MPM5608 - An´alise Real com Aplica¸c˜oes - 2017 Prof. David Pires Dias - dpdias@ime.usp.br - Sala 106A
DA DISCIPLINA
Objetivos: Possibilitar ao aluno graduado, professor de Matem´atica de diferentes n´ıveis, um estudo mais profundo e cr´ıtico de conceitos fundamentais sobre n´umeros reais, fun¸c˜oes e aproxima¸c˜ao de fun¸c˜oes, enfatizando aspectos hist´oricos. Em particular, problematizar a representa¸c˜ao decimal dos n´umeros reais e salientar as diversas defini¸c˜oes matem´aticas dos n´umeros π e e.
Justificativa: O aluno graduado, professor de Matem´atica, deve ter seus conhecimentos sobre n´umeros reais e fun¸c˜oes, bem estabelecidos e fundamentados, inserido num contexto logicamente estruturado. A ausˆencia disto gera a falta de vis˜ao do como e do porque da constru¸c˜ao e da formaliza¸c˜ao dos conceitos matem´aticos. Sem esta percep¸c˜ao integradora, o professor apenas consegue promover a aprendizagem de fragmentos isolados, sem articula¸c˜oes internas e nem aberturas para que essas articula¸c˜oes venham, futuramente, a ser estabelecidas pelos alunos.
Conte´udo: 1. N´umeros reais: o conceito de completude, suas diversas formula¸c˜oes e con- sequˆencias. 2. A no¸c˜ao de limite e as diversas abordagens hist´oricas e situa¸c˜oes onde esse conceito aparece (´areas, volumes, etc). Seq¨uˆencias num´ericas especiais (o n´umero e, seq¨uˆencias de Fibonacci).
3. S´eries num´ericas: crit´erios de convergˆencia. S´eries absolutamente convergentes. Reordena¸c˜ao. 4.
Area sob gr´´ aficos. Integral de Riemann. Teorema fundamental do c´alculo e sua hist´oria. Fun¸c˜oes loga- ritmo e exponencial. 5. S´eries de Potˆencias. S´erie de Taylor. Aproxima¸c˜ao de fun¸c˜oes por polinˆomios.
6. Seq¨uˆencias e S´eries de Fun¸c˜oes. Convergˆencia pontual. Convergˆencia uniforme e sua rela¸c˜ao com continuidade, derivabilidade e integrabilidade. 7. Aproxima¸c˜ao pontual de fun¸c˜oes peri´odicas por polinˆomios trigonom´etricos. S´eries de Fourier. Aspectos hist´oricos e aplica¸c˜oes.
Bibliografia: 1. Apostol, T.M. Analisis Matem´atica, Editorial Revert´e, 1960. 2. Bartle, R.G.
Elementos de An´alise Real, Editora Campus, 1983. 3. Courant, R. et al. O que ´e Matem´atica, Editora Ciˆencia Moderna, 2000. 4. Figueiredo, D. G. An´alise de Fourier e Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais, Projeto Euclides, IMPA, 1977. 5. Figueiredo, D. G. An´alise I, LTC, 1974. 6. Lima, E.L. Curso de An´alise, vol 1, Projeto Euclides, IMPA, 1976. 7. Rudin, W. Princ´ıpios de An´alise Matem´atica, Ed.
UnB e Ao Livro T´ecnico, 1971. 8. Simmons, G.F. C´aculo com Geometria Anal´ıtica, vol 1 e 2, Makron Books, 1987. 9. Spivak, M. Calculo Infinitesimal, vol. 1 e 2, Editorial Reverte S.A., 1970.
Avalia¸c˜ao: O Conceito final basear-se-´a em m´edia ponderada de provas e trabalhos (individuais, em grupo e possivel semin´ario).
ConceitoF inal= P rova+Seminario+M ediaT rabalhos
3 .
Datas:
Prova - 08 de junho.
Semin´arios - 20, 22, 27 e 29 de junho.
INICIANDO
O estudo de fra¸c˜oes, desde o Ensino Fundamental I, ´e um passo importante para a amplia¸c˜ao do conceito de n´umero, inicialmente como um objeto matem´atico ´util para medir grandezas positivas.
Lembrando que inicialmente as fra¸c˜oes aparecem como resultado de uma divis˜ao entre n´umeros na- turais e s˜ao tamb´em n´umeros utilizados para expressar medida de comprimento, ´area, dentre outras grandezas, em geral, em casos em que a grandeza a ser medida n˜ao pode ser expressa por um m´ultiplo inteiro da unidade em quest˜ao.
J´a no Ensino Fundamental II temos a introdu¸c˜ao do conjunto dos n´umeros racionais em sua totalidade, isto ´e, tanto positivos quanto negativos. No entato, historicamente ficou claro para os matem´aticos que tal universo num´erico n˜ao ´e suficiente para medir todas as grandezas. Assim, j´a na Antiguidade ficou comprovado que, por exemplo, o lado de um quadrado ´e incomensur´avel com sua diagonal, ou seja, que n˜ao existe um segmento que possa servir de unidade de medida comum ao lado e `a diagonal de um mesmo quadrado de maneira a que ambos sejam m´ultiplos inteiros dessa unidade.
Assim como verificado e apresentado pela matem´atica desenvolvida posteriormente, ainda no Fun- damental II, introduzimos os n´umeros irracionais e consequentemente o conjunto dos n´umeros reais.
Para expressar a medida de qualquer segmento, foi estabelecida a possibilidade de associar, a cada ponto de uma reta, um n´umero real.
Nossa inten¸c˜ao neste in´ıcio da disciplina ´e discutirmos com mais detalhes as no¸c˜oes den´umeros ra- cionaise den´umeros irracionais, assim como sua representa¸c˜ao no sistema decimal de numera¸c˜ao.
MOTIVANDO/PROVOCANDO
1. Podemos obter n´umeros racionais entre 0,¯3 e 0,334? Quantos? Se sim, dˆe ao menos dois exemplos de tais n´umeros.
2. Podemos obter n´umeros irracionais entre 0,¯3 e 0,334? Quantos? Se sim, dˆe ao menos dois exemplos de tais n´umeros.
3. Est´a certo?
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) +. . .= 1 4. Est´a certo?
(1−1) + (1−1) + (1−1) + (1−1) + (1−1) + (1−1) +. . .= 0 5. Est´a certo?
S= 1 +4 3 +16
9 +64 27 +. . . S= 1 +4
3
1 +4 3 +16
9 +64 27 +. . .
S= 1 +4 3S S−4
3S= 1
−1 3S= 1
S=−3
6. Est´a certo?
S = 1 + 3 10 + 3
100+ 3
1000+. . . S = 1 + 1
10
3 + 3 10 + 3
100+ 3
1000+. . .
S = 1 + 1 10
2 + 1 + 3 10 + 3
100+ 3
1000+. . .
S = 1 + 1
10(2 +S) S− 1
10S = 1 + 2 10 9
10S = 12 10 S = 4
3 7. Est´a certo?
ln(2) = 1−1 2 +1
3−1 4 +1
5 −1 6 +1
7− 1 8+1
9. . . multiplicando por 1/2
ln(2)
2 S = 1
2 −1
4 + 1
6 −1
8 . . . somando membro a membro
3ln(2)
2 = 1 +1
3−1 2 +1
5 +1
7− 1 4+1
9. . . Defini¸c˜oes e Propriedades
Defini¸c˜ao 1 Um n´umero r ´e dito racionalse, e somente se, existem p e q inteiros, com q 6= 0, tais quer = pq. SimbolicamenteQl ={pq :p∈ZZ e q∈ZZ∗}.
Proposi¸c˜ao 2 Um n´umero r ´e racional se, e somente se, sua representa¸c˜ao decimal for finita ou infinita peri´odica.
Defini¸c˜ao 3 Denominamos de n´umeros reais as coordenadas dos pontos de um eixo ordenado e denotamos o conjunto de todos os n´umeros reais por IR.
