Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Problema de Transporte. Exemplo Protótipo

Prof. Geraldo Nunes Silva

Estas notas de aula são Basedas no livro:

“Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3^a ed., 1988”

Agradeço a Professora Gladys Castillo do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro por ter permitido a utilização de alguns slides

preparados pelo um grupo de pessoas de seu departamento

Aula de Hoje

• O método Simplex Aplicado ao problema de transporte (PT).

 Definição e apresentação sobre forma de rede.

 Formulação do caso equilibrado e não equilibrado.

Exemplos

 Propriedades fundamentais

Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Problema de Transporte. Exemplo Protótipo

Um dos principais produtos da firma Lactosal é o leite.

Os pacotes de leites são empacotados

em 3 fábricas e depois são distribuídos de caminhão

para quatro armazéns Conhecendo os custos de transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades de produção de cada fábrica, pretende-se:

OTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DIÁRIO DO LEITE.

Problema de Transporte. Exemplo Protótipo Problema de Transporte. Exemplo Protótipo

Os dados dos custos de uma carga de leite para cada combinação fábrica-armazém e das ofertas (produção) e procuras, em cargas de caminhão/dia, são os seguintes:

24 cargas diárias de leite devem ser produzidas e

distribuídas 24 cargas diárias

de leite devem ser produzidas e

distribuídas

Custo por carga de caminhão

Armazéns

Fábricas 1 2 3 4 Oferta

1 1 2 3 4 6

2 4 3 2 4 8

3 0 2 2 1 10

Procura 4 7 6 7

Minimizar z = x₁₁ + 2 x₁₂ + 3 x₁₃ + 4 x₁₄ + 4 x₂₁ + 3 x₂₂ + 2 x₂₃ + 4 x₂₄ + 2 x₃₂ + 2 x₃₃ + x₃₄

sujeito a:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃+ x14

=

⁶

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃+ x24

=

8 x₃₁ + x₃₂ + x₃₃+ x₃₄

=

¹⁰

x₁₁ + x21 + x31

=

⁴

x₁₂ + x22 + x32

=

⁷

x₁₃ + x23 + x33

=

6 x₁₄ + x24 + x₃₄

=

7

x_ij  0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Minimizar z = x₁₁ + 2 x₁₂ + 3 x₁₃ + 4 x₁₄ + 4 x₂₁ + 3 x₂₂ + 2 x₂₃ + 4 x₂₄ + 2 x₃₂ + 2 x₃₃ + x₃₄

sujeito a:

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃+ x14

=

⁶

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃+ x24

=

⁸

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃+ x₃₄

=

¹⁰

x₁₁ + x21 + x31

=

4 x₁₂ + x22 + x32

=

7 x₁₃ + x23 + x33

=

⁶

x₁₄ + x24 + x₃₄

=

⁷

x_ij  0 ( i=1,2,3; j=1,2,3,4 )

Formulação do Problema de Transporte.

Formulação do Problema de Transporte.

Exemplo Protótipo.

Exemplo Protótipo.

Custo por carga de camião Armazéns

10 1

2 2 0

3

7 4 4 4

4 4 1 1

7 3 2 2

6 2 3 3

Procura

8 2

6 1

Oferta Fábricas

Custo por carga de camião Armazéns

10 1

2 2 0

3

7 4 4 4

4 4 1 1

7 3 2 2

6 2 3 3

Procura

8 2

6 1

Oferta Fábricas

x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₁₄ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄ x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄

A= A=

Matriz de Restrições do Problema de Transporte.

Matriz de Restrições do Problema de Transporte.

Exemplo Protótipo.

Exemplo Protótipo.

A matriz das restrições do problema de transporte para o exemplo protótipo apresenta a seguinte estrutura:

Fábricas

Fábricas ArmazénsArmazéns

11 11

22 22

33 33

11 11

22 22

33 33

44 44

c₁₁ x₁₁

c₃₄ x₃₄

Problema de Transporte sob a forma de Rede.

Problema de Transporte sob a forma de Rede.

Exemplo Protótipo.

Exemplo Protótipo.

Cargas de leite Cargas de leite Cargas de leite

Cargas de leite Unidades de um produtoUnidades de um produtoUnidades de um produtoUnidades de um produto 3 fábricas3 fábricas

3 fábricas3 fábricas m origensm origensm origensm origens 4 armazéns

4 armazéns 4 armazéns

4 armazéns n destinosn destinosn destinosn destinos Produção da fábrica

Produção da fábrica i Produção da fábrica

Produção da fábrica i aa aa_ii oferta da origem _ii oferta da origem oferta da origem ioferta da origem iii Procura no armazém

Procura no armazém j Procura no armazém

Procura no armazém j b b bb_jj procura no destino_jj procura no destinoprocura no destino jprocura no destino j j j Custo de transporte

Custo de transporte por carga da fábrica por carga da fábrica i

para o armazém para o armazém j Custo de transporte Custo de transporte por carga da fábrica por carga da fábrica i

para o armazém para o armazém j

cc_ijij custo por unidade custo por unidade transportada da origem transportada da origem i i

para o destino para o destino jj cc_ijij custo por unidade custo por unidade transportada da origem transportada da origem i i

para o destino para o destino jj

Problema de Transporte.

Problema de Transporte.

Do Exemplo ao Modelo do PT

Do Exemplo ao Modelo do PT

xx_ijij cargas a distribuir cargas a distribuir da fábrica

da fábrica i

para o armazém para o armazém j xx_ijij cargas a distribuir cargas a distribuir

da fábrica da fábrica i

para o armazém para o armazém j

xx_ijij unidades a unidades a distribuida origem distribuida origem i i

para o destino para o destino jj

xx_ijij unidades a unidades a distribuida origem distribuida origem i i

para o destino para o destino jj Determinar o plano o plano

ótimo de distribuição ótimo de distribuição

diária do leite

diária do leite das fábricas pelos

armazéns tendo como objetivo a a

minimização do custo minimização do custo

total total

Determinar o plano o plano ótimo de distribuição ótimo de distribuição

diária do leite

diária do leite das fábricas pelos

armazéns tendo como objetivo a a

minimização do custo minimização do custo

total total

Determinar o plano o plano ótimo de distribuição ótimo de distribuição

desse produto

desse produto das origens pelos destinos tendo como objetivo a minimização do custo minimização do custo

total total

Determinar o plano o plano ótimo de distribuição ótimo de distribuição

desse produto

desse produto das origens pelos destinos tendo como objetivo a minimização do custo minimização do custo

total total

Problema de Transporte.

Problema de Transporte.

Do Exemplo ao Modelo do PT

Do Exemplo ao Modelo do PT

Oferta total = Procura total Oferta total = Procura total

Destino

Origem 1 2 … n1 2 … n Oferta 11

22

.. .. ..

mm

aa₁₁

aa₂₂

.. . . . .

aa_mm Procura bb1 1 bb2 2 … … bb_nn aa_{i i} ==  bb_jj

cc₁₁₁₁ cc₁₂₁₂ cc_1n1n

cc₂₁₂₁ cc₂₂₂₂ cc_2n2n

cc_m1m1 cc_m2m2 cc_mnmn

x

x₁₁₁₁ xx₁₂₁₂ …… xx_1n1n xx₂₁₂₁ xx₂₂₂₂ …… xx_2n2n

xx_m1m1 xx_m2m2 …… xx_mnmn

.. .. ..

.. .. ..

. .. .. .

Um problema de transporte está equilibrado se a oferta total é igual à procura total, caso

contrário está não equilibrado.

Problema de Transporte. Caso Equilibrado.

Problema de Transporte. Caso Equilibrado.

Oferta total = Procura total Oferta total = Procura total

Destin Orige o

m

1 2 3 4 1 2 3 4 Oferta

1 1 2 2 3 3

6 6

8 8 10 10 Procura 4 4

7 7

6 6

7 7 24 24 =24 =24

11 22 44

44 33 44

xx_{11 11} xx_{12 12} xx₁₄₁₄ xx_{21 21} xx_{22 22} xx₂₄₂₄

33 xx_{13 13}

22 xx_{23 23}

00 22 11

xx_{31 31} xx_{32 32} 22 xx₃₄₃₄ xx_{33 33}

Para o exemplo protótipo a oferta total é igual à procura total . Este problema está equilibrado.

Problema de Transporte.Caso equilibrado.

Problema de Transporte.Caso equilibrado.

Exemplo protótipo

Exemplo protótipo



 



^m

i

n j

ij ij

x c z

1 1



 n



j

i

ij

a

x

1

 0 x

ij

m i 1 , 2 ,..., , 

n j 1 , 2 ,..., , 

Minimizar sujeito a:

restrições de oferta

n j 1 , 2 ,..., , 



 m



i

j

ij

b

x

1

restrições de procura

m i 1 , 2 ,..., , 

Problema de Transporte.

Problema de Transporte.

Formulação como problema de PL.

Formulação como problema de PL.

Origens

Origens Destinos Destinos

c₁₁ x₁₁

c_ij x_ij

c_mn x_mn

a a

₁₁

a a

_ii

a a

_mm

b b

₁₁

b b

_jj

b b

_nn

11 11

ii ii

mm mm

.. .

.. .

11 11

jj jj

nn nn

.. .

.. .

Esta figura ilustra o problema de transporte sob a forma de rede representados por nós e arcos.

Os nós representam as origens e os destinos e

os arcos representam os percursos das origens aos destinos através dos quais o produto pode ser transportado.

Problema de transporte sob a forma de rede.

Problema de transporte sob a forma de rede.

O problema de transporte apresenta uma estrutura especial evidenciada pela

disposição das restrições:

A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1)

e zeros (0) . Cada variável x_ij tem como

coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e

outro na linha relativa ao destino j

A matriz dos coeficientes das restrições é apenas constituída por uns (1)

e zeros (0) . Cada variável x_ij tem como

coeficientes apenas 2 uns : um na linha associada à origem i e

outro na linha relativa ao destino j

x₁₁ x₁₂ ... x_1n x₂₁ x₂₂ ... x_2n … x_m1 x_m2 ... x_mn

A= A=

^{. .. .}

. .

.. . . . .

restrições dos destinos restrições das

origens

Problema de Transporte.

Problema de Transporte.

Estrutura especial da matriz de restrições.

Estrutura especial da matriz de restrições.

Destin Orige o

m

1 2 … n 1 2 … n n+1 n+1 Ofert a 1 1

2 2

. . .. . .

m m

a a

₁₁

a a

₂₂

.. . . ..

a a

_mm

Procura b b

1 1

b b

2 2

… … b b

_nn aa_{i i} -- bb_jj

cc₁₁₁₁ cc_{12 12} cc_{1n 1n} cc₂₁₂₁ cc_{22 22} cc_{2n 2n}

cc_{m1 m1} cc_m2m2 cc_mnmn xx_{11 11} xx_{12 12} … … xx_{1n 1n}

xx_{21 21} xx_{22 22} … … xx_{2n 2n}

xx_{m1 m1} xx_{m2 m2} … … xx_{mn mn}

.. .. ..

.. . .. .

.. . .. .

00 00

00

xx_{1 n+1 1 n+1} xx_{2 n+12 n+1}

xx_{m n+1 m n+1}

Adicionar destino fictício

Problema de Transporte.

Problema de Transporte.

Oferta total superior à procura total

Oferta total superior à procura total

Oferta total superior à procura total.

Oferta total superior à procura total.

Exemplo 1: Plano de Produção.

Exemplo 1: Plano de Produção.

Uma multinacional produz aviões comerciais para diversas companhias de aviação. A última etapa no processo de

produção é a produção de motores seguido da sua instalação no avião.

Para cumprir os contratos estabelecidos deve ser determinado o plano ótimo de produção dos motores para os próximos quatro meses.

os custos em milhões de dólares

Oferta total superior à procura total.

Oferta total superior à procura total.

Exemplo 1: Plano de Produção.

Exemplo 1: Plano de Produção.

Os dados para o plano da produção para os quatro meses futuros são os seguintes:

Mês Instalações programadas

Produção máxima

Custo unitário de produção

Custo unitário de

armazenamento

1 10 25 1.08

2 15 35 1.11 0.015

3 25 30 1.10 0.015

4 20 10 1.13 0.015

Oferta total superior à procura total.

Oferta total superior à procura total.

Exemplo 1: Plano de Produção.

Exemplo 1: Plano de Produção.

Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:

 Origem i - produção de motores no mês i

(i =1,2,3,4)

 Destino j - instalação de motores no mês j

(j=1,2,3,4)

 xij - quantidades de motores produzidos no mês i a serem instalados no mês j

xij = 0, se i>j (primeiro produzir, depois instalar)

 cij - custo por unidade de produção e armazenamento

cij= M, se i>j, como não existe custo real associado com estes dados, podem ser penalizados com um M arbitrariamente grande.

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃+ x₁₄  25 x₂₁ + x₂₂ + x₂₃+ x₂₄  35 x₃₁ + x₃₂ + x₃₃+ x₃₄  30 x₄₁ + x₄₂ + x₄₃+ x₄₄  10

Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de folga para converte-las em restrições de igualdade.

Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada em cada mês . Como estas restrições são de desigualdade é preciso introduzir variáveis de

folga para converte-las em restrições de igualdade.

Isto significa que é preciso introduzir um destino fictício, em que as variáveis de folga representam a capacidade de produção não utilizada em cada mês .

Oferta total superior à procura total.

Oferta total superior à procura total.

Exemplo 1. Restrições de ofertas.

Exemplo 1. Restrições de ofertas.

As restrições de oferta correspondem à produção de motores para cada mês i. Estas restrições são de desigualdade

limitadas pela capacidade máxima de produção por mês.

0.015 1.10

30 25

3

10 35 25 Produção

máxima

1.13 1.11 1.08 Custo unitário de produção

20 15 10 Instalações programadas

0.015 4

0.015 2

1

Custo unitário de armazenamento Mês

0.015 1.10

30 25

3

10 35 25 Produção

máxima

1.13 1.11 1.08 Custo unitário de produção

20 15 10 Instalações programadas

0.015 4

0.015 2

1

Custo unitário de armazenamento Mês

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁+ x₄₁ = 10 x₁₂ + x₂₂ + x₃₂+ x₄₂ = 15 x₁₃ + x₂₃ + x₃₃+ x₄₃ = 25 x₁₄ + x₂₄ + x₃₄+ x₄₄ = 20

Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes

a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal

como no método do “big M”.

Como é impossível produzir motores num mês determinado para serem instalados num mês anterior, todas as variáveis de decisão correspondentes

a i >j devem ser nulas. Para obter isto, é preciso penalizar os custos correspondentes a estas variáveis com um M arbitrariamente grande, tal

como no método do “big M”.

Oferta total superior à procura total.

Oferta total superior à procura total.

Exemplo 1. Restrições de procuras.

Exemplo 1. Restrições de procuras.

As restrições de procura correspondem ao plano de

instalação para cada mês

j

. Estas restrições são de igualdade, correspondendo ao número de instalações requisitadas para cada mês.

0.015 1.10

30 25

3

10 35 25 Produção

máxima

1.13 1.11 1.08 Custo unitário de produção

20 15 10 Instalações programadas

0.015 4

0.015 2

1

Custo unitário de armazenamento Mês

0.015 1.10

30 25

3

10 35 25 Produção

máxima

1.13 1.11 1.08 Custo unitário de produção

20 15 10 Instalações programadas

0.015 4

0.015 2

1

Custo unitário de armazenamento Mês

3030 Destino

Origem 1 2 3 4 1 2 3 4 55 Oferta

11 22 33 44

2525 3535 3030 1010 Procura 10 10 1515 25 25 2020 3030

1.080 1.080

xx₁₁₁₁ xx₁₂₁₂ xx₁₄₁₄ xx₂₁₂₁ xx₂₂₂₂ xx₂₄₂₄

xx₁₅₁₅ xx₂₅₂₅ 1.095

1.095 1.1101.110 1.1251.125 xx₁₃₁₃

M

M 1.1101.110 1.1251.125 1.1401.140 xx₂₃₂₃

M

M MM 1.1001.100 1.1151.115 xx₃₁₃₁ xx₃₂₃₂ xx₃₃₃₃ xx₃₄₃₄ xx₃₅₃₅

MM MM MM 1.1301.130 xx₄₁₄₁ xx₄₂₄₂ xx₄₃₄₃ xx₄₄₄₄ xx₄₅₄₅

00 00 00 00

Este problema reformulado como problema de transporte apresenta o seguinte quadro:

Os custos são calculados tomando os dados dos custos

de produção e de

armazenamento. Por exemplo para a variável xx_{24 24} que

representa o número de motores produzidos no mês 22

a serem instalados no mês 4, 4, o custo correspondente c₂₄ = 1.11 + 0.015+0.015

=1.140

Os custos são calculados tomando os dados dos custos

de produção e de

armazenamento. Por exemplo para a variável xx_{24 24} que

representa o número de motores produzidos no mês 22

a serem instalados no mês 4, 4, o custo correspondente c₂₄ = 1.11 + 0.015+0.015

=1.140

Como a oferta total é superior à procura total foi adicionado um destino fictício com uma procura igual a: Oferta Total -Procura Total = 100 -70 = 30 u.

Oferta total superior à procura total.

Oferta total superior à procura total.

Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.

Exemplo 1. Quadro do problema de transporte.

Destin Orige o

m

1 2 … n 1 2 … n Oferta

1 1

2 2

.. . . ..

m m m+1 m+1

a a

₁₁

a a

₂₂

.. .. . .

a a

_mm

Procura b b

1 1

b b

2 2

… … b b

_nn

  b b

_{j j}

- -   a a

_ii

cc_{11 11} cc₁₂₁₂ cc_1n1n cc_{21 21} cc₂₂₂₂ cc_2n2n

cc_{m1 m1} cc_{m2 m2} cc_mnmn xx_{11 11} xx_{12 12} … … xx_{1n 1n}

xx_{21 21} xx_{22 22} … … xx_{2n 2n}

xx_{m1 m1} xx_{m2 m2} … … xx_{mn mn}

.. .. ..

.. . .. .

.. . .. .

_{xxm+1,1 m+1,1} ⁰⁰ _{xxm+1,2 m+1,2} ⁰⁰ _xx ⁰⁰

m+1,n m+1,n

… …

Origem fictícia

Problema de Transporte.

Problema de Transporte.

Oferta total inferior à procura total

Oferta total inferior à procura total

Oferta total inferior à procura total Oferta total inferior à procura total

Exemplo 2: distribuição de recursos de agua.

Exemplo 2: distribuição de recursos de agua.

Uma empresa administra a distribuição de água de uma região. Para isto é preciso canalizar a água de 3 rios que estão situados fora da região e distribui-la para 4 cidades.

Agora o gerente da empresa pretende distribuir toda a água disponível dos 3 rios para as 4 cidades, de forma a pelo menos satisfazer as necessidades essenciais de cada uma, minimizando o custo total.

Os dados dos custos e requerimentos para o plano de distribuição de água são os seguintes:

os custos por unidade de medida.

 A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas

 A cidade 3 tem uma fonte independente da água que satisfaz as suas necessidades mínimas

O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível.

Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.

O rio 3 não pode fornecer a cidade 4, o que significa nos termos do problema de transporte que este percurso é impossível.

Neste caso é preciso penalizar este percurso com um M arbitrariamente grande.

A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.

A cidade 4 aceita toda a água que seja possível enviar além da sua necessidade mínima de 10 u.m.

Oferta total inferior à procura total Oferta total inferior à procura total

Exemplo 2: distribuição de recursos de água.

Exemplo 2: distribuição de recursos de água.

Cidade

Rio

1 2 3 4 Fornece

1 16 13 22 17 50

2 14 13 19 15 60

3 19 20 23 - 50

Necessidades

mínimas 30 70 0 10

Procura 50 70 30 

Oferta total inferior à procura total Oferta total inferior à procura total

Exemplo 2: distribuição de recursos de água.

Exemplo 2: distribuição de recursos de água.

Este problema pode ser reformulado como um problema de transporte, tomando como:

 Origem i – o rio i (i =1,2,3)

 Destino j – a cidade j (j=1,2,3,4)

 x_ij - quantidade de água a enviar do rio i para a cidade j

 c_ij - custo unitário da distribuição da água do rio i para a cidade j

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃+ x₁₄ = 50 x₂₁ + x₂₂ + x₂₃+ x₂₄ = 60 x₃₁ + x₃₂ + x₃₃+ x₃₄ = 50

Oferta total inferior à procura total Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de ofertas.

Exemplo 2. Restrições de ofertas.

As restrições de oferta correspondem às restrições dos rios (origens). Como deverá ser distribuída toda a água disponível dos 3 rios, estas 3 restrições são de igualdade, uma para

cada rio.

10 0

70

Necessidades 30

mínimas



- 15 17 4

50 23

20 19

3

70 13 13 2

30 19 22 3

50 14 16 1

Procura

60 2

50 1

Fornece Cidade

Rio

10 0

70

Necessidades 30

mínimas



- 15 17 4

50 23

20 19

3

70 13 13 2

30 19 22 3

50 14 16 1

Procura

60 2

50 1

Fornece Cidade

Rio

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁  50

Cidade 1

Cidade 1: procura > necessidade Cidade 1

Cidade 1: procura > necessidade

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁  30 limite inferiorlimite inferior limite superior limite superior

Cidade 2

Cidade 2: procura = necessidade Cidade 2

Cidade 2: procura = necessidade

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ = 70 x₁₃+ x₂₃ + x₃₃  30

Cidade 3

Cidade 3: procura > necessidade Cidade 3

Cidade 3: procura > necessidade

limite superior limite superior

Cidade 4

Cidade 4: procura > necessidade Cidade 4

Cidade 4: procura > necessidade

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄  10 limite inferiorlimite inferior

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄  60 limite superiorlimite superior O limite superior para a cidade 4 pode ser calculado

como a diferença entre a oferta total (50+ 60+50=160) e a soma das necessidades mínimas para as restantes

cidades (30+ 70 =100)  160 - 100 = 60160 - 100 = 60 unidades.

(a quantidade máxima que pode receber a cidade 4 )

Oferta total inferior à procura total Oferta total inferior à procura total Exemplo 2. Restrições de procura.

Exemplo 2. Restrições de procura.

As restrições de procura determinam a quantidade de água que deve ser fornecida a cada cidade, e têm limites superiores e inferiores (exceto a cidade 2, onde coincidem a procura com a necessidade

mínima).

10 0

70

Necessidades 30

mínimas



- 15 17 4

50 23

20 19

3

70 13 13 2

30 19 22 3

50 14 16 1

Procura

60 2

50 1

Fornece Cidade

Rio

10 0

70

Necessidades 30

mínimas



- 15 17 4

50 23

20 19

3

70 13 13 2

30 19 22 3

50 14 16 1

Procura

60 2

50 1

Fornece Cidade

Rio

Cidades

Origem 1 2 1 2 3 4 3 4 Oferta Rio 1

Rio 1 Rio 2 Rio 2 Rio 3 Rio 3 Rio Rio FicticioFicticio

5050 6060 5050

5050 Procura 50 50 7070 30 30 6060

1616 1313 1717

1414 1313 1515

00 00 00

xx₁₁₁₁ xx₁₂₁₂ xx₁₄₁₄ xx₂₁₂₁ xx₂₂₂₂ xx₂₄₂₄

xx₄₁₄₁ xx₄₂₄₂ xx₄₄₄₄ 2222

xx₁₃₁₃

1919 xx₂₃₂₃

1919 2020 MM

xx₃₁₃₁ xx₃₂₃₂ 2323 xx₃₄₃₄ xx₃₃₃₃

00 xx₄₃₄₃

Como a oferta total é inferior à procura total foi adicionada uma origem fictícia com uma oferta igual a:

Procura Total -Oferta Total = 210 -160 = 50 unidades.

Oferta total inferior à procura total Oferta total inferior à procura total

Exemplo 2. Quadro do problema de transporte.

Exemplo 2. Quadro do problema de transporte.