Neste trabalho formulamos um modelo matemático baseado no cálculo de Caputo para aquisição e perda de memória no processo de ensino. A utilização de derivadas fracionárias no estudo de processos de aprendizagem justifica-se pelo fato de as derivadas fracionárias de Caputo serem operadores não locais que introduzem naturalmente efeitos de memória na dinâmica do sistema modelado. Nossos resultados indicam que o modelo fracionário tem potencial para descrever processos em que o conhecimento já adquirido sobre um tema facilita o aprendizado futuro sobre ele, ou em processos em que há persistência na memória, retardando a dinâmica do esquecimento.
Neste trabalho, nosso principal objetivo é formular um modelo matemático para aquisição e perda de memória no processo educacional. Nosso modelo é uma generalização daquele proposto por Hicklin em 1976 através da inclusão de derivadas fracionárias na equação diferencial que descreve a dinâmica do problema. A utilização de derivadas fracionárias no estudo de processos de aprendizagem justifica-se pelo fato de que as derivadas fracionárias são geralmente operadores não locais.
Neste caso, o uso de derivadas de tempo fracionárias introduz naturalmente efeitos de memória na dinâmica do sistema modelado. Verificamos através da nossa solução que o modelo fracionário tem potencial para descrever processos em que o conhecimento já adquirido sobre um assunto facilita o aprendizado futuro sobre ele, ou em processos onde há persistência na memória, desacelerando a dinâmica do esquecimento. Compreender como ocorrem as dinâmicas de aprendizagem e esquecimento é fundamental para o desenvolvimento do trabalho de um professor de matemática, bem como de professores de outras áreas disciplinares.
Mecanismos fundamentais da memória
Neste capítulo discutiremos brevemente alguns conceitos neuropsicológicos fundamentais relacionados ao problema de aquisição e perda de conhecimento.
Memórias de longo prazo e curto prazo
Se é o número de ciclos excitados dentro de uma rede contendo loops neurais e a quantidade c é uma constante de proporcionalidade, então a taxa de mudança é dada por Se assumirmos agora que cada uma das fibras aferentes de uma alça neuronal recorrente em uma rede faz sinapses excitatórias com outra alça, aumentando assim a propagação da excitação e amplificando o número de alças neuronais excitadas, então o número de alças excitadas dentro de uma rede de as reações são dadas por. onde C é outra constante de proporcionalidade que representa o aumento dos ciclos neuronais excitados devido à propagação da excitação E. 3.2) é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução é dada por. Por outro lado, para simular a diferenciação mediada por inibição dentro de redes, Rashevsky em Anderson, (1991), assume que algumas das fibras aferentes de uma rede neuronal também podem fazer conexões sinápticas inibitórias com neurônios em alças neuronais de ordem superior.
A combinação de equações de excitação e inibição permite uma análise dos efeitos conjuntos da propagação e inibição da excitação dentro de um sistema nervoso complexo. Os modelos de Landahl e Rashevsky limitam-se à representação biofísica de redes neurais isoladas, em vez de uma análise em nível de sistema adequada para a construção de modelos neurocognitivos de processamento de informação. Assim, o “código” de uma rede é o conjunto de estados ressonantes estáveis que podem ser gerados em resposta a uma entrada sensorial.
Visando representar a aquisição de informação humana em função da interação dinâmica entre ganho e perda de informação, segundo Hicklin, (1976), que propõe uma abordagem diferenciada. A constante A representa a aptidão do indivíduo e a é uma expressão da taxa de perda de informação durante o esquecimento (quando a >0) ou ganho de informação durante a aprendizagem (quando a <0). Esta solução produz uma curva de aprendizado que aproxima uma assíntota Aa com valores crescentes de t (paraa >0).
Por se tratar de um modelo muito simples, partiremos dele para formular um novo modelo baseado em cálculo fracionário. O Cálculo Fracionário tem despertado grande interesse da comunidade científica nas últimas três décadas devido às suas diversas aplicações. Esses sistemas que podemos utilizar no cálculo fracionário são sistemas com comportamento não local ou com dinâmica dependente de memória.
O cálculo fracionário de Caputo é o mais popular entre os cientistas, uma vez que as equações diferenciais envolvendo as derivadas de Caputo requerem condições de contorno regulares semelhantes às equações diferenciais com derivadas ordinárias de ordem inteira. Nas próximas subseções detalharemos as definições e propriedades básicas do cálculo fracionário de Riemann-Liouville e Caputo.
O Cáculo Fracionário de Riemann-Liouville
Integrais de Riemann-Liouville
Os operadores αJxα e xJbα definidos em L1[a, b] by. u−x1−α)du (α∈R+), (4.21) Com a < b e a, b∈R, respectivamente, as integrais fracionárias de Riemann-Liouville esquerda e direita de ordem α∈R+ são chamadas. Além disso, é fácil ver pelas definições que as integrais fracionárias de Riemann-Liouville convergem para todas as funções integráveis f quando α >1. Estas propriedades (4.28) são uma generalização direta do caso usual de integrais de ordem inteira, onde as.
As derivadas de Riemann-Liouville
Para α∈N encontramos as derivadas usuais da ordem dos inteiros, e o lado direito de (D.7) torna-se igual a zero por causa dos pólos da função Gama de Euler.
O Cálculo Fracionário de Caputo
Como a derivada de uma constante é diferente de zero, as equações diferenciais envolvendo derivadas de Riemann-Liouville requerem condições iniciais e de contorno não regulares. Em particular, se a derivada de Caputo estiver no tempo t, o valor da derivada esquerda depende dos valores da função desde o tempo inicial até t. A vantagem de usar derivadas de Caputo em vez de derivadas de Riemann-Liouville para modelar problemas reais é porque as derivadas de Caputo (4.37) e (4.38) da função constante são zero para todo α >0,. 4.39) Como consequência deste fato, equações diferenciais envolvendo derivadas de Caputo requerem condições iniciais usuais.
Diferentemente do que acontece com equações diferenciais envolvendo derivadas de Riemann-Liouville, onde a solução geralmente é singular no tempo inicial, exigindo condições iniciais incomuns e interpretação pouco clara. Para β < 0 a integral diverge na definição da derivada de Caputo, portanto não há derivada de Caputo neste caso. Neste capítulo formulamos um modelo matemático baseado na utilização de derivadas de Caputo para aquisição e perda de memória no processo de aprendizagem.
Segundo Hilcklin, (1976), ao incluir derivadas fracionárias na equação diferencial que descreve a dinâmica do problema. Em particular, queremos investigar se, usando uma equação diferencial fracionária com parâmetros constantes, podemos modelar com mais precisão um processo tão complexo com ganho e perda de memória. O modelo que propomos para a dinâmica entre ganho e perda de informação é obtido a partir do modelo de Hicklin, (1976), definido pela equação (3.5) substituindo a derivada inteira por uma derivada fracionária de Caputo de ordem α.
0DtαN =A−aN, sendo N onde N é a quantidade de informação recebida ao longo do tempo, e A e a são constantes características de um determinado indivíduo e dentro de uma situação específica de aprendizagem. Tal como no caso do modelo original de Hicklin, a constante A representa a capacidade do indivíduo e é uma expressão da taxa de perda de informação durante o esquecimento (quando é >0) ou de ganho de informação durante a aprendizagem (quando é <0). Obteremos a solução da equação do decaimento radioativo fracionário (5.2) através do método de Frobenius estudado em Arfken, (2007).
Mas para ilustrar o método, primeiro resolveremos a equação de decomposição de ordem completa e depois consideraremos o caso da derivada fracionária de Caputo.
Solução do modelo com derivada inteira
Solução do modelo com derivada de Caputo
Para isso, obteremos primeiro a solução do problema de decaimento radioativo parcial (5.2), com 0 < α≤1, utilizando o método de Frobenius. Como em (5.5) an é inicialmente uma constante arbitrária, para cálculos futuros an pode ser reescrito de modo que (5.5) se torne . Para obter uma solução para o problema de valor inicial (5.2), consideraremos ambos os casos separadamente.
Rejeitamos ambas as possibilidades porque no primeiro caso temos a solução trivial e no segundo caso a derivada de Caputo da função θ não existe porque r < 0. É importante notar que para α = 1, como seria de esperar, a solução do modelo fracionário coincide com a solução do modelo de derivada completa (3.6) porque a série que define a função θ em (5.45) torna-se exponencial. a função.
Discussão dos resultados
Nesta figura podemos observar que para 0 < α < 1 a função θ cresce mais rápido que a função exponencial. Como consequência, a quantidade de informação obtida no tempo N, dada por (5.46), no modelo fracionário aumenta mais rapidamente do que no modelo da derivada completa devido ao efeito memória introduzido na dinâmica do problema pela derivada de Caputo. Quanto menor o valor de α, maior será o efeito memória introduzido na dinâmica devido ao fator (t−u)−α no integrando da definição da derivada de Caputo (4.37) (a função (t −u)−α diminui mais lentamente à medida que α diminui, aumentando a contribuição dos tempos decorridos para o valor da derivada).
Por outro lado, na Figura 2 analisamos o problema da perda de informação durante o esquecimento (a >0). Em nossa análise, consideremos novamente os casos α = 0,5 e α = 0,7 e comparemos a solução nestes casos com a solução do modelo com derivada inteira (α = 1). Nesta segunda figura, podemos ver que para 0 < α <1 a função θ cai mais lentamente que a função exponencial.
Consequentemente, a quantidade de informação armazenada no tempo t no modelo fracionário, dada pela função N definida por (5.46), diminui mais lentamente do que no modelo com derivada inteira devido ao efeito memória introduzido na dinâmica do problema. pela derivada de Caputo. Portanto, neste caso, vemos que o modelo fracionário tem potencial para descrever processos onde há persistência na memória, desacelerando a dinâmica do esquecimento. Para concluir, nossos resultados dão indicações do tipo de situação onde a dinâmica introduzida pelo efeito memória através da derivada fracionária de Caputo pode levar a uma melhor descrição do problema real em comparação ao modelo com derivada ordinária.
Neste trabalho, desenhamos um modelo matemático para aquisição e perda de memória no processo de ensino. Nosso modelo é uma generalização do modelo proposto por Hicklin (1976) ao incorporar as derivadas fracionárias de Caputo na equação diferencial que descreve a dinâmica do problema. Para confirmar esta hipótese, seria fundamental comparar nossos resultados com experimentos reais utilizando uma metodologia semelhante à utilizada pelo modelo de derivada inteira proposto por Anderson (1991).
Por fim, compreender como ocorrem as dinâmicas de aprendizagem e esquecimento é essencial para o desenvolvimento do trabalho de um professor de matemática e também de professores de outras áreas. Portanto, o desenvolvimento de pesquisas sobre esse tema, mesmo que teóricas, é de grande importância, possibilitando uma melhor compreensão do fenômeno da aprendizagem e possibilitando o desenvolvimento de novas metodologias de ensino.
