A matemática desempenha um papel fundamental no desenvolvimento científico e tecnológico da nossa sociedade. Além de revisar efetivamente esses conceitos, você construirá uma atitude matemática profissional.
Fra¸ c˜ oes
Introdu¸ c˜ ao
N´ umeros Naturais
Munido dessas duas operações, o conjunto dos números naturais começa a apresentar diversas questões. Se conhecermos a fatoração prima dos números a e b, é muito fácil: para mmc basta pegar os fatores primos que aparecem em pelo menos um dos dois números (levando em conta a maior potência, se corresponder a ambos a eb); para o mdc, basta pegar os primos que aparecem simultaneamente nos dois números (considerando a menor potência se comparado tanto com ema quanto com emb).
Os N´ umeros Racionais
Para ler uma fração, é necessário ler o numerador e depois o nome de cada parte. Este último depende do número de partes em que a unidade está dividida, ou seja, do denominador da fração.
Exerc´ıcios
A palavra fração também é usada, mas é usada para contextos mais gerais nos quais os numeradores e denominadores são outros objetos matemáticos e não apenas números inteiros. O conceito de fração tornou-se necessário com o desenvolvimento do conhecimento.
Tipos de Fra¸ c˜ oes
Frações impróprias → são frações impróprias em que o numerador é um múltiplo do denominador.
Fra¸ c˜ oes Equivalentes
Simplifica¸ c˜ ao de fra¸ c˜ oes
Redu¸ c˜ ao de fra¸ c˜ oes a um mesmo denominador
Compara¸ c˜ ao de Fra¸ c˜ oes
A soma das frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das taxas e cujo numerador é a soma dos numeradores das taxas. A diferença entre duas frações com denominadores iguais é uma fração cujo denominador é igual ao das frações dadas e cujo numerador é a diferença entre os numeradores.
Multiplica¸ c˜ ao e divis˜ ao de n´ umeros fracion´ arios
O recíproco ou recíproco de uma fração diferente de zero é a fração obtida pela troca do numerador e do denominador da fração dada. O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da 1ª fração pelo inverso da 2. João gasta metade do salário para alimentar a família, ele gasta a 1ª.
Sugest˜ oes e Solu¸ c˜ oes das Atividades Propostas
N´ umeros Decimais
Seria impossível alcançar o desenvolvimento científico-tecnológico que alcançamos sem um instrumento tão eficaz como o sistema numérico decimal representado pelos algarismos hindu-arábicos. A grande qualidade do sistema numérico decimal representado pelos numerais hindu-arábicos, nossos números cotidianos, é a sua simplicidade, aliada a uma notação extremamente alegre – a posicional.
N´ umeros Decimais – os n´ umeros nossos de cada dia
Para converter um número decimal em fração decimal, escreva uma fração cujo numerador seja o número decimal sem vírgula e cujo denominador seja o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número fornecido. Para converter uma fração decimal em um número decimal, escreva o numerador da fração com tantas casas decimais quantos forem os zeros no denominador.
Adi¸ c˜ ao e subtra¸ c˜ ao de decimais
Multiplica¸ c˜ ao de decimais
Divis˜ ao de decimais
Esse decimal é chamado de decimal periódico simples porque depois da vírgula existe apenas a parte repetida. Este decimal é denominado decimal periódico composto porque após a vírgula há uma parte repetida (4) e uma parte não repetitiva (3).
Sugest˜ ao e Solu¸ c˜ ao da Atividade Proposta
Potencia¸ c˜ ao
O objetivo mais imediato da definição é simplificar a notação e fornecer um método para trabalhar com números grandes. Porém, à medida que o estudo se aprofunda, mais adiante no curso você perceberá que a potência é a base das definições do logaritmo e da função exponencial.
Propriedades das potˆ encias
Aplica¸ c˜ ao
Gabarito
Radicia¸ c˜ ao
Existˆ encia
Simplesmente, no conjunto dos números reais uma expressão como esta não faz sentido. O número −64 possui uma única raiz cúbica no conjunto dos números reais, representada pelo símbolo √3.
Propriedades das Ra´ızes
Enfatizamos novamente que as propriedades dadas são válidas desde que as potências e os radicais estejam bem definidos. Nosso próximo tópico visa ampliar o uso de potências e radicais para facilitar operações com números reais.
Potˆ encia de Expoente Racional
Ou de outro ponto de vista, veja a definição 2 abaixo, trataremos a radiação como um caso especial de potências de expoentes fracionários.
Racionaliza¸ c˜ ao
Fatora¸ c˜ ao
Factoring é a transformação de uma soma ou diferença de duas ou mais parcelas em produto de dois ou mais fatores. Trabalharemos então em algumas técnicas básicas de fatoração, incluindo fatoração comum, agrupamento, diferenças de quadrados, quadrado perfeito, soma e diferença de cubos e cubo perfeito. O quadrado da diferença entre as duas parcelas (a−b)2 é igual ao quadrado da primeira parcela, a2, menos o dobro das duas parcelas, 2ab, mais o quadrado da segunda parcela, b2, portanto.
O cubo da soma dos dois quocientes é igual ao cubo do primeiro quociente, a3, mais três vezes o quadrado do primeiro quociente pelo segundo, 3a2b, mais três vezes o primeiro quociente ao quadrado pelo segundo, 3ab2, mais o cubo do segundo quociente, b3, então,. O cubo da diferença entre as duas parcelas, (a−b)3, é igual ao cubo da primeira parcela, a3, menos três vezes a primeira parcela ao quadrado pela segunda, 3a2b, mais três vezes a primeira ao quadrado. da segunda, 3ab2, ou seja, menos o cubo da segunda parcela, b3.
Senten¸ ca Aberta e Equa¸ c˜ ao
Raiz e Conjunto-Verdade
Sistemas de Equa¸ c˜ oes do 1 o Grau
Uma solução para um sistema de duas equações e duas incógnitas xey é qualquer par ordenado (x, y) que satisfaça ambas as equações. Um conjunto de duas equações de primeiro grau, ou seja, um sistema de duas equações de primeiro grau tem uma solução única em x e você não tem solução ou tem soluções infinitas. Agora vamos aprender dois métodos para encontrar soluções para um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Multiplicando a primeira equação por 2 e a segunda equação por -5 e depois somando as equações, descobrimos que. Porém, como todas as residências foram visitadas e cada recenseador visitou 102, quantas residências a cidade possui.
A expressão que acabamos de determinar para a raiz x da equação é chamada de solução geral. Uma equação incompleta de 2º grau pode ser resolvida diretamente sem passar pela fórmula geral.
Equa¸ c˜ oes Incompletas
Discuss˜ ao Sobre Existˆ encia e N´ umero de Ra´ızes
Nota: Definições equivalentes podem ser formuladas para desigualdades de segundo grau e sistemas de desigualdades.
Inequa¸ c˜ ao Produto
Inequa¸ c˜ ao Quociente
Como a regra dos sinais para o quociente é semelhante à regra dos sinais para o produto, o procedimento para resolver uma desigualdade de quociente segue as mesmas linhas daquele usado para resolver a desigualdade do produto. Aqui é necessário prestar atenção extra ao fato de que g(x) = 0. A solução é idêntica ao exemplo anterior com a diferença de que o número x = 2, que cancela o contador, deve ser adicionado ao conjunto solução.
Inequa¸ c˜ ao Potˆ encia
Progress˜ ao Aritm´ etica Sequˆ encias
Uma sequência de números reais, ou simplesmente uma sequência, é uma coleção contável de números reais escritos em ordem. Na verdade, expressamos a sequência infinita escrevendo três pontos · · · à direita da sequência.
Classifica¸ c˜ ao das Sequˆ encias
Progress˜ ao Aritm´ etica
Classifica¸ c˜ ao
Termo Geral de uma P.A
Propriedades de uma P.A
Soma dos Primeiros n Termos de uma P.A
Encontre a soma dos inteiros estritamente positivos menores que 101 que não são divisíveis por 3. Se o número 225 for dividido em três partes, ele forma um P.A., de modo que a terceira parte seja maior que `a primeira de 140. d) múltiplos de 5 e 3 ao mesmo tempo e) indefinido.
Gabarito dos Exerc´ıcios Propostos
Gabarito dos Exerc´ıcios Complementares
Progress˜ ao Geom´ etrica
Classifica¸ c˜ ao das P.G’s
Termo Geral de uma P.G
Num parque ecológico, há cinco anos, a população de onças era de 325.
Propriedades de uma P.G
Produto de n Termos de uma P.G
Soma dos n Primeiros Termos de uma P.G
Limite da Soma
Conjuntos
Exemplo: . o conjunto de todas as letras do nosso alfabeto ou o conjunto de todas as mulheres brasileiras. Para fazer a representação, escolhemos dois pontos O e I de uma reta e conectamos a eles os números reais 0 e 1, respectivamente.Os números reais negativos são colocados na reta à esquerda do ponto O e os números positivos à esquerda do ponto O. à direita do ponto zero.
Nesta representação, a distância entre os inteiros n e n+ 1 é igual à distância entre 0 e 1. Além disso, seb= 0 e é um número inteiro negativo, então b elevado à ésima potência é definido por z.
Ra´ızes de n´ umeros reais
Produto cartesiano
Rela¸ c˜ oes
Dom´ınio e imagem ou contradom´ınio
Representa¸ c˜ ao gr´ afica e diagramas de uma rela¸ c˜ ao
Fun¸ c˜ ao
Um diagrama de setas que representa a relação entre o conjunto A e o conjunto B é uma função se:. Dados os subconjuntos A e B de números reais e uma função f: A→B, a função pode ser representada graficamente como pontos em um plano. Observação sobre gráficos: Sabemos que um dos requisitos da relação para ser uma função, x → y = f(x), é que cada x deve corresponder a um y.
Para esboçar o gráfico cartesiano de uma função de, atribuímos valores apropriados ao domínio da função e determinamos os valores correspondentes de y=f(x). Para esta função é impossível construir uma tabela que mostre claramente todos os pontos do gráfico.
Exerc´ıcios Resolvidos
Determina¸ c˜ ao de Dom´ınios de Fun¸ c˜ oes Num´ ericas
O radicando de uma raiz com índice ímpar pode ser negativo ou zero ou positivo, ou seja, 2x−1 pode assumir todos os valores reais. Como todas as raízes envolvidas têm um índice par, os radicandos devem ser não negativos.
Exerc´ıcios - S´ erie A
Se os conjuntos A e B possuem, respectivamente, 5 e 7 elementos, calcule o número de elementos em A×B. Certo dia, três mães deram à luz numa maternidade.
Exerc´ıcios - S´ erie B
Fun¸ c˜ oes composta e inversa
Fun¸ c˜ ao composta
Fun¸ c˜ oes sobrejetora, injetora e bijetora
Se as retas paralelas a Os encontram o gráfico def em no máximo um ponto, então f é bijetora. Se as retas paralelas a Ox e passando pelo contradomínio de f encontram o gráfico de f em exatamente um ponto, então f é bijetiva.
Fun¸ c˜ ao inversa
Identifique se a função linear afim é crescente ou decrescente e descreva os pontos do domínio onde a função é positiva ou negativa. Nota: (i) De acordo com o gráfico da função linear f(x) = ax +b, o coeficiente linear b do gráfico de f é o valor ordenado do ponto de intersecção da reta com o eixo Oy. ii) Determine a equação da reta y=ax+b cujo gráfico está abaixo. Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda para que toda a produção possa ser vendida.
No gráfico abaixo, a linha r1 representa os custos de produção e a linha r2 descreve a receita da empresa, ambas dependendo da quantidade de litros vendidos. Uma empresa de bicicletas tem um custo unitário de fabricação de $ 28,00 e pretende que esse valor represente 80% do preço de venda ao varejista.
Fun¸ c˜ ao quadr´ atica
Gr´ afico no sistema cartesiano
Interse¸ c˜ ao com os eixos coordenados
Determina¸ c˜ ao das ra´ızes
Devido à simetria da parábola, no caso em que Δ≥ 0, o centro xv é o segmento cujos extremos são os pontos x1 e x2 (raízes da equação) onde está o valor mínimo da função. Nota: Conforme dito, quando Δ≥0, o valor xv que fornece o mínimo representa a média aritmética das raízes x1 e x2. Determine as raízes da função definida pela equação y=x2−2x−8 e esboce o gráfico.
Determine as raízes da função definida pela equação oy=−x2+x−4 e esboce o gráfico.
Estudo do sinal da fun¸ c˜ ao quadr´ atica
Regra s´ıntese para quest˜ ao do sinal
Fun¸ c˜ ao Modular
Fun¸ c˜ ao modular
Equa¸ c˜ oes e inequa¸ c˜ oes modulares
