PDF Equação de Difusão de Calor (Revisão)

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Equação de Difusão de Calor (Revisão)

●

Balanço de Energia na seção do Cubo:

dx

Área A

q _x

q _x dq _x

⋅ A ⋅ dx ⋅ c _p ⋅ ∂ T

∂ t



E ˙

= q  _x

E ˙

−  q _x  dq _x 

E ˙

 ˙ q A  ⋅ dx

E ˙

sendo dq _x =− ∂

∂ x  ^{k A ∂ ∂ T x}  ^{⋅ dx}

⋅A ⋅ dx ⋅ c _p ⋅ ∂ T

∂ t = ∂

∂ x  ^{k ∂ ∂ T x}  ^{A ⋅ dx  ˙ q A ⋅ dx}

∂ T ∂

 ^{∂ T} 

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Equação de Difusão de Calor com Variação de Área

●

Balanço de Energia na seção do abaixo:

dx

q _x q _x dq _x

⋅ A ⋅ dx ⋅ c _p ⋅ ∂ T

∂ t



E ˙

= q  _x

E ˙

−  q _x  dq _x 

E ˙

 ˙ q A  ⋅ dx

E ˙

sendo dq _x =− ∂

∂ x  ^{k A  x  ∂ ∂ T} x  ^{⋅ dx}

⋅A  x ⋅ dx ⋅ c _p ⋅ ∂ T

∂ t = ∂

∂ x  ^{k⋅ A  x ⋅ ∂ ∂ T x}  ^{dx  ˙ q A  x ⋅ dx}

⋅ c ⋅ ∂ T

= 1 ∂

 ^{k⋅ A  x  ∂ T}  ^{ ˙ q}

Áre a

A(x)

de Calor . Vicente Luiz Scalon

⋅ c _p ⋅ ∂ T

∂ t



E ˙

= 1 r

∂

∂ r  ^{k⋅ r ∂ ∂ T r}  ^ _r ^{1 2 ∂  ∂}  ^{k ∂ ∂  T}  ^{ ∂ ∂ z}  ^{k ∂ ∂ T z} 



E ˙

− ˙ E

 ˙ q 

E ˙

(2.20)

Condução de Calor Unidimensional

●

Regime Estacionário Equação geral

●

Sem geração de Energia

●

Fluxo de Calor unidimen- sional (radial)

d

d r  ^{k⋅ r d T d r}  ^{= 0}

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Solução geral da Equação Unidimensional com Temperaturas de Parede Conhecidas

 ∫ _{d r} ^d  ^{r d T d r}  ^{dr = ∫ 0 dr C 1}

d T

d r = C ₁ r

∫ ^{d T} _{d r} ^{dr =C 1 ⋅} ∫ ¹ _r ^{dr  C 2  T  r =C 1 ⋅ ln  r  C 2}

Condução de Calor em Geometrias Cilíndricas resulta em perfil logarítmico de temperaturas d

d r  ^{r d T d r}  ^{= 0}

Considerando k constante:

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Solução para o caso de Parede de Tubo com Temperaturas Conhecidas

T

T

r = r

 T  r

=T

r

 T  r

=C

⋅ ln r

C

C ₂ =T ₁ −C ₁ ⋅ ln r _i (I)

r = r

 T  r

=T

 T  r

=C

⋅ ln  r

 C

 T

=C

⋅ ln r

  T

− C

⋅ ln r



C₂(I)

r _i r _e

 T

−T

=C

⋅ ln r

−ln r



C

= T

− T

ln  ^r

/ r



T  r =T ₁  T ₂ −T ₁

ln  r / r  ln  r / r _i 

C

= T

 T

− T

ln  ^r

/ r

 ^{ln  r}

^ 

ln





de Calor . Vicente Luiz Scalon

Cálculo do Fluxo de Calor

Com base na Lei de Fourier :

q = − k A ∂ T

∂ r = − k A d

d r _ [ ^{T 1  ln T  2 r −T e / r i 1  ln  r / r i } ]

T  r 

q =− 2 ⋅⋅ k⋅ L

ln  r _e / r _i  ⋅ T ₂ − T ₁ = 2 ⋅⋅ k⋅ L

ln  r _e / r _i  ⋅  T ₁ − T ₂ 

 T

q = −k⋅  A

2 ⋅⋅ r ⋅L

⋅ T ₂ −T ₁ ln  r _e / r _i 

d

d r ln  r =−k⋅ 2 ⋅⋅ r ⋅ L ⋅ T ₂ − T ₁ ln  r _e / r _i 

1

r

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Definição de Resistência

Térmica em Cascas Cilíndricas

Do apresentado anteriormente é fundamental pode-se definir o conceito de resistência térmica:

q =  T

R _term  R _term =  T q Para o caso de Cascas Cilíndricas:

R _term =  T

q =  T 2 ⋅⋅ k⋅ L

ln  r _e / r _i  ⋅ T

R _term = ln  r _e / r _i 

2 ⋅⋅ k⋅ L

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Coeficiente Global é útil em trocadores de calor!

Coeficiente Global de Transmissão de Calor

h _2, T _{∞ ,2}

R

R

R

h _1, T _{∞ ,1}

q =U _r ⋅A _r ⋅   T

T

−T

U _i ⋅ A _i = U _e ⋅A _e = 1 R _eq q =   T

T

−T

R _eq ∧

T

T

r

r _i r _e

IMPORTANTE: Para sistemas radiais é necessário escolher uma área de referência (Ai ou Ae) para definir o coeficiente global U

IMPORTANTE: Para sistemas radiais é necessário escolher uma área

de referência (Ai ou Ae) para definir o coeficiente global U

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Coeficiente Global é útil em trocadores de calor!

Coeficiente Global de Transmissão de Calor

h _2, T _{∞ ,2}

R

R

R

h _1, T _{∞ ,1}

q =U⋅ A ⋅   T

T

−T

U⋅ A= 1 R _eq q =   T

T

−T

R _eq ∧

T

T

r

r _i

r _e

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Observações importante sobre geometrias cilíndricas

●

Não existe condução pura na direção radial em geometrias cilíndricas não vazadas.

●

caso exista condução na direção axial, não existe variação de área e o problema é

tratado como geometria plana.

●

soluções envolvendo condições de contorno de 2ª e 3ª espécies são resolvidos através de circuitos térmicos.

●

apenas condições de 2ª espécie não

permitem a solução do problema

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Espessura Crítica de Isolamento

R R

h ,T _∞

r _e r

R _eq = R _isol  R _conv R _eq = ln  r _e / r _i 

2 ⋅⋅ k⋅ L  1

h ⋅  2 ⋅⋅ r _e ⋅ L 

A

Analisando a dependência de R

com o r

:

●

A resistência de convecção é inversa- mente proporcional a área (r

)

●

A resistência de condução é direta-

mente proporcional a área (r

)

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Análise de R _eq por suas derivadas

∂ R _eq

∂ r _e = 1

2 ⋅⋅ k⋅ L ⋅ ∂ ln r _e −ln r _i 

∂ r _e  1

h ⋅ 2 ⋅⋅ L 

∂ 1 / r _e 

∂ r _e

∂ R _eq

∂ r _e = 1

2 ⋅⋅ k⋅ L ⋅ 1

r _e  1

h ⋅ 2 ⋅⋅ L   ^{− r 1 e 2} 

Analisando a dependência de R

com a derivada em relação a r

:

Buscando o ponto crítico:

∂ R _eq

∂ r _e = 0  1

2 ⋅⋅ r _c k⋅ L = 1

h ⋅ 2 ⋅⋅ r _c ² ⋅ L  r _c = k _isol

h _conv

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Análise do Resultado

∂ ² R _eq

∂ r _e ² = ∂

∂ r _e  ^{1 k − h ⋅ 1 r e}  ^{= h ⋅ 2 r} _e ^{2 0 } Ponto de Mínimo

Assim para um determinado dispositivo:

●

se R

< R

, um aumento de espessura r

provoca

aumento da dissipação de calor (diminuição da resistência térmica)

●

se R

= R

, tem-se a máxima dissipação de calor

●

se R

> R

,um aumento de espessura r

provoca

efeito isolante (aumento da resistência térmica)

de Calor . Vicente Luiz Scalon

Comportamento da R _eq em

Sistemas Cilíndricos