Lourdes de La Rosa Onuchic e Nora Gomes Allevato
Wagner Marcelo Pommer
Diante de um problema matemático, o aluno terá diversas opções para a solução, poderá debater sobre qual é a melhor estratégia. Com a metodologia tradicional, ao se deparar com um problema não correlacionado, um aluno, geralmente aquele que mais gosta de matemática, pode não conseguir desenvolvê-la por estar acostumado a ter que memorizar os passos. Segundo Ribeiro (2010), um problema matemático não precisa ser um problema complexo que levará horas para ser resolvido.
Podemos trabalhar com um problema simples retirado de um livro do 5º ano do ensino fundamental, por exemplo, algo que pode ser resolvido rapidamente desde que contextualizado de forma coerente e também de forma que ajude o solucionador a aprimorar seus conceitos matemáticos através do problema. Quando falamos em contextualizar um problema, queremos dizer que um problema não contextualizado pode não despertar a devida curiosidade ou entusiasmo. Segundo o discurso oficial (BRASIL, 2002), o exemplo do ponto b, por ser um problema contextualizado, pode gerar maior curiosidade no aluno e, no entanto, é mais apropriado do que o problema do ponto a.
Queremos que o aluno entenda como usar o conceito EDL, por isso é importante que haja um problema onde o aluno possa criar um ambiente, quem sabe até se imaginar dentro do problema. A questão da resolução de problemas (VAN DE WALLE, 2009) é muito discutida quanto ao seu uso no ensino de Matemática, mas nem sempre fica claro o que é um problema. Para Onuchic e Allevato, um problema é “tudo aquilo que não se sabe fazer, mas que tem interesse em fazer” (ONUCHIC e ALLEVATO, 2011, p. 81).
Existem vários conceitos matemáticos (RIBEIRO, 2010) que foram estudados ou desenvolvidos a partir de uma necessidade, um problema cotidiano em que o solucionador precisava de curiosidade, dúvida e vontade de resolver. Vamos levar em conta que nem sempre o aluno conseguirá resolver o problema proposto, pois é necessário um conhecimento prévio de acordo com o conceito que o problema exige. Se um aluno do ensino primário pretende resolver uma tarefa sobre EDL, ele já deve compreender o conceito de MDC, para compreender, por ex. algoritmo.
Nota Histórica
Segundo Boyer (2010) e Eves (2011), enquanto os matemáticos babilônios se preocupavam com soluções aproximadas de equações definidas até o terceiro grau, a obra de Diofanto, Arithmetica, enfatizava as soluções exatas de problemas indeterminados. A Aritmética foi a obra mais importante de Diofanto e consiste em 13 livros dos quais apenas 6 sobreviveram, incluindo a solução de 130 problemas. No primeiro livro as equações são encontradas determinadas em uma incógnita, e no outro as equações indeterminadas de segundo grau ou superior são encontradas em duas ou três incógnitas.
Diofanto estava interessado em soluções racionais positivas, então problemas algébricos indeterminados nos quais apenas soluções racionais devem ser encontradas foram chamados de problemas de Diofanto. Apesar do interesse de Diofanto por soluções racionais, as equações indeterminadas de primeiro grau, que admitem apenas soluções inteiras (as equações de Diofanto podem ser vistas neste trabalho), por extensão aos problemas de Diofanto, também homenageiam o algebrista grego. Milies e Coelho (2006) argumentam que Fermat5 deveria ser homenageado por ser o primeiro a chamar a atenção para soluções estritamente inteiras em 1657.
Inclusão do Conceito no Ensino Básico
Assim, concluímos que desenvolver um problema envolvendo uma equação polinomial de primeiro grau com duas incógnitas é mais construtivo (não necessariamente mais fácil, dependendo do problema) com o conceito EDL do que com tentativa e erro. Formalize o conceito de divisibilidade para que os alunos percebam que se o resto de 𝑎 dividido por 𝑏 for zero, então 𝑏 divide 𝑎. Isso significa que é possível distribuir todos os livros entre os alunos de forma que todos recebam a mesma quantia e não sobra nenhum livro.
Formalizar o conceito de equações diofantinas lineares além de entender quando uma equação permite uma solução inteira. Para determinar quando uma equação diofantina linear não tem solução inteira, ou seja, os alunos devem observar que devido ao fato de mdc(18,12) não ser divisível por 400, a equação não tem solução no conjunto dos inteiros. O jogo visa estudar algumas equações diofantinas lineares de forma dinâmica e divertida, para que os alunos entendam o que é uma equação diofantina linear e quando ela possui solução inteira.
Nosso objetivo foi saber como seria de fato a aplicação da metodologia problematizadora nos conteúdos da EEA para melhor prepará-los para o ensino fundamental. O jogo foi desenvolvido em apenas um dia, conforme roteiro de Onuchic e Allevato (2011), com o objetivo de verificar se os alunos conseguiam perceber quando uma equação diofantina linear tem solução inteira. Temos que 𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦 = 𝑐 é uma equação diofantina linear, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são inteiros e 𝑎 e 𝑏 não são ambos zero.
Nosso objetivo foi discutir a questão acima envolvendo uma equação diofantina linear e as possibilidades de obtenção de uma solução inteira. Após o jogo concluímos que é possível trabalhar o conceito EDL através da metodologia de resolução de problemas utilizando o roteiro de Onuchic e Allevato (2011). Através deste trabalho, justificamos a importância do conceito de EDL para alunos do ensino básico e mostramos o quanto este conceito permite aos alunos aumentar as suas possibilidades de estratégias para resolver uma equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, através de um argumento matemático adequado para usar e não apenas o método de tentativa e erro, normalmente utilizado.
Nesta pesquisa, apresentamos uma proposta de sequência didática que inclui os conceitos de EDL e o método de resolução de problemas. Com base na nossa proposta, fizemos a ligação entre o conceito EDL e o método de resolução de problemas através do jogo Escova Diofantina.
Definições, Propriedades e Teoremas
Problemas Propostos
Lúcia comprou 20 pirulitos e os dividiu entre seus 3 filhos para que cada um recebesse a mesma quantidade. Assim, Lucija não poderá distribuir todos os pirulitos para que cada criança receba o mesmo número. Com a resolução, verificamos que ela poderá distribuir 6 pirulitos para cada criança, deixando mais 2.
Sabendo que cada aluno terá que receber a mesma quantidade de livros que os demais, é possível que todos os livros recebidos sejam distribuídos. Verifique a possibilidade de todos os livros recebidos serem distribuídos aos alunos em quantidades iguais para que não sobre nenhum. Um lojista deseja distribuir 84 maçãs e 70 laranjas entre várias sacolas para doar a pessoas carentes de forma que cada pessoa receba uma sacola.
Sabendo que cada saco deve ter o mesmo e o maior número possível do mesmo tipo de fruta, quantas pessoas podem ajudar o comerciante. Descubra quantas pessoas vão receber a fruta, ou seja, determine quantos saquinhos são necessários para que toda a fruta seja dividida em partes iguais, para que cada saquinho tenha o maior número possível de frutas e também que cada saquinho tenha apenas um tipo de fruta. Várias equipes devem ser formadas com o maior número possível de funcionários para que todas as equipes tenham o mesmo número de funcionários.
Perceba que o número de funcionários para compor as equipes no final do ano é dado pelo máximo divisor comum entre 48 e 30. Quantos funcionários irão compor as equipes para que cada equipe tenha o maior e igual número de funcionários. Para determinar o número de times, como no problema 3, basta dividir 48 e 30 por 6 e somar os respectivos quocientes.
Desenvolvimento da Aplicação do Jogo
Depois de escritas as combinações lineares, um elemento de cada par ia ao quadro para registar as equações obtidas, desta forma tínhamos três colunas: uma com as combinações com a carta Ás, outra com as combinações com a carta 2 e outra com as combinações com a letra 3. Com as comparações colocadas no quadro, verificou-se que existe a possibilidade de escrever o 15, ou seja, podemos fazer uma escrita numérica usando números diferentes pela soma e multiplicação entre esses números, com isso definimos o conceito de combinação linear. Demos continuidade ao jogo e entregamos aos alunos mais duas tabelas idênticas (figura 6.2) contendo todas as equações possíveis encontradas no jogo.
Pedimos que marcassem na primeira tabela todas as equações que tinham solução em nosso jogo, e na segunda mesa pedimos que marcassem todas as equações que tivessem solução com baralhos infinitos, ou seja, que tivessem solução dentro do conjunto de inteiros não negativos. Assim pretendemos que os alunos peguem equações com soluções e equações sem solução (no conjunto dos números inteiros) e trabalhem com o conceito de divisor e máximo divisor comum. Carlos perguntou se mdc(𝑎,𝑏) deve necessariamente dividir 𝑐 quando a equação diofantina tem solução inteira, ele pegou as equações que observou enquanto desenvolvia o jogo com e sem solução inteira e verificou que todas se encaixam nesse raciocínio.
Após alguns minutos de reflexão, os pares disseram que sim, todas as equações com soluções inteiras têm mdc(𝑎,𝑏) dividindo 𝑐. Acreditamos que essa aplicação na educação básica levará um pouco mais de tempo do que na turma em que aplicamos, mas sabemos que o jogo pode ser desenvolvido através da metodologia proposta, cabe ao professor responsável pela aplicação seguir as etapas e orientar os alunos sobre os fundamentos do ciclo no jogo. Além dos conceitos matemáticos vistos com um EDL mencionados neste trabalho, notamos a possibilidade de o aluno também ter contato com outros conceitos matemáticos, conceitos que podem ser vistos através do estudo do EDL, como progressão aritmética (para o ensino médio ) alunos), comparação dos sistemas de linha e linear 2x2 (já visto no ensino fundamental).
Apresentamos também a importância de estudar um determinado conceito através da metodologia de resolução de problemas, como um aluno pode produzir entendimento sobre conceitos descobrindo-os através de um problema em um contexto real. Assim, conseguimos responder a outra questão do nosso trabalho, além de nos apoiarmos no artigo de Onuchic e Allevato (2011), também nos baseamos nos PCN+ (BRASIL, 2002) para justificar a importância da metodologia de solução de problemas. Conseguimos atingir nosso objetivo com este trabalho respondendo às nossas perguntas iniciais, relatando a facilidade de estudar EDL na educação básica, discutindo a importância da metodologia de resolução de problemas ao aprender um novo conceito e mostrando que existe a possibilidade de ensinar EDL com esta metodologia.
