi elaborado como base para professores e cientistas promoverem a educação brasileira. O tópico a seguir descreve o ensino atual de geometria com referência à LDB (9394/96) e cita alguns artigos que tratam desse tema.
O Ensino Da Geometria Na Atualidade
Lei de Diretrizes e Bases (LDB 9394/96)
1. Os currículos referidos no caput devem abranger obrigatoriamente o estudo da língua portuguesa e da matemática, o conhecimento do mundo físico e natural e das realidades sociais e políticas, especialmente no Brasil. 5º De acordo com o § 1º, os currículos deverão ser unânimes quanto às disciplinas declaradas e essenciais na educação brasileira. Antes do advento da matemática moderna6, o ensino da geometria era caracterizado por demonstrações; hoje o modelo anterior foi eliminado e as suas deficiências permanecem.
O estudo da Geometria é necessário para o desenvolvimento do aluno, pois possibilita o desenvolvimento do pensamento geométrico e a leitura interpretativa do mundo. Segundo Santos (2013), em pesquisa realizada em Itabaiana (SE) no Curso de Licenciatura da Universidade Federal de Sergipe (UFSE) sobre como concebem o ensino de Geometria nos 6º e 7º anos do Ensino Fundamental II, é claro que os problemas enfrentados pelos alunos são semelhantes. Os resultados apresentados nos questionários da pesquisa em Itabaiana (SE) revelaram uma lacuna no conteúdo de Geometria.
A obra de Euclides é apresentada em um conjunto de 13 volumes, que são seus estudos somados aos trabalhos de matemáticos que o precederam. Com o passar do tempo, novos teóricos contribuíram para estudos em geometria que merecem destaque. Van Hiele e Michael De Villiers são dois matemáticos que estudaram o ensino e aprendizagem da geometria e a seguir serão observadas suas teorias.
Van Hiele
A teoria de Van Hiele afirma que o aprendizado da geometria segue uma progressão de cinco níveis. Em cada nível, o professor sugere tarefas adequadas para os alunos avançarem, tanto em nível quanto em pensamento. A tese de Pierre explica por que os alunos tinham dificuldade em aprender geometria; A tese de Dina sobre a sequência do conteúdo de geometria inclui um experimento pedagógico.
Os primeiros quatro estágios da teoria de Van Hiele são considerados os mais importantes para a geometria ensinada no ensino médio. Dizemos que a teoria de Van Hiele tem duas partes: a primeira explica o desenvolvimento do pensamento geométrico do aluno através dos níveis; o outro diz ao professor como ajudar seus alunos a alcançarem níveis mais elevados. Uma rede de relacionamento de nível 3 só pode ser estabelecida de forma significativa quando uma rede de relacionamento de nível 2 for devidamente estabelecida.
Os alunos são capazes de dizer se uma determinada figura é um retângulo ou não, mas as razões apresentadas serão apenas de percepção visual. A teoria de Van Hiele é utilizada para facilitar a compreensão do conteúdo de Geometria, avançando assim no ensino e na aprendizagem. 8 Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para ensinar e aprender matemática em vários níveis educacionais (do ensino fundamental ao universitário).
Michael De Villiers (1956 - )
Teoria de Michael De Villiers
- A Demonstração como processo de verificação
- A Demonstração como processo de explicação
- A Demonstração como processo de descoberta
- A Demonstração como processo de sistematização
- A Demonstração como processo de comunicação
- A Demonstração como desafio intelectual
- Geometria Dinâmica
O valor da demonstração de Wiles não é o que ela mostra, mas o que ela torna acessível, o que permite." novas buscas de aprendizagem que levam a significados e desafios que contribuem para o processo de sistematização. É importante ressaltar que alguns professores de matemática assumem especial importância na demonstração como um pré-requisito para acreditar e interpretar proposições matemáticas.
Alguns críticos da abordagem dedutiva acreditam que muitos teoremas são descobertos por procedimentos intuitivos sem chegar ao processo de demonstração. Segundo Néri (n.d.), geometria dinâmica é um termo usado para denotar um método interativo de ensino e aprendizagem de geometria com a ajuda da tecnologia. É um software gratuito de matemática dinâmica desenvolvido para ensinar e aprender matemática do ensino fundamental ao universitário.
Cabri Géomètre: É um software de construção geométrica desenvolvido pelo Instituto de Informática e Matemática Aplicada de Grenoble (França), com a colaboração de cientistas de TI. Segundo Bongiovani (s.d) através da Geometria Dinâmica podemos observar as diferenças entre dois conceitos Design e Build. Com o auxílio do software Geometria Dinâmica é possível realizar construções geométricas que facilitarão o entendimento da parte teórica e solução de atividades.
Considerações sobre Van Hiele e Michael De Villiers
Este trabalho foi realizado examinando artigos científicos e bibliográficos e propondo uma série didática para o ensino de uma disciplina de geometria. Esta Série Didática tem como objetivo ajudar os alunos a aprender geometria, com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos. Por fim, espera-se que, à medida que a Sequência Didática avança, as demonstrações possam dar suporte aos alunos, promovendo uma aprendizagem de qualidade relacionada ao ensino de geometria.
Finaliza com a proposta da Sequência Didática para fundamentar o ensino, utilizando demonstrações e suas especificidades. Segundo Amaral (2013), Sequência Didática é uma forma de ensino em que o conteúdo a ser abordado é focado em etapas ou etapas, tornando assim a aprendizagem mais eficiente. A Sequência Didática utilizada para esta pesquisa teve como objetivo colaborar com o trabalho docente aplicando conceitos que auxiliam o ensino de Geometria Plana por meio de demonstrações.
No que diz respeito ao aluno, pretende-se promover uma aprendizagem eficaz através de uma abordagem significativa, que elenca os temas: conceitos e teoremas primitivos, axiomas, postulados, ângulos opostos ao vértice e congruência. As etapas a seguir da Série Didática fazem parte de uma proposta de atividade a ser aplicada a esses alunos. A atividade é avaliada através de atividades e/ou outras ferramentas que permitem avaliar o conteúdo proposto.
Análise da Sequência Didática
Disponível em www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_23/iniciacao.pdf, consultado em 20 de fevereiro de 2014. Disponível em www.portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro01.pdf, acessado 8 de outubro de 2012. Disponível em www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1734-8.pdf, acesso em 13 de outubro de 2014.
Disponível em www.ei.sanken.osaka-u.ac.jp/~isotani/mestrado/html/node22.html, acessado em 7 de outubro de 2014. Disponível em www.degraf.ufpr.br/artigos_graphica/OENSINO.pdf, leia 14 Abril de 2014. Disponível em www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/44-4.pdf, acessado em 8 de abril de 2014.
Disponível em www.infoescola.com/matematica/geometria-plana-conceitos-historicos-e-calculo-de-areas, consultado em 30 de dezembro de 2013. Disponível em www.mat.ufrgs.br/~ppgmat/grupo/matematica. html, consultado em 8 de abril de 2014. Disponível em www.mzone.mweb.co.za/residents/profmd/homepage.html, consultado em 1 de setembro de 2013.
