Considere o exemplo abaixo para base 2. Ou seja, cada vez que reduzimos o expoente em uma unidade, dividimos o resultado da potência por 2. A extensão da potencialização para cada expoente x ∈ IR é um pouco mais delicada, pois deve ser capaz de definir ax para a > 0, no caso em que x é um número irracional.
Esboce os gráficos das funções a seguir
Calcule: . O. a porcentagem do número de frutas restantes ao final das duas primeiras horas de venda, assumindo t = 2. b. o valor de t, assumindo que ao final do período de oito horas, 32% da fruta está na barraca como estava inicialmente. Quantas bactérias existirão em 1 hora, sabendo que elas aumentam através da fórmula P = P0 .. ekt, onde P é o número de bactérias, t é o tempo ek é a taxa de crescimento.
Quando se administra um remédio, sua concentração no organismo deve oscilar entre dois níveis, pois não pode ser tão baixa a ponto de não fazer
Em seguida, o número total de bactérias nesta cultura foi medido durante 10 horas em intervalos de 1 hora. Observe que a quantidade de bactérias presentes no meio, medida a cada hora, segue uma progressão geométrica até 5 horas inclusive.
Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém- admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de
Tomemos um número real positivo x > 0 e consideremos seus logaritmos em relação a duas bases diferentes a, b > 0, a,b ≠ 1:. Uma interpretação importante é a estreita relação entre o logaritmo de um número e a ordem de grandeza desse número.
Resolva as equações para x ∈ IR
Para definir a função logarítmica com base a > 0, a ≠ 1, devemos ter em mente que só podemos calcular o logaritmo de números positivos (como já observamos).
O acidente do reator nuclear de Chernobyl, URSS, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade do isótopo radioativo estrôncio-90, cuja meia-vida
Os gráficos a seguir foram desenhados por programa de computador, nos eixos x'y' com escalas decimais logarítmicas.
Observação: se as aproximações dadas forem usadas de forma diferente, os valores obtidos abaixo podem variar
Depois de 2098
Aproximadamente 23 anos
Aproximadamente, 3 horas antes das 22h30min, isto é, às 19h30min
No estudo da Geometria Plana o ponto de partida são os elementos primitivos e os postulados (ou axiomas). Nota: Dados dois pontos A e C no plano, representamos por ACsr a única reta que passa por estes pontos.
Se um ponto C pertence a um segmento AB, em termos de medidas resulta que,
Postulados são afirmações que envolvem elementos primitivos que aceitamos como verdadeiros sem debate por causa de suas evidências.
Nota: Se o ponto P estiver na bissetriz de um ângulo, então P é equidistal aos lados do ângulo. O oposto (ou recíproco) também é verdadeiro: se um ponto é equidistante dos lados de um ângulo, ele pertence à bissetriz.
Pelo vértice O de um ângulo AÔB de 100º traça-se uma semirreta s com origem no vértice do ângulo e no interior do ângulo. Considere as bissetrizes r e t
Os centros dos átomos de flúor correspondem aos vértices do octaedro, e o centro do átomo de enxofre corresponde ao centro deste sólido, conforme ilustrado na figura abaixo. Lembre-se de que a distância entre o centro de um átomo de flúor e o centro de um átomo de enxofre é 1,53 Å.
Com relação ao enunciado da questão 12, a distância x entre duas bandeirinhas, diametralmente opostas é, em metros, igual a
Agora considere a ilustração a seguir, que mostra a parte reta de um fio de 4 mm de diâmetro inserido no instrumento. Uma tábua com um metro de comprimento e 4,4 cm de espessura deve ser colocada entre duas paredes planas e paralelas.
Como os segmentos ad e AD são paralelos, têm o mesmo comprimento
Nota: As pequenas linhas que cruzam os lados mostradas na Figura 4.2 são usadas para identificar lados de igual comprimento. Na Figura 4.3, aproveitamos para definir a hipotenusa como o lado oposto ao ângulo reto do triângulo retângulo (desenhado mais à esquerda) e reservamos os outros dois lados para quadrados.
Ângulos correspondentes são congruentes
Quando as duas retas paralelas r e s são interceptadas pela transversal t, damos nomes especiais aos pares de ângulos resultantes.
Ângulos alternos são congruentes
Teorema de Tales)
A medida de um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes
A soma dos ângulos externos de um triângulo é 360º
Na figura, BE é bissetriz interna do ângulo B e CE, bissetriz externa do ângulo C
O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 12º a medida do ângulo BAD e 20º a medida do ABC, calcule a medida do ângulo ACD
Na imagem a seguir, cada um dos sete quadros contém uma medida de ângulo expressa em graus.
Na figura abaixo ache a soma dos ângulos assinalados
Sendo r e s retas paralelas, calcule x nas figuras
Determine o valor de x, sendo r//s
Calcule x e y indicados na figura a seguir
Calcule o valor de x, onde BD é a bissetriz de ABC e CD é a bissetriz de ACB. de ABC e CD à bissetriz de ACB, calcule o valor de x. R.
As bissetrizes de dois ângulos adjacentes de um triângulo formam um ângulo de 80º. Calcule esses dois ângulos, sabendo que a medida de um deles é igual
Demonstre que o perímetro do triângulo MNP é menor que o perímetro do triângulo ABC na figura abaixo
Demonstração
Duas figuras planas F1 e F2 são semelhantes se tiverem a mesma forma (embora, em geral, sejam de tamanhos diferentes). Dois triângulos são semelhantes se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus vértices, de modo que ângulos iguais e lados proporcionais correspondam. Se em dois triângulos existe uma correspondência entre seus lados, de modo que as medidas tenham a mesma proporcionalidade, então os triângulos são semelhantes.
Dois triângulos retângulos isósceles são semelhantes. f) Dois triângulos retângulos com lados proporcionais são semelhantes. g).
Num eclipse do sol, o disco lunar cobre exatamente o disco solar, o que comprova que o ângulo sob o qual vemos o sol é o mesmo sob o qual vemos a
Uma rampa de declive constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura em seu ponto mais alto. Uma pessoa que começou a subir percebe que depois de subir 12,3 metros na rampa, está 1,5 metros acima do solo. O.
Calcule a medida x na figura construída abaixo
O objetivo deste capítulo é usar os resultados que obtivemos no estudo da similaridade de triângulos para estabelecer relações métricas em um triângulo retângulo. Num hexágono regular inscrito numa circunferência de raio R, as medidas l do lado e do apótema satisfazem a6 3. Examine o triângulo retângulo sombreado na Figura 6.4. Convido você a lembrar a definição de seno e cosseno no círculo unitário trigonométrico e relacioná-la com o triângulo retângulo ∆ABC.
Construímos um segundo triângulo retângulo onde um dos catetos repousa sobre a hipotenusa do primeiro e o outro lado mede 2 cm.
Calcule “x” na figura abaixo
Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica crescente, calcule a razão desta progressão
A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 e a altura a ela relativa mede 3. O menor cateto desse triângulo mede
Na figura abaixo tem-se dois círculos exteriores cujos raios medem respectivamente 7 e 2. Calcule o comprimento do segmento AB da tangente
Na figura abaixo, x é a medida do segmento AB da tangente interna comum aos dois círculos. Calcule a medida de x
Chamarei de lado vertical o lado oposto ao ângulo de 30º – isso porque usaremos esse ângulo como referência. Isso significa que independente do tamanho de um triângulo retângulo, se ele tiver ângulo de 30º, a razão entre o lado oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa valerá ½. Chamarei o lado vertical de lado oposto ao ângulo θ porque usaremos esse ângulo como referência.
Isso significa que independentemente do tamanho de um triângulo retângulo, se ele tiver um ângulo θ, a razão entre o lado oposto ao ângulo θ e a hipotenusa será igual ao seu θ.
Qual o maior valor possível para a tangente de um ângulo?
Isso significa que qualquer que seja o tamanho do triângulo retângulo, se ele tiver um ângulo θ, a razão entre o lado adjacente ao ângulo θ e a hipotenusa será cos θ. Isso significa que qualquer que seja o tamanho do triângulo retângulo, se ele tiver um ângulo θ, a razão entre o lado oposto ao ângulo θ e o lado adjacente ao ângulo θ será igual a tan θ. Tais fatores proporcionais surgem da semelhança entre triângulos retângulos em que um deles possui hipotenusa de medida 1.
Qual o menor valor possível para a tangente de um ângulo?
Qual(is) o(s) ângulo(s) positivo(s) menor(es) do que uma volta cuja(s) tangente(s) vale(m) 1?
Qual o outro ângulo positivo menor do que uma volta cuja tangente é igual à tangente de 30º?
Qual o outro ângulo positivo menor do que uma volta cuja tangente é igual à tangente de 123º?
A figura abaixo mostra uma rampa apoiada no chão com 10 metros de comprimento
A figura mostra um triângulo equilátero ABC cujos lados medem L unidades de comprimento. O segmento AH representa a altura do mesmo
A figura mostra o mesmo triângulo ABC do exercício 2
A figura mostra um quadrado cujos lados medem L unidades de comprimento
Num triângulo isósceles ABC, cada ângulo da base mede 74° e cada lado congruente 8 cm
Use o triângulo retângulo ABC para calcular cos γ. 20) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos dos cantos A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem 45° respectivamente e os cantos A e C são iguais; os ângulos CDB e ADB medem 45° e 30° respectivamente; O lado do CD mede 2 dm. Porém, a metade superior do bastão ainda pendia da metade inferior, formando 60º, conforme mostra a figura. Desta forma, o ponto mais alto da vara de bambu, antes do vento, fica agora mais próximo do solo.
Sabendo que o ângulo ABC é reto e que a distância entre os pontos A e B é de 6 milhas, determine a distância (em milhas) entre o farol e o ponto B. 23) A rampa de entrada para a garagem de um prédio em terreno plano é retangular em forma e forma um ângulo de 60° com o solo.
A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado
Sabendo que a sombra da rampa ao meio-dia tem área igual a 36 m2, calcule a área da rampa.
Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista
Dados dois ângulos, α e β, prove que
Na figura dada temos um semicírculo de raio R e centro 0. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é θ
Calcule a medida x indicada na figura
A figura mostra duas torres. Calcule a distância entre seus topos
Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista caminha de um ponto A a um ponto B, percorrendo uma distância AB = 1200 metros
Substituindo o valor de BE em (I), teremos: 1) (UEZO/2006) Após um sismo foi necessário reconstruir uma rampa de acordo com as condições definidas na figura abaixo.
Não existe um valor máximo para a tangente
Não existe um valor mínimo para a tangente
Ou seja, você conhece a HIPOTENUSA e pretende calcular o CATETH CONTRA O ÂNGULO DE 30º. Dentre as relações sen 30º, cos 30º e tan 30º, a que relaciona a hipotenusa com o lado oposto é o seno. Observe que você conhece o comprimento da hipotenusa AE e deseja calcular o CATETH AO LONGO DO ÂNGULO DE 30º. Dentre as relações sen 30º, cos 30º e tan 30º, a que associa a hipotenusa ao lado adjacente é o cosseno.
Sabemos quanto mede a hipotenusa e queremos saber o cateto oposto ao ângulo de 30º. A relação trigonométrica que associa a hipotenusa com o cateto
Sabemos quanto mede o cateto adjacente ao ângulo de 45º e queremos calcular o cateto oposto ao mesmo ângulo. A relação trigonométrica que associa
No triângulo OMP, temos
Simplifique dividindo ambos os termos por BC = x. lembre-se que numa igualdade isso sempre pode ser feito desde que você tenha certeza de que o divisor não é zero). Nesse tipo de problema, se um ângulo não for o dobro do outro, você só terá essa saída. Forme um triângulo retângulo de modo que a hipotenusa seja o segmento que une o topo das torres.
A figura ilustra a situação
Se olharmos agora para a figura 8.7, à direita, vemos que exatamente n – 3 = 2 diagonais também saem de cada um dos cantos. Veja que na Figura 8.8 as diagonais se desviam do vértice A para todos os outros vértices, exceto os vértices B e C (que são consecutivos a A) e para o próprio vértice A. Na tabela representada na Figura 8.16 apresentamos o lado e o apótema do triângulo, quadrado e hexágono regular em função do raio R do círculo circunscrito.
Considere um trapézio ABCD, como na Figura 8.28, onde M e N são centros dos lados não paralelos AD e BC, respectivamente.
Qual o número de diagonais que se pode traçar a partir de um vértice de um icoságono?
É instrutivo lembrar a relação de inclusão de conjuntos especiais de quadriláteros representados através do diagrama de Veen. U é o conjunto dos quadriláteros convexos, P é o conjunto dos paralelogramos, T é o conjunto dos trapézios, R é o conjunto dos retângulos, L é o conjunto dos losangos, Q é o conjunto dos quadrados. Primeiro observe que o conjunto T de trapézios é um subconjunto do conjunto U de quadriláteros convexos.
Determine o número de lados de um polígono que tem 44 diagonais
Calcule o número de diagonais de um polígono regular cujo ângulo interno é o triplo do ângulo externo
Calcule a medida do ângulo interno de um polígono regular que tem 54 diagonais
Determine o número de lados de um polígono cujo número de diagonais excede de 25 o número de lados
Quando variamos o número de lados de um polígono convexo permanece constante
Duas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular de n lados formam um ângulo dado por
Se MN é o lado do hexágono regular inscrito na circunferência e MN é perpendicular a PQ, a medida do segmento PM, em cm, é:. Com centro em A traçam-se os arcos circulares BB' e CC', cruzando a reta t em B' e C'. A figura abaixo representa dois círculos C e C' com o mesmo raio r. Mostre que em qualquer quadrilátero convexo o quociente do perímetro pela soma das diagonais é maior que 1 e menor que 2. 31) (CESGRANRIO) Escolha a alternativa que contém a característica diferenciadora do quadrado em relação aos demais quadriláteros.
ABCDE é um pentágono regular e ABMN é um quadrado. Determine a medida dos CBM e DBN
Calcule o valor de x no trapézio abaixo
Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles de base BC e ACDE um quadrado. Calcule a medida do ângulo x
Determine a medição de CBM e DBN. 35) (UNICAMP/1988 - 2ª fase) Sejam L e l respectivamente o comprimento e a altura de um retângulo que possui a seguinte propriedade: eliminar deste retângulo um quadrado com lados iguais à largura l, resulta em um novo. retângulo semelhante ao primeiro. Neste ponto, a reta é perpendicular ao segmento que une o ponto de contato com o centro do círculo. Dois círculos Γ e Γ' são separados quando não têm ponto em comum; tangentes quando possuem ponto comum; secantes quando possuem dois pontos em comum; concêntricos quando têm o mesmo centro.
Se dois círculos são tangentes, então os centros e o ponto de tangência estão na mesma linha.
Propriedade da tangente
Quadriláteros circunscritos
Potência de um ponto
- Nas figuras seguintes, encontre a medida x
- Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d’água de forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros
- Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um
- A figura a seguir é planificação de uma caixa sem tampa
- Uma piscina tem a forma de um prisma reto, cuja base é um retângulo de dimensões 15m e 10m. A quantidade necessária de litros de água para que o
- Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6 cm. A distância máxima entre dois vértices deste paralelepípedo é
- Um prisma reto é tal que sua base é um triângulo equilátero cujo lado mede 4 3 cm e o seu volume é igual ao volume de um cubo de aresta medindo
- A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A = 4cm
- O hexágono regular ABCDEF é base da pirâmide VABCDEF, conforme a figura
- O sólido representado na figura é formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base coincide com a face superior do cubo. O vértice O
- Um octaedro regular é um poliedro constituído por 8 faces triangulares congruentes entre si e ângulos poliédricos congruentes entre si, conforme mostra
- Considere uma lata cilíndrica de raio r e altura h completamente cheia de um determinado líquido. Este líquido deve ser distribuído totalmente em copos
- A figura a seguir representa o paralelogramo MNPQ
- Um cone circular reto, cujo raio da base é 3cm, está inscrito em uma esfera de raio 5cm, conforme mostra a figura a seguir
- a) a = 8 dm b) V = 512 litros 2) D
- a) Na embalagem A b) É a embalagem B 18) 40 cm 3
- Considerando o valor aproximado de π igual a 3,14, se o raio de uma bola de futebol for igual a 10cm, o seu volume, em cm 3 , será aproximadamente
Icosaedro regular tetraedro hexaedro regular octaedro regular dodecaedro icosaedro regular .. h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B. Q . tetraedro regular hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular icosaedro regular .. h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B. O hexágono regular ABCDEF é a base do pirâmide VABCDEF conforme mostrado na figura. tetraedro regular hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular icosaedro regular .. h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B.
Determine o valor de k. tetraedro regular hexaedro regular octaedro regular dodecaedro regular icosaedro regular .. h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B h : altura da pirâmide de base B v : volume da pirâmide de base B.
ANOTAÇÕES
