XXIV Congresso de Iniciação Científica
Teoria dos números: Um breve exemplo da utilização da Criptografia em um sistema de cofres.
Aluno-autor: Eliton Mendonça Moro, Orientador: Profa. Dra. Carina Alves, UNESP Rio Claro, Matemática, e-mail do aluno-autor: elitonmoro@hotmail.com, bolsista PET.
Criptografia, congruência, números primos
Introdução
A criptografia estuda os métodos para codificar uma mensagem e um dos métodos mais simples consiste em substituir uma letra pela sua letra consecutiva. Mas este método é simples de ser decodificado, pois com um simples método de contagem podemos quebrar o código, sendo assim, surge o anseio de se criar uma criptografia impossível de ser quebrada por aqueles que não possuam a chave de decodificação.
Neste trabalho vamos tratar o problema de abrir um cofre de um banco protegido por uma senha S, que é dividida entre n funcionários do banco.
A cada funcionário vai ser dada uma parte da senha de um conjunto D de n pares de inteiros positivos. Queremos determinar S de modo que um número mínimo de funcionários k<n tenha que estar presentes no banco para que o cofre seja aberto.
Deste modo, impomos que as seguintes condições sejam satisfeitas:
∙ qualquer subconjunto de D com k elementos deve ser capaz de achar S facilmente;
∙ S seja muito difícil de ser achado conhecendo menos de k elementos.
Para acharmos quais os melhores valores de S, e os melhores elementos de D, usaremos o teorema chinês do resto, teorema de Fermat, entre outros.
Material e Métodos
Para resolver este problema, começamos escolhendo um conjunto E de n inteiros positivos, dois a dois primos entre si. Seja N o produto dos k menores números de E e M o produto dos k-1 maiores números de E.
Suponhamos que N>S>M. O conjunto D será formado pelos pares da forma (m,Sm) onde m pertence a E e Sm é a forma reduzida de S módulo m. Suponhamos que mais de k funcionários se encontram no banco. Isto equivale a dizer que são conhecidos t dentre os pares de D, onde t>k.
Denotaremos estes pares por (mi,Si), i=1,...,t.
Vamos resolver o sistema de congruências:
xΞSi (mod mi), i=1,...,t
obtendo x como solução. De acordo com o teorema chinês do resto,
xΞS (mod m1,...,mt).
Mas será que x e S são iguais?
A resposta para essa pergunta, o caso t<k e o valor de D, que nos diz quais são as senhas a serem distribuídas, serão abordadas neste trabalho.
A metodologia abordada foi a usual para esta linha de pesquisa, a saber: levantamento bibliográfico, estudos individuas e seminários com a orientadora.
Resultados e Discussão
O problema se baseia em achar o maior valor de S, sendo que a partir de k senhas seja possível achar S e, ao mesmo tempo, que menos de k valores seja muito difícil achar S. Devemos levar em consideração que em um banco pode haver funcionários corruptos, e este a partir de sua senha possa abrir o cofre, dai vem a importância do número de funcionários e o número mínimo de funcionários necessários para abrir o cofre. Se este último for grande, é menos provável que haja esse mesmo número de funcionários corruptos. A dificuldade de encontrar S está relacionada ao fato de que qualquer pessoa hoje em dia pode fazer um programa para calcular a senha deste cofre e assim roubá-lo. Mas temos que lembrar que nenhum sistema é perfeito, pois nossa senha existe e é fixa (pelo menos em um período mínimo de tempo), então se por um acaso um ladrão utilizar um programa que por coincidência utilize padrões que descubra rapidamente a senha do cofre, não teremos mais como impedi-los.
Conclusões
Neste trabalho foi feito um estudo sobre a utilização da criptografia em um sistema de cofres.
A dificuldade desta questão é achar primos grandes o bastante, de tal modo que um programa computacional demore muito tempo para calcular os possíveis resultados de S e testá-lo,
Agradecimentos
Agradeço a minha orientadora Profa. Dra. Carina Alves e ao PET(Programa de Estudo Tutorial), pelo auxilio financeiro cedido.
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1 COUTINHO S.C. Números inteiros e criptografia RSA.Série de Computação e Matemática n. 2, IMPA e SBM, segunda edição (revisada e ampliada), 2000.
