Iluminação Global

http://www.di.uminho.pt/uce-cg/

Iluminação e FotoRealismo

Iluminação Global

Luís Paulo Peixoto dos Santos

Competências

GERAIS :

• Relacionar os vários métodos de iluminação global com o modelo geral sustentado pela equação de rendering, inferindo quais os fenómenos de iluminação modelados;

• Projectar, implementar e avaliar soluções para novos problemas de iluminação por recombinação de soluções conhecidas;

• Reconhecer as limitações funcionais e/ou de desempenho associadas a cada algoritmo de iluminação global;

ESPECÍFICAS :

Conteúdo

• Introdução

– Métodos com e sem Bias – Partição do integral

• A Cache de Irradiância

• Iluminação Global Interactiva

Biased vs. Unbiased

• Os métodos de Monte Carlo sem bias:

– garantem a convergência para soluções correctas com o aumento do nº de amostras – garantem que a solução obtida é correcta

Mas

– Exigem um nº de amostras elevado, logo elevado tempo de computação

• Os métodos de Monte Carlo com bias:

– Convergem mais rapidamente (menos amostras) para uma solução visualmente agradável

Mas

– Não há garantias de que esta solução seja correcta

I

N I 



lim





 

 I I

Nlim

Partição do Integral

• O integral de transporte de luz pode ser particionado em vários integrais, cada correspondendo a vários subdomínios disjuntos, sendo cada integral resolvido separadamente, eventualmente recorrendo a abordagens muito diferentes





 f p L p d i

p

L_r( _r) _r( ,_r,_i) ( _i)cos_{i }

cos

) (

) , , (

cos ) (

) , , (

cos ) (

) , , ( )

(

_ _



























d

indirecta i

s

indirecta i

directa i

d p

L p

f

d p

L p

f

d p

L p

f p

L

i i

id i r r

i i

is i r r

i i

d i r r

r r

































Exemplo:

// L directa

// L indirecta especular // L indirecta difusa

• O único requisito é que os subdomínios sejam disjuntos, isto é, que nenhuma direcção

Partição do Integral

DIRECTA ESPECULAR INDIRECTA DIFUSA INDIRECTA

Partição do Integral

Partição do Integral

• Iluminação directa

– Eventualmente, calculada por integração de Monte Carlo – Apresenta descontinuidades (altas frequências)

• Iluminação especular indirecta

– Calculada deterministicamente (cuidado: glossiness) – Apresenta descontinuidades (altas frequências)

• Iluminação difusa indirecta

– Não direccional: Integração de Monte Carlo requer amostragem de um grande número de direcções

– Varia suavemente ao longo das superfícies (baixa frequência)

CACHE DE IRRADIÂNCIA

Greg Ward, "A Ray Tracing Solution for Diffuse Interreflection", Computer Graphics, 22(4), 1988 Greg Ward and Paul Heckbert, "Irradiance Gradients", 1992

Cache de Irradiância

P1 – Calcular irradiância amostrando a semi-esfera (Monte Carlo)

P2 – Calcular irradiância amostrando a semi-esfera (Monte Carlo)

P3 – Se dentro da área de interpolação de P1 e/ou P2 então

Interpolar!

p3

Cache de Irradiância: Cálculo

• Irradiância – fluxo radiante incidente por unidade de área

– Calcula-se a partir da radiância incidente como:

 

 

 





i i

i i

s i

i

i

p

p L d N

p L p

E

1

( )

cos )

( cos 1

) (

)

( 



 





• Usando amostragem estratificada pesada com o cosseno (importância):





















  





1 0

1 0

, 2 1 1

)

* ( )

(

* 2 , sin

) , (

) cos (

M j

N k

k j i

i

p N L

p M E

N k M

j p

 

 

 





 

Cache de Irradiância: Cálculo

• A irradiância num ponto p da cena pode ser calculada:

– Extensivamente: se não houver nenhum valor de irradiância calculado previamente para outro ponto numa vizinhança válida de p

– Por Interpolação: se forem encontrados valores de irradiância calculados previamente para outros pontos numa vizinhança válida de p

• Aos valores de irradiância calculados extensivamente chamamos amostras

• As amostras têm que ser armazenadas nalguma estrutura de dados para uso posterior

• A esta estrutura de dados chamamos cache de irradiância

Cache de Irradiância: Armazenamento

• As amostras têm que ser guardadas no espaço 3D para poderem ser reutilizadas

• Não são armazenadas com a geometria (superfície onde foram calculadas) para permitir reutilização com outras superfícies vizinhas

• Devem ser guardadas numa estrutura que ordene o espaço 3D para permitir procuras rápidas de várias amostras numa vizinhança espacial

• Usam-se octrees ou kd-trees

Cache de Irradiância: Vizinhança

• Cada amostra de irradiância armazenada na cache corresponde ao valor da irradiância calculada num ponto pi do espaço. A esta amostra chamamos E(pi)

• Para calcular a irradiância E(p) num ponto p procura-se primeiro na cache quais as amostras E(pi) que podem ser usadas

• A decisão de se um ponto pi pode ser usado para estimar a irradiância em p baseia-se na estimativa do erro incorrido por usar E(pi) em vez de calcular E(p)

• Esta estimativa do erro é um limite máximo e é representada por

• O erro máximo aceitável, a, é um parâmetro usualmente fornecido pelo utilizador

• O ponto pi só é usado para estimar E(p) se

) , (p p_i



a p

p, _i) 



Cache de Irradiância: Vizinhança

pi

p i

i

i

N N

R p p p

p    

 1

) ,

 (

• A estimativa de erro depende de:

• - distância euclidiana entre p e p_i

• - distância média das superfícies a p_i;

calculada como média harmónica durante o processo de amostragem da semiesfera.

• - cosseno entre as normais das superfícies em p e p_i

p

p  R

pi

p

N

N 

Cache de Irradiância: Interpolação

• O valor de E(p) é dado pela média pesada dos E(pi) determinados como estando dentro de uma vizinhança válida;

• Os pesos a usar nesta média pesada são o inverso da estimativa de erro:

) , 1 (

) , (

) , (

) ( ) , ) (

(

i i

i i i

p p p

p

p p

p E p p p

E

 







  

Cache de Irradiância: Rendering

• Conhecido o valor da irradiância E(p), o valor da radiância reflectida de forma difusa na direcção do observador é dada por

) (

* )

_

( p E p

L

 

 

• Este método aplica-se apenas a superfícies difusas, pois E(p) não contem qualquer informação sobre a direcção de incidência da radiância.

• Os valores de podem ser partilhados entre frames onde a posição do observador muda, pois respeitam apenas a informação difusa

Nota: a geometria, materiais e iluminação, no entanto, têm que ser fixas

, sendo ρ o coeficiente de reflexão difusa

Cache de Irradiância: Parâmetros

• O algoritmo da cache de irradiância usualmente aceita os seguintes parâmetros;

– maxdepth – até que profundidade deve continuar a recursividade – maxerror – qual o erro máximo aceitável no processo de interpolação

quanto menor mais amostras serão calculadas

– nsamples – quantas amostras usar para amostrar a componente difusa indirecta da semiesfera (nº de raios a disparar por cálculo extenso da irradIância)

quanto maior mais raios serão disparados por amostra

Cache de Irradiância:

• As amostras concentram-se nas zonas onde a distância do ponto p_i às

Cache de Irradiância: Defeitos visíveis

• O resultado do processo de interpolação é claramente visível

• O processo de interpolação aqui descrito é

linear; não tem em consideração variações com translações ou rotações

• Durante o processo de amostragem da semiesfera é possível estimar como varia a irradiância com as translações e rotações:

cálculo dos gradientes

• Estes gradientes podem ser usados para fazer interpolação de 2ª ordem obtendo uma

DIFUSA INDIRECTA

Cache de Irradiância: Defeitos visíveis

• A imagem é percorrida de forma ordenada, linha a linha

• Inicialmente a cache está vazia

• Como resultado as amostras são calculadas de forma ordenada também, resultando em muitas extrapolações: utilização de apenas uma amostra para estimar E(p)

• Uma primeira passagem pelo plano da imagem, processando apenas alguns dos pixeis

(subamostragem), permitiria inicializar a cache, reduzindo o número de extrapolações

DIFUSA INDIRECTA

ILUMINAÇÃO GLOBAL INTERACTIVA

Fundamentos

CÁLCULO DAS INTERREFLEXÕES DIFUSAS PRÉ-PROCESSAMENTO

1. Seguir um número reduzido de trajectos a partir das fontes de luz

2. Construir fontes de luz virtuais (VPL – Virtual Point Light sources) nos pontos de intersecção

// representam a distribuição da radiância indirecta na cena RENDERING TIME

1. Incluir estas fontes de luz (VPL) explicitamente no integral para cada ponto

Keller, A; “Instant Radiosity”; Proc. of SIGGRAPH’97, 1997

Wald, Kollig, Benthin, Keller, Slusallek; “Interactive Global Illumination using fast ray tracing”; 13th

Integração sobre áreas

• Radiância reflectida definida sobre ângulos sólidos:

• Relação entre ângulo sólido e área

• Equação de Rendering definida sobre áreas:







 _{r r r i i i i}

r p f p L p d

L (  ) ( , , ) (  )cos 

2 2

' cos

r

dA r

d  dA^  ⁱ













A p

i i

r

r dA

p r p

L p p

p f p

p L

2

2 2 1

0 1

2 0

1

' cos )cos

( ) (

)

(  

p₀ p₂

p₁ ω_r θ_i θ_i’ω_i



 ^{i i}

p r p

G cos cos '

)

( _{1 2}  ₂ 

Pré-Processamento:

• Qual a contribuição deste trajecto, P(p6), para a radiância incidente em p0?

1. Seleccionar estocasticamente um ponto na superfície da fonte de luz :

p₀

p₁

p₂

p₃

p₄

p₅

p₆

...

) (p₆  P

) (

) ) (

(

6 6

6 p p

p p L

L

A

 e

Pré-Processamento:

p₀

p₁ p₃ p₅

p₆

1. Seleccionar estocasticamente uma direcção de saída ω6 e determinar p5 disparando um raio de p6 na direcção ω6 (ω6=p5- p6=p6→p5 )

2. A radiância incidente em p5 devido a p6 é

3. A contribuição da VPL em p5 para um ponto p qualquer da cena será a sua radiância incidente vezes a BRDF:

) (

cos

) (

) ) (

(

5 6

5 6

5 6

6

5 p p p p p

p p

p L p

L

A e



 







cos ) (

) ) (

( L p⁶ p⁵ f p⁶ p⁵ p ⁵

p p

L   ^e  ^r   

p₂ p₄

Pré-Processamento:

p₀

p₁ p₃ p₅

p₆

1. Seleccionar estocasticamente uma direcção de saída ω5 e determinar p4

disparando um raio de p5 na direcção ω5

2. A radiância incidente em p4 devido a p6 é

) (

cos )

(

cos ) (

) (

) ) (

(

4 5

4 5

6

5 4

5 6

6 5 6

6

4 p p p p p p

p p

p f p

p

p p

p L p

L ^r

A e









 











p₂ p₄

Pré-Processamento:

p₀

p₁ p₃ p₅

p₆

1. Seleccionar estocasticamente uma direcção de saída ω4 e determinar p3 disparando um raio de p4 na direcção ω4

2. A radiância incidente em p3 devido a p6 é

Generalizando a radiância incidente em pi-l devido a um ponto pi na superfície de uma fonte de luz e a um trajecto de comprimento l é dada por:

) (

cos )

(

cos ) (

) (

cos ) (

) (

) ) (

(

3 4

3 4

5

4 3

4 5

5 6

5 4

5 6

6 5 6

6

3 p p p p p p

p p

p f p

p p

p p

p f p

p

p p

p L p

L ^{r r}

A e















 















p₂ p₄

cos cos ) ) (

(p p ^{l 1} f p p p

L ^       

   



Rendering: Amostragem da VPL

• Determinar ponto p1 de intersecção de raio primário

• Somar a contribuição de TODAS as VPL:

onde:

é a radiância incidente em pi associado à VPL i (dada pela expressão do acetato anterior)

é a BRDF em pi

corresponde ao termo geométrico entre p1 e a VPLi

corresponde à visibilidade entre p1 e VPLi calculada disparando um shadow ray

p₀

p₁ p₃ p₅

p₆

p₂ p₄

 





 ^VPL r

N i

i i

i i

i i

r VPL

VPL f p p p V p VPL G p p f p p p L VPL

p N p

L

1

1 1

1 1

0 1

0

1 1 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )

) (

) (VPL_i L

) ,

(p₁ VPL_i V

) (p₁ p_i

G 

)

(p ₁ p p₁

fr _i  _i 

Amostragem da VPL: exemplo

• Consideremos p2.

• Propagação a partir de p6 resulta em:

• Recolha a partir de p0 resulta em (apenas para VPL2):

p₀

p₁ p₃ p₅

p₆

p₂ p₄

) (

cos )

(

cos )

* (

) * (

cos )

* ( )

(

cos )

* ( ) (

) ) (

(

2 3

2 3

4

3 2

3 4

4 5

4 3

4 5

5 6

5 4

5 6

6 5 6

2

p p

p p

p p

p p

p f

p p

p

p p

p f p

p p

p p

p f p

p

p p

VPL L L

r

r r

A e





















 





















) (

) ,

( ) 1 (

)

(p p f p p p V p VPL G p p f p p p L VPL

L       

Termo Geométrico

2 1 1 1

' cos ) cos

(p p p p

G

i

i

i  

  

• Se a distância de p1 api é pequena (≈0) então o termo geométrico toma um valor muito grande

• Para evitar esta situação G toma o valor zero se a distância for menor que um determinado limite:

• A truncagem de G introduz bias no algoritmo













 





d i

d i

i

i i

p p

p p p

p p p

G

min se

, 0

min se

' , cos cos

) (

1 2 1

1 1 1





Critério de paragem

• A decisão de quando terminar um trajecto construído a partir da fonte de luz é tomada recorrendo a roleta russa

• A probabilidade de continuar o trajecto deve ser igual à atenuação que a energia do fotão sofre naquela intersecção:

• Se então o trajecto termina

• Senão o trajecto continua

• A contribuição deste trajecto (energia da próxima VPL) é dividida pela probabilidade de continuar, pcontinue

) (

' cos ) (

1 1 1











 

i i

i i

i i

continue r

p p

p

p p

p

p f 

continue

 p



Critério de paragem

• A energia de VPLi-1 relativamente a VPLi é dada por

• Uma vez que usamos roleta russa passa a ser

) ) (

(

cos ) ) (

(

1 1 1

1 i

i i

i i

i i

r

i L VPL

p p

p

p p

p VPL f

L





  



 



continue i

i i

i i

i i

i r

VPL p p L

p p

p p

p VPL f

L 1

) ) (

(

cos ) ) (

(

1 1 1 1





  



 



) (

cos ) (

1 1 1











 

i i

i i

i i

continue r

p p

p

p p

p

p f



) (

) ) (

( )

( ₁

source source e

i

i p p

p VPL L

L VPL

L _  

Todas as VPL do mesmo trajecto têm a mesma energia

Pré-Processamento: Algoritmo

PreProcess() {

Para i=1 até N_Paths {

Seleccionar aleatoriamente a fonte de luz L

Seleccionar ponto na fonte de luz p com probabilidade pdf contrib = L.Le / pdf

Seleccionar direcção ωo com probabilidade pdf contrib *= cos θ / pdf

p’, Np’ = intersecta (raio(p, ωo), cena) Enquanto intersecção com sucesso {

ωi = ωo

Criar VPL (p’, contrib, ωi, Np’) N_VPLs++

Seleccionar direcção ωo com probabilidade pdf pcontinue = BRDF (p’, ωi, ωo)* cos θ / pdf

if (RandomFloat()>pcontinue) termina trajecto p’, Np’ = intersecta (raio(p’, ωo), cena)

Rendering: Algoritmo

Render() { // ponto p da cena e raio com direcção dir L = <Calcular iluminação directa>

L += <Novos raios para iluminação especular>

Para i=1 até N_VPLs {

se (distância (p, VPL[i].p) <= min_d) continue;

L_aux = VPL[i] * G(p, VPL[i].p)

L_aux *= BRDF (VPL[i].p, VPL[i].dir, dir(p, VPL[i])) L_aux *= BRDF (p, dir, dir(p, VPL[i]))

L_aux /= N_VPLs

Visivel = shadow_ray (p, VPL[i].p) if (Visivel) L+= L_aux

} }

Comparação

Conjuntos de VPLs

• A utilização do mesmo conjunto de VPLs para todos os pixeis resulta numa elevada intercorrelação entre pixeis vizinhos:

SOLUÇÃO:

Gerar vários conjuntos diferentes de VPLs e, para cada raio primário, seleccionar

estocasticamente o conjunto a utilizar.

Não acarreta custos extra, excepto a geração dos conjuntos de VPLs

Conjuntos de VPLs

Sobre Amostragem

• A variância pode ser reduzida disparando vários raios primários por pixel

• O número de diferentes conjuntos de VPLs deve ser igual ao número de amostras por pixel

• Cada conjunto de VPLs pode agora ter o seu número de trajectos dividido pelo número de amostras por pixel

• O tempo associado à iluminação difusa não aumenta

• As distribuições de números aleatórios usadas para gerar os trajectos e seleccionar o conjunto a usar devem ser cuidadosamente escolhidas para garantir que não há correlações entre estes

Sobre Amostragem

Selecção da fonte de luz

• A amostragem das fontes de luz, na fase de pré-processamento, pode ser feita baseada na sua importância, por exemplo, usando uma distribuição de

probabilidade baseada na potência relativa das fontes de luz

• Neste caso, algumas fontes de luz terão, em média, mais VPLs do que outras

• Para compensar a potência das VPLs deve ser atenuada pela probabilidade de selecção da fonte de luz

Pré-Processamento:

PreProcess() {

Criar distribuição para fontes de luz baseada em alguma característica Para i=1 até N_Paths {

Seleccionar aleatoriamente a fonte de luz L com probabilidade Lightpdf Seleccionar ponto na fonte de luz p com probabilidade pdf

contrib = L.Le / pdf * Lightpdf

Seleccionar direcção ωo com probabilidade pdf contrib *= cos θ / pdf

Enquanto intersecção com p’ { ωi = ωo

Criar VPL (p’, contrib, ωi, Np’) N_VPLs++

Seleccionar direcção ωo com probabilidade pdf pcontinue = BRDF (p’, ωi, ωo)* cos θ / pdf if (RandomFloat()>pcontinue) termina trajecto }

Selecção da fonte de luz: oclusão

• Numa cena com um elevado grau de oclusão muitas fontes de luz não contribuem para a iluminação das superfícies visíveis.

• VPLs propagadas a partir destas fontes de luz não contribuem para a região visível da imagem, mas a sua visibilidade é ainda assim avaliada pelos shadow rays para iluminar cada ponto

• Muito tempo de computação é desperdiçado numa operação que não contribui para melhorar o resultado final

EXEMPLO:

Um prédio com muitas divisões e muitas fontes de luz terá VPLs distribuídas por todas (maioria) as suas divisões

Um observador localizado numa divisão não beneficia da maioria destas VPLs

Selecção da fonte de luz: oclusão

Múltiplas (9) cópias da Cornell Box Com iluminação indirecta

Selecção da fonte de luz: oclusão

1 única Cornell Box IGI: 8 spp, 16 VPL, 8 set

9 Cornell Box IGI: 8 spp, 16 VPL, 8 set

Selecção da fonte de luz: oclusão

• Determinar a importância das fontes de luz para o ponto de vista actual

• Propagar VPLs a partir das fontes de luz usando esta distribuição de importância HIPÓTESE:

Fazer uma primeira passagem com baixa resolução a partir do observador apenas para calcular a importância relativa das fontes de luz, construindo uma pdf

Usar path tracing para esta passagem. Construir a distribuição de importância das fontes de luz baseada no número de shadow rays que as amostram com sucesso

Para que a integração seja unbiased relativamente às fontes de luz, nenhuma fonte de luz que contribua para a iluminação deve ter probabilidade 0.

[Wald, Benthin, Slusallek; “Interactive Global Illumination in Complex and Highly Occluded Environments”; EG