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Porto ,'l•-'(Jre, .::?. de sctembn Jc l98l.

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RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I - ISOMORFISMO DE DE RHAM ... . .. . . . . . . .. . . . . . .. . . . 6

I . 1 - COBRIMENTO DE SUPERF!CIE ... . .. .. .. .. . . . . . .. 8

I . 2 - CURVAS, POLIGONAIS E HO~'IOTOPIA ENTRE CURVAS. 16 I . 3 - INTEGRAÇÃO DE FOJUviAS DIFERJJNCIÃVEIS . . . . . . . . 22

! .4 - ISOMORFISMO DE DE RHAM .. . .. . . . . •. . . . . . . . . . . 30

I I - DECOtviPOSIÇÃO DE l-FORMAS DIFERENCIÁVEIS FECHADAS EM UMA SUPERF!CIE DE RIEMANN COi'-1PJ\CTA . . . . . . . . . . . . . . . 39

II . 1 - FORMAS HARMONICAS . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

I I . 2 - O ESPAÇO L (S2 ) . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 11. 3 - DECOMPOSIÇÃO DO ESPAÇO L 2 (S) . . . . .. . . . . 48

II . 4 - OPERADORES REGULAR! ZANTES E LHIA DE \\'EYL . . 52

I) .. 5 - DECOMPOSIÇÃO DE FORMAS f.ECILI\OAS . . . . . . . . . . . 60

III - DIFERENCIAIS DE 1! ESP~CIE NUMA SUPERFICIE DE RIE- tv!ANN COMPACTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1 I I .1 - 1-FOR~·IAS DIFERENCIAIS A VJ\LORES COMPLEXOS. 64 l i 1. 2 - DIFERENCIAIS DE 1~ ESPfCIE . . . . . . . . . . . . . . . 66

III .3 - GENUS DE UMA SUPERF!CIE DE RIEMANN COMPAC- TA . . . • . . . . . . • . . . • . . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . • . . 68

BIBLIOGRAFIA

... .. . . ... ... .. .. . ... . . .. .. ...

₇₂

Apresentamos uma prova elementar dos teoremas de De Rham e de Hodge. Como aplicação, provamos que a dimen- são do espaço das formas diferenciais de 1! esp6cjc, numa su- perfície de Riemann compacta, ~ o genus da superfície.

ABSCTRACT

An elementary proof of thc theorems of De Rham and Hodge is presented. As an application, we also prove that the dimension of the space of the first kind diffcrcntial fonns, on a co~pact Riemann surfacc, is the gcnus of the surface.

O objeti vo deste trabal ho é a determinação da dimensão do espaço das diferenciais de 1! espécie numa super- fície de Riemann compacta, sem usar triangulaç6cs.

No primei ro capitulo, parte mais importante do trabalho, temos uma demonstração do teorema de De Rham para superfícies compactas (não necessariamente de Riemann) e for- mas de grau 1 usando sistematicamente como 19 grupo de cohomo- logia, o grupo dos homomorfismos do grupo fundamental no gru- po dos números reais .

No segundo capítulo , vemos que se R é uma su- perfície de Riemann compacta, toqa forma fechada em R pode ser

decompó~ta de manei ra Única como soma de uma forma harm6ni ca e uma forma exata em R (t eorema de Hodge) .

No terceiro capitulo defini mos diferenci al de 1~ espécie e mostramos que a dimensão complexa do espaço das

a - . ...

di ferenc i ai,s de 1- espec 1.e numa super f.1 c i p d c Riemann compac- t a é o genus da superfície.

Agradeço aos professores e colegas que torna- ram possivel a real izaçio deste trabalho.

Em especial, agradeço ao Prof. tv1arcos Sebastia- ni pela orientação segura e constante , ao Prof. Jean-Paul Bras- selet e ao Prof . Luiz Fernando Carvalho da Rocha pelas criti- cas e sugestões feitas ao trabalho e à Profa. Cármen SÍlvia Salis Fagundes pelo permanente incentivo, desde o meu i ngres- so no Curso de Matemitica.

Agradeço, tamb~m, aos meus pais e ao meu mari- do pelo estímulo ao estudo.

SejaM uma variedade conexa compacta de classe Coo c dimensão dois. Sejam H1.(M,J() o espaço dos homomorfismos do grupo fundamental de M no grupo dos nGmcros reais c H~R(M)

o espaço quociente do espaço das formas fechadas em M m6dulo o subespaço das formas exatas.

Neste capitulo mostraremos que a função

I : II~R (i-.l) ~ li~ (~! ,!R) dada por

I (w) (y) (onde w é uma forma fechada e ^y é uma curva fechada) é um i s o- morfismo .

Os tr~s primeiros parãgrafos serao destinados a apresentaç.ão de definições e algumas propriedades de super- :fícies, curvo.s na superfície e integração de formas numa su- pcrfície , que serão necessãrias i demonstração de que I

isomorfismo, o que será feito no quarto parágrafo:

-

e um

No primeiro parágrafo apresentamos urna parti- cular cobertura de uma superfície compacta ~I por d] scos para- métricos (Proposições l c 2) .

No segundo par~grafo definimos curva poli gonal em uma superfíci e e mostramos que toda curva fechada na super- fície compacta M é homot6pica a uma poligonal em M (Proposi- ção 3) .

No terceiro parágrafo, definimos a integração de formas exatas e fechadas ao longo de uma curva em uma su- perfície qualquer N e mostramos algumas propriedades (Propo- sições 5 e 6) .

O leitor , estando familiari:ado com estes re- sultados, poderá ler diretamente o quart o parfigra[o.

I. 1 - COBRilv!ENTO DE SllPERf.IC I E

Definiremos superfície como sendo uma varieda- de diferenciável de dimensão dois c classe C^00, que seja cone- xa e com base enumerável.

Se a é um ponto do espaço métrico ~!,D~,1^{(a, r) (res-} pectivamente, UM(a,r)) denotará a bola aberta (respectivamen- te fechada) de centro a e raio r . Se ~I é o espaço u~² , escre- veremos simplesmente D(a,r) .

OBSERVAÇÃO 1: Lembramos que a supcrficie acima definida admite uma métrica riemanniana.

LEtviA 1:

Sejam, A, J3 abertos do R 2 e r um num e r o rC'al po-

sitlvo, tais que:

tal que:

o E A c B c E c D(o,r) .

Então, existe um difeomorfismo tjJ:D(o,r) ___. D(o,3)

(i) l)J(o) ==o

(ii) o"

ll l)l(z)ll

^{< 2, se}

z

^{E. B}

(iii) 1 -~

li

1jJ (z)

li

^< 2, se z ~ B-A

(iv) 1 ~ 11 tP(z) 11 < 3, se z E. D(o,r)-1\. Prova: Sejam o < a < b < r tais que

D(o,a) c A c B c

R

c D(o,b)

Seja 6 ^> o satisfazendo 6 ^< a c ^{õ <} 1.

Existe uma função f : R~ R estritamente crescente c de elas- se C co tal que:

f(x) x, se x ~ [o,ô]

f(a) = 1, f(b)

=

2 e f(r) = 3

1 1)

/

b f\

Definimos a funça-o ,,, _'I' : DCo,r) -~ OCo _, 3) _' por

tiJCz)

=

fC!Izll)

Â

^Cl)

Temos que tjJ é de classe C⁰⁰ fora da origem, pois f o e . Além disso, se ll zll < ó, temos que :ECjjzjj) = jjzjj , c daí

tjJ(z)

=

z, se llz l! < õ.

Portanto, ~ é de classe C^00•

Como a função f é estritamente crescente, f e inversível c f -l é de classe C^00•

Consideramos a função ~JJ

1

^{:D(o, 3) - - D(o,r}), dada por

u

11

u

li

^C2)

Por argumento anilogo ao usado para mostrar que tjJ é de classe C^00, t emos que ~l é de classe C^00• Mais ainda, tjJl é a inversa da função ~. Com efeito, ele (l) , (2) e do fato de que (-l (p) -;;o, se p ~ o, temos que:

- 1

tjJ ( tjJ 1 ( u ). ) = f

c

^{f -~ Cll u li ) )}

u

f-l C

llul l)

ljUli_

f-1

CJJull)

=

^{li u}

li

^{u = u.}

11 u li

Ana 1 o g ame n te , l);

1 ( 1)J ( z) )

=

z .

Resta mostrar que tjJ satisfaz as condições (l) , (ii), (Ui) c (i v) .

(i) I)J(o) =o, pois vimos que I)J(z) =

z,

^se 11

zll

^< ó. (ii) Se z E B, o~

llz 1 1

^{< b,}

e

^portanto,

o ~ li 1jJ ( z) li < 2 , pois o ~ f C 11 z li ) < 2 . (iii) Se z E. 8-A, a< !l z 11 < b, e portanto,

l ~

li

^{IJ! C z)}

li

^{< 2 , pois 1} ~ f C

li

^z

li )

^{< 2 .}

(iv) Se

z

^{E. D(o,r)-A, a <}

1 1 zll

^< 3, e portanto, 1 ~ 11 1p(z)ll ^< 3.

PROPOSIÇÃO 1:

Seja M uma superfície compacta. Existe uma co- bertura aberta

u

₁^{, .. . , U de M e um} sistema de paramctrizações

m locais

<!>i : DCo,3) __.. u.'

1 1 = 1,2, .. . ,m, tal que : m

(j) l\1 = U c!>. (D(o ,l)) . 1 1

1=

(ii) Se c!>i (D(o,l)) f\ <~>j(D(o,l))

r

^{<t>. então <1>j} (D(o,l)) c <t>.i (D(o,2)) i , j = l , Z, . . . ,m

Prova:

Escolhemos em t-1 uma métrica de Ricmann e notamos d~

1

^{a distân-}

cia em M.

Seja {h. ,V. }

1 . k sistema de parametrizações locais de }\1, onde

1 J. . ~.L~

V. c M é aberto c

1

' ' '

~v., i = l,2, . . . ,k.

1

V. em ~1··tais que v. c V. c V. , i = 1, . . . ,k e

l 1 l l

I '

Existem abertos

M =

k

u

i=l v. ' _l ^{onde V.} ₁ ^{e o fecho do aberto V} ₁ ^.•

Seja K.

l

t al que

-1 _ ,

h. (V.) . Como K. c D(o,3) e compacto, cxi.ste p . > o

1 1 · ]. l

d(Ki, a(D(o ,3))) > pi ' onde d é a métrica eu- clidiana em R2

e a(D(o,3)) denota a fronteira do disco D(o,3) .

-1 ^I

A rest rição de h. n

v.

^c uni formcmcntc contí-

1 1

nua. Daí, existe ô. > o tal que

1

-1 -1 d(h. (x), h. (y))

l 1 ó. ,

l

Seja, agora, _{V" _{. } . k} cobertura aberta ^de

1 1 = 1 . . . . •

M t al que

e seja o <

V'.' c V'.' c V'. ,

1 1 1

À. < min

1

Dado x ~ M, existe i tal que x ~ V'.'.

1

De (3) e (tJ), temos que:

-1

hi (DM(x, f.i)) c D(hi 1

Cx), pi) c D(o, 3) .

c

^{4) .}

Definimos Ux = hi (D(h-1 i (x), pi)) . lJx e 11ma vlzinhançn aberta

de x em M tal que

de x)

Temos que:

Seja À = m1n

1~i~k

À. (observemos

1

D~,

1

^{(x,{-) c}

^1\,

^{1(x, Ã) c Ux c Vi}

que /.. independe

-1 À -1 -l

Portanto, hi CDtv

1^Cx,4 )) c hi (D)\

1^{(x,À)) c} 1\ CU) = -1

D(h. Cx),D .)

J. l

Pelo lema l , existe um difeomorfismo C⁰⁰

-1 - 1

1/J : h. CU) = D(h. Cx) ,p.) - • D(o, 3) t<ll que:

X 1 X 1 1

(i) I/Jx(h-1

1 (x)) = o

(i i) O ~

li

t/1 X ( Z)

li

^< 2 , Se Z ~ h~ ^{l ( D M (X , À) )}

(iii ) 1 ~ ^{lll/lx(z) 11 < 2, se z c<:} hi¹ CDrv

1

^{(x,>,))-hj'1 CD~}

1

^{(x .+)) (5)}

(iv) 1:;: III/Jx(z)ll < 3, se z G

hi

¹

Cllx)-hi

¹

CD~ 1 ^(x, +n

Consideremos a aplicação ~x:D(o , 3)~ Ux dada por

<!> =h. o 1!1 - 1

X 1 X

Por (5) e pelo fato de h. ser pararnetr] z.ação Joca1 de ~~ segue

1

que :

a) ~x é.yarametrização local

b) <llx(o) = hi o ^t/Jx -1 (o) = x

c) Se <t>x(D(o,l))

n

^{<t>y(D(o,l) ) I ~. e n t -a o d ~I ( x , y) ~} ₄ ^{À +} ₄ ^{>. =} ₂ ^À

~ y (D

c

^{o ,} 1 )) c. 0~1

c

^X. À) -1

hi (hi (D)\

1(x, À))) c

c 4>x(D(o,2)), pois h. (t/1 -1 (D(o,2))) .

1 X

d) M = U

XE: M

<l>x(D(o,l)), e, pela compac idade ele M, existem

...

⁾

OBSERVAÇÃO 2:

X .;;:: M

m ^{tais que} m

M = U <1>

i=l xi

not. (D(o,l))

m

U <Pi(D(o, l )).G i = 1

Sejam ^N superfície qualquer ^{c {<!!. , U.} .} ~~

l 1 lC.: IV

sist ema de parametrizações locais de N, onde

<I>. : D (o, 3) -~ u. , i ^E N.

l l

As imagens em N de discos do H2, pelas parametrizaçõcs locais, serao denotados por

B. (<!>.(a), r) ==<f. (D(a,r)) e, por abuso ele lin-

l 1 1

guagem, serao chamados disco centrado em <!>. (a) c de raio r .

l

O ponto <l>i (a) , será chamado centro do disco Bi (<l>i (a), r), i ^c:;.: N.

Se o ponto a for a origem, notaremos simplesmente B. (r)= <!J. (D(o,r)) .

1 1

LEMA 2:

Sejam X espaço métrico compacto; A,B c X abertos e K,L c X fechados tais que K c A e L c B, e U c X aberto tal

que K n L cU. Entio , existem abertos A' ,B' c X t ais que :

K c A' c A, L c B' c B e K f\ L c A' ( \ B' cU.

Prova: Sejam

A _n {xc: X; dx(x,k) ^<

n)

^{1 l}

l (6)

B ll {x.;;;. X; d X (x,L) <

nJ

A n' Bn ^{c X} sao abertos, para todo n E: N, c ' cxjste n É.

o - IN tal que , para todo n _~ n o'

K·c _A

n c ^A e ^L c ^B n c J3 • Suponhamos ,que para todo n ~ no, exista x

11,tal q uc X n ré A

n nB _n e X _n <Í

u.

(7)

Como X ~ comiJacto, existe uma subseqU~ncia {x } de {x l tal

nk n"

que x converge para um ponto a. nk

Por (6) , temos que para todo ^kr.:. N,

dx (xn ' ^{K) <}

-

¹ _'

k nk

dx (xn ' ^{L) < 1}

k nk

Daí, dx (a,K) = dx(a,L) = o, e portanto, a ^E. K n L cU

Como U ~ aberto, xn estiem U, para todo k suficientemente k

grande, o que contradiz (7) . Logo, existe s ^{~ ~} tal que

K c A

s c A ^L c B

s c B e A

s ^{(\ B} s ^c u

Fixado tal _s' definimos A' = As e ^B' = B

s ^Cll

PROPOSIÇÃO 2:

Seja M superfície compacta. llsando a notação da observação 2, suponhamos que para todo par ordenado de nG- meros naturais n,m =l,2, ... ,k, tais que B

11(1) n B (1) f- 9, se

m tenha um nGmero ç(n,m) de maneira que:

ç(m,n) + r;(n,r) + ç(r,m) =o, (8)

sempre que Bm(l) (\ Br(l) :f <J> , Bn(l) r--.. Br(l) f <P e n;/1) í'\~n(l) f- <P Então, existem funções f : B (3) - R ele classe Cw, tais que

n n

fm(x) - f

11 (x) = r; (n ,m), p<.na todo ponto x ( 9) em uma vizinhança aberta ele IT (1) n B (1), se l3 (1) n IT (l) f- <l>·

n m n m

Prova:

Existe f₁: B

1 (~) ~R de classe Coo tal que f 1 ^(x)

=

1, se x~B

1

⁽¹⁾

f 1 (x) = o, se x ~ B

1 (3) - n

1 (2) f 1 (B

1(3)) c [o,l] .

l

^{' ~\~\.~ 6;t.c~s ~-}

~J~ó ~ ~oj

Suponhamos que se tenha definido ^{~0ca Ss\o'\~~}

f . : 13. ( 3) - H, ¹ = 1 , 2 , . . . , n , Je c 1 asse c'-",

l 1

satisfazendo (9) .

Sejam Ui, j as vizinhanças abertas de IT i (l) n Bj (1) , i , j

=

1, 2, ... , n~ que podemos tomar tais que

U . . c B

1. (2) (\ BJ. (2)

1,)

Seja {V. }._1 2 familia de abertos em M, tais que:

1 1 - , , • . ?m

IT. (l) c V. c V. c B.(Z) e V. n V. cU . . , i,j

1 1 l 1 1 J l , J 1, 2, . . . , m

(a existência de tal família de abertos decorre do lema 2 c da

finitude) . Sej a

n

u i =l

{V.;

1 TI. ₁ (1)

n

^B _{n+ 1}^{(1) f <P} .}

Definimos a aplicação g: unn Bn+l (3) ~R, por g(y)

=

fi(y) + ç(i, n+l), se ^{y E} V. () B

1(3) (\ U .

- 1 n + n

g está bem definida, l)ois se )'E- V i n V j f\ U 11 · ' "'B n ⁺ 1 (3) '

então U . . f cp. Logo iJ. (l) ('I 13. ⁽¹⁾ f ^cf> e, por (8) e (9), tc-

1 , J l J

mos que :

f i(y) - fj (y) = ç(j,i) =

=

r;(n+l, .i.)+ t;(j, n+l), c, consc- qUentemente,

fi(y) + ç(i , n+l) = fj(y) + ç(j, n+l).

A funçãri g e de classe C~, porque 6 localmente de c1assc.Cw. Consideremos o conjunto

n K11

=

U

l =l

Existe uma função

{lL(l);

l Bi(l) (\ Bi,n+J(l) f <P} .

~fechado em B _n +l(3).

fn+l : Bn+l (3) __., R de classe Cco tal que

fn+l g em uma vizinhança aberta W deK (IB

1(1), cmJ3

1(3), talqucWcU (\B

1(3) .

n n+ n+ n n+

Como B. ₁ (1)

n

^lJ _n+ 1(1) c

vl. (\

Kn (\ BI1+l(l) c

vl.

_, ^1"\ l

w .

V.()Wé

1 uma vizinhança aberta de 13. (1) (\TI ₁ (1) tal que

1 n+

f11+

1(x) - fi(x) = g(x) - fi(x)

=

r;;(i, n+l) pa- ra todo ponto x em v. ₁

n

^{W. \:i)}

! .2 - CURVAS, POLIGONAIS E HO~IOTOPIJ\ ENTRE CUR- VAS

Seja N urna superfície qualquer.

DEFii\IÇÃO 1:

(i) Uma aplicação contínua y : [a,b] + t\ é chamada uma curva em N.

(ii) A curva y : [a,b]-+ N tal que y(a) y(b) c chamada uma curva fechada em N.

(iii) A curva y : [a, b] -+ N e dita diferenciável (seccionalmen- te diferenciável) se a funç5o y 6 difcrcncifivcl (rcspcc- tivamente seccionalrnentc diferenciável) (por difcrenciâ- ,;-e:l se entende de classe C^{00) .}

DEFINIÇÃO 2: Sejam y ,ó: [a,b] ⁺ N curvas tais que y(b) = ó(a) . (i) o produto ou a composição das curvas y e ó, 6 ^a curva

y. ó : [a , b

J

⁺ N dada por :

y. ó(t) ^y (2 t-a) , se a ~ t _~ a+b

-,.---

y. cS(t) o (2 t-b) ' se a+b

-y- ^{~ t ' < b.}

(ii) a inversa da curva y e y -¹ (t) = y (b+a-t)

a curva y ^-1 [a, b] ⁺ N dada por:

DEFINIÇÃO 3: Dadas duas curvas y ,t- : [a,b] -+ N, tais que

y(a) Ã(a)

y(b) À(b),

dizemos que y e À são homotópicas em N,

se existe urna função contínua F: [a,b} x [o,lj + N tal que:

(i) F(a,s) = y(a) À(a), o~ s ~ 1 (ii) F(b,s) = ^y(b)

=

À(b), o ~ s ~ 1 (iii) F(t,o)

(iv) F(t,l)

LEMA 3: Sejam

-

y (t)

À (t)

v

c R2

y,ó :

a ~ t ..::; b

simplesmente conexo

[a, b) +

v

e

a,S [o , 1] +v, ^{CU TV} aS tais

a (o) ó (a) e a (1)

=

^{y C a)}

s(o)

o (

^b) e 8(1) ⁼ y

c

b) .

que:

Existe uma f unção contínua G: [a,b] x [o,l] +V, tal que:

G(t,o) =

o

^{(t) a ~ t $. b}

G(t,l) = ^{y (t)} a $. t ^:(: b. (lO) G(a,s) = a(t) o $. s ~ l

G(b,s) S(s) o ~ s ^..::; 1

Prova:

Seja A c R2 o bordo do retângulo

[a, b

J

^X [o ',1

J

^{e seja}

G:A ^-4> V .função dada por G(t,o) == ô(t)

G(t,l) = y(t) G(a,s) = a(s) G(b,s)

=

^B(s)

A função G e ^, G(a,o) = G(b,o)

=

G(a,l) ⁼ G(b,l)

a <

' ^t .:s b

;) _~ t <

' b

o ~ s

"" ¹ o ~ s _~ 1

contínua, pois

o

(a)

=

^a(o)

<S ( b) ⁼ s(o)

y(a)

=

a(l)

Y (b) = e(l)

a, B, y e _õ sao contínuas c

Corno V~ simplesmente conexo, G pode ser cxtendido continua- mente ao interior do retângulo, satisfazendo (10) . 11

Seja N superfície qualquer com sistema de parametrizaç6cs lo-

c a i s { $ . , 13 . ( 3) } . ~~~

1 1 1 E. I~ <J>. : D(o,3) - - B-(3), tal que

1 1

N= U B. ( l) . i~N ¹

SejaS o conjunto elos centros dos discos B. (1) , i ~ N; isto c,

l

S

=

^{{p. ; p.}

=

^<J>

1. (o), 1ç: N}

1 1

DEfiNIÇÃO 4: Dois pontos p. , p. ~ S são di tos vi zinhos se

1 J

13. (1) f\ B".(l)

t

^{q, .}

1 J

Para cada dois pontos vizinhos pi.pj, fixemos uma curva

y _1, . _J . :

fo.,

¹

J -

^N seccional mente di f e rene i ii v c 1 t :11 que:

(i) (i i ) (ii.i.)

y. . 1, J

y. .

1 'J

y. . 1 , J

(o) = p. e y . . (1) = p.,

1 1 , J . J

C[o,l]) c B. (l) U B. (l)

1 J

= y . . -1 J ' 1

(ll)

DEFINIÇÃO 5: Cada curva y. . definida em (11), se rã chamada

1 , J

segmento orientado em N com origem no ponto p. c extremida-

1

de no ponto pj' e tamb~m seri denotado (pi,pj]

DEf-INIÇÃO 6: Sejam ... , nk ~ !N tais que pn. e p n . 1

J J+

são vizinhos, j

=

l , 2, . .. , k-1 . 1\ curva

y : [o,l] - - N dada por y =

seri chamada poligonal em N com v6rtices p

11 , p

11 , • • • , p

11 •

1 2 k

SejaM uma superfície compacta. f-ixemos um sjstenw de parame- trizações locais de M {<P. B. (3)}.

1 c1ue satisfaz a r)ro-

1, 1 1= , ••• , 111

posição 1.

OBSERVAÇÃO 3: Daqui em diante sempre que esti.vermos tratando de superfície compacta, usaremos um sistema de pnrametrizações locais do tipo do sistema da proposiçio 1.

PROPOSIÇÃO 3: Seja ~I superfície compacta. Toda curva fechada ê : [o,l] - M com origem em p₁ , 6 homotópica em ~1 a Ll1Tk1. poli- gonal fechada com origem em p

1.

Prova:

Como

m

u

i=l

B. (l)

1 (pela proposição 1 e observação 3) .

existe uma familia de abertos {Vi }i=l,Z, .. . ,m tal que

m

v. c

v.

^{c ]3. (1)}

1 1 1

u v ..

i=l ¹

Se j a o < e: < dM (V i ,

a

^{B i ( 1 ) ) , i} = 1 , 2 , . . . , m ( 12)

Da continuidade uniforme de 6, segue que existe A > o tal que dt-.,₁(ô(s), ô(t)) < s, se jt-sJ <A , para todo

s,t ^E [o,l] (13)

Tomemos uma partiçio do intervalo [o,ll ,

o= t₁ < t₂ < ... < tk = 1, satisfazendo ti+l - ti< ^À (14)

i = l , Z , ... , k - 1

De (12) e (13), segue que: ô ( [ t . , t.

1] ) c B. ( 1) , par a al gum j E:. { 1 , 2 , . . . , m}

1 1+ J

Por simplicidade de notaçio, façamos

ô (

[t . ,

t .

1

1)

^{c B. (1)}

1 1+ l ^l 1 ' 2 ' . . . ' k -1

Sejam 6 (t.)

=

q. 6 13. (l), i = 1, 2, . . . , k; onde

1 1 1

Consideremos a poligonal fechada y: [o,l ] - M , com vértices

p1, ^p2 , · · · , pk = p₁ (esta poligonal existe, pois como

q i ,;: B i _₁ ( 1) n l3 i (l)

t

^{<1> ,} i

=

2 , . .. , k ; p i e p i+ ₁ s ao v i z i- nhos, i = 1, 2, ... , k-1) .

Reparametrizamos a poligonal y de maneira que

y ét.)

=

p . '

·1 1

partição dada em

Temos que :

i = 1, 2, ... , k; onde os t . 's sao os da

1

(14) .

o c r

_{. l} ^{t . • · t} ₁^. _{+ 1}

^{J )}

Sejam B· caminhos em B. (2), unindo o pontb q. ao ponto p.,

1 1 1 1

Como 13. (2) é homeomorfa a D(o,2), para todo i -:::. {l,2, . . . ,k};

1

pelo lema 3, existem funções continuas

F. _]. : [t. , t_{]. ].+} . 1] x [o,

ll -

_- ^B. ₁ ^{( l ) , 1 1,2, . .. ,k-l,}

tais que:

(i) Fi(t,o) = ôl(t)

[ti) ti+d

(ii) Fi(t,l) = y,(t)

[ti) ti+l]

(15)

(iii) F. (t . ,s) = B. (s) ,

1 1 1 o ~ s ~ 1

Consideremos a função F: [o, 1] x [o, l] ^--i> ~I dada por:

F(t ,s) = ^F.(t,s), se t. ::. t ~ t.

1 , ^j =1,2, .. . ,k-1

1 1 ].+ .

F está o~em definida e é contínua, pois cada Fi e contínua e, por (15),

F. 1(t.

1, s),

].+ ].+ o~s ~ l. i=l,2, ... , k-1.

Alim disso, temos que :

(i) F(o,s) F

1(o,s)

s

₁^{(s) = p}₁ ^{, o :S s ~ l}

(ii) F(l,s) = fk_

1(l,s)

=

Bk(s) = p

1, o :S s ~ 1