Sobre a dinâmica dos sistemas holónomos

SOBRE , v - i - V

DINÂMICA DOS SISTEMAS H0LÓN0M0S

1932

IMPRENSA PORTUGUESA

Rua Formosa, lie—PORTO

Dissertação para o concurso a um lugar de professor catedrático da Secção de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto (2.° grupo).

0 trabalho que apresentamos pretende servir os estudantes de Mecânica Racional que desejem tomar contacto com os assuntos versados.

No Curso ordinário da Faculdade faz-se hoje referência a alguns deles; supomos, todavia, que não será inútil o que escre- vemos.

Os quatro primeiros capítulos estão coordenados de modo a pro- porcionarem leitura fácil. No último, fomos forçados a desviar-nos desse propósito, em virtude da extensão que aqueles tomaram.

A correcção das provas, na parte ortográfica e gramatical, foi feita pelo Ex."10 Snr. Dr. Damião Marques de Moura, nosso Amigo

e ilustre Professor de Cálculo Financeiro no Instituto Industrial e Comercial do Porto. Aqui lhe consignamos os maiores agradeci- mentos.

Igualmente nos cabe agradecer à Imprensa Portuguesa e ao seu gerente, Ex.m0 Snr. Doutor Fernão Couceiro da Costa, nosso Colega e Amigo, a perfeição tipográfica da impressão.

Porto, 31 de Março de 1932.

A. ALMEIDA COSTA.

A

DINÂMICA DOS SISTEMAS H0LÓN0M0S

CAPÍTULO I

Princípio de Hamilton. Equações canónicas 1. Generalidades. — Os sistemas materiais de ligações bila- terais, holónomas ou não, que satisfazem à condição dos traba- lhos virtuais, têm os movimentos regidos pela equação geral da Dinâmica

^[(*-»fH-(r-»fH-(*-»,f )*]_<,

Quando as notações e designações que empregarmos neste tra- balho forem as que usam APPELL (1) e LEVI-OlVlTA (2), dis- pensamo-nos de explicá-las pormenorizadamente. Outro tanto faremos quando entendermos que são suficientemente inteli- gíveis.

(1) APPBLL, Trnití d» Mécanique liationnelle.

(2) LEVI-CIVITA, Lezioni di Meccanica Razionale.

2

— / _ \ _ _ = Ç i = l , 2,...,11), dt V dq ) Òqi *

onde estão introduzidos os n parâmetros lagrangeanos q{ o as- forças generalizadas Qr

Existem outras formas condensadas das leis dos movimen- tos dos sistemas em questão, equivalentes, bem-entendido, ao- princípio de D'ALEMHERT, mas que se prestam, por vezes, a enun- ciar propriedades características dos movimentos naturais, as quais não se enunciariam facilmente através da expressão do mesmo princípio. LEVl-ClVITA dedica, no seu tratado de Me- cânica, um extenso capítulo ao estudo dessas formas ou prin- cípios gerais.

Seja um movimento natural do sistema. Definamos uma família qualquer de movimentos síncronos (compatíveis com as ligações), com extremos variados, da qual faça parto o movi- mento natural. Partindo deste, temos a relação

t t " ^1)

( í ) n sãt=r y ( ***** - **

<

'

.- )

- ° >

J'o J 'o , f X

onde 3P(. 6 o vector que leva do ponto P. ao seu variado, Fá ó a força aplicada em P. e a( ó a aceleração do mesmo ponto. E desta relação deduz-se

J ' ^{x d í =} S ^l ( I ^F< ^ ^+lT ) ^dt - ( 2 "'•' ^{Vi m} * ) ' ^=0>

o o <=i i = i 'o

(1) Notaçtto vectorial do livro do ECNELL citado adianto.

pois, sendo v. a velocidade de P., ó Y wi.v.3v =37'. Nao deve igualmente esquecer-se que o símbolo 3 é permutável com d.

O princípio de HAMILTON é precisamente caracterizado pela igualdade

a qual traduz uma condição realizada pelos movimentos naturais em confronto com os movimentos variados síncronos que levam o sistema da mesma configuração inicial à mesma configuração final.

O teorema recíproco resulta de que, sendo verificada a rela- ção anterior, 6 verificada a relação (1), o um raciocínio fácil vai mostrar que ó

n

A

=Z (^.--^^,-)=0-

Temos de verificar que o valor de A è nulo em cada ins- tante T, compreendido entre /0 e tv qualquer que seja o modo como se tenham escolhido as funções 3prf (com a restrição, ape- nas, das ligações).

Seja r o número destas ligações; o número de parâmetros independentes será n—r e as componentes das deslocações oP,- obtêm-se afectando linearmente de coeficientes arbitrários

\i \> • • • i ^ „ _r certas deslocações particulares, em número de n — r. Jlepresentomos com XJ os valores a dar aos Xj no instante t para so obterem os valores previamente atribuídos no mesmo instante às funções 3p^.

Seja t0<.t'<.x'<.t"<.tl; escolhamos os coeficientes \ , de modo que somente sejam diferentes de zero no intervalo (f, i") e satisfaçam à condição anterior. Então

r'"

j «

O primeiro teorema da raódia (cuja possibilidade do aplicação so admite) dá

A*(<" — í ' ) = 0 .

O valor A' de A no instante t será necessariamente nulo, visto que t' e t" se podem escolher tão próximos de x quanto se queira.

Para fazermos uma aplicação imediata (1). consideremos um sistema para o qual ó

í = i i = i < = i

O princípio de HAMILTON dá

£Z(*+*-7)**- ^0í

0 . = 1

e as equações do movimento são, pois,

—Í­B—Qi ( { = 1 , 2 , . . . , » « ) .

dt

ou sejam as equações de LAGRANGE no caso dos sistemas holó­

nomos.

(i) — Para uma intorossanto aplicação do principio do HAMILTON ao Eloctromagnotismo, voja­so «RODRIGO DE BEIRES, A origem das equações

fundamentais da teoria electrónica ». Há, todavia, necessidade duma hipótoso ultorior.

— Para a teoria dinâmica do Eloctromagnotismo, podo vor­so igual­

monto «E. CARVAI.I.O, VÉlectricité déduite de l'expérience et ramenée au prin­

cipe des travaux virtuels» (colocçdo Scientia).

Tratando-so dum sistema conservativo, o princípio de HAMIL- TON exprime-se pela fórmula variacional

85=0, onde

f ! Ldt,

'o

S= Ldt, L=T+U.

A fórmula variacional 85 = 0 não equivale às equações de

LAGRANGE somente no caso dinâmico em referência. Dum modo geral, há equivalência (no sentido preciso já indicado) entre a igualdade

S f ! Lrlt = 0,

Jtn

e o sistema lagrangeano ííonoralizado

(10 A(i!M_^

dt \ dq\ ) dq{

como resultas duma proposição simples do Cálculo das varia- Ç5es (l), ou pode demonsti'ar-se por um método análogo ao que acaba de ser exposto. E este resultado subsiste mesmo que o sis- tema lagrangeano não seja normal, como, por exemplo, no caso de ser L uma função homogénea do primeiro grau nos gr Se, além disso, L é independente do tempo, a equivalência indicada servo para precisar que o sistema lagrangeano ó redutível a um sistema da mesma forma, com n — l equaçQes.

(') Para o método das variaçíios do LAGHANOE podo vor-so «GOMES TEIXEIRA, tomo m do Oumo de Análiu Inftnittiimal», Voja-so igualmente o « Précis» do Boui.l(iANI) citado adianto.

Consideremos os q. como coordenadas dum espaço BH a n dimensões. Uma solução de (1') representa uma curva G de Bneè

J C

a fórmula variacional que define a totalidade das trajectórias.

Tomando q como variável indepondento, temos

Jq°n \ % dq„ J onde g°, gj, são os valores de qn nos extremos de C.

Esta igualdade é equivalente a um sistema lagrangeano, que definirá q^v . . ., <?„_, em função de qⁿ, independentemente do tempo. Subsiste então a possibilidade de juntar ao sistema pro- posto uma lei temporal arbitrária. L E V I - C I V I T A deduz daí as propriedades dos movimentos espontâneos. Não nos alongamos, porque trataremos o assunto por outra via.

2. Convenções. — Para evitar repetições inúteis, anotamos aqui o seguinte: chamaremos sistema S um sistema holónomo, de ligações perfeitas, no qual as forças o as ligações dependem do tempo; sistema 2 um sistema em que esses elementos são independentes do tempo; sistemas 8' e sistemas Et os sistemas análogos para os quais há função de força. Em nenhum caso suporemos que as forças dependerão das velocidades lagran- geanas.

3. Teorema de Cartan. — CARTAN (Leçons sur les invariants intégraux) substitui ao princípio de HAMILTON, no caso dos sis- temas S', um princípio equivalente, como vamos ver.

Exponhamos o cálculo desde o início.

Consideremos uma família do movimentos a um parâme- tro \ o suponhamos quo /„ o <,, bem como os valores iniciais

t=t0 'o -f- f ' [ 8L< - V m (x»tx + y'lly + í"íi) 1 dt,

•que, atendendo às igualdades

0^ = (^-)^ + ^ 0 ^ , . . . , pode escrever-so

{1") Í S = [ « ^1- [ a )íÍ0+ f h f f - Y m í i ç " ^y ' % + í"ír)lrf/,

' 'o

pondo

i»5 = Y »» ( .r'S.r + ^'Sy + ^-'5r) — T - Y m ( a-'2 + y1* + z<' ) — Î71 Si.

A formula (1") demonstra o princípio de HAMILTON e dá 35 = (0)5^ — (<oj)0 quando se parte duma trajectória real e se consideram extremos e tempos variados. Considerando parti- cularmente um tubo de trajectórias descritas no intervalo de tempo (t0, íx), variável com X, como é nula a variação da acção hamiltoniana quando se regressa à trajectória inicial, vê-so que

•o integral 0¾ 6 um invariante integral para as equações do movimento, no sentido preciso seguinte: imaginemos o espaço

dos estados onde as coordenadas correntes sâo (x, y, z, a/, y', z1, <)■

e a variedade dêsse espaço definido pelas ligações; dado um tubo de trajectórias (assentos na variedade), o integral wj é indepen­

dente da curva fechada que faz o contorno do tubo e depende só do tubo.

A expressão diferencial cog dá CARTAN o nome de « tensor quantidade de movimento energia*; o a propriedade demonstrada constitui o princípio a que se aludiu. Veremos, com efeito, que­

ela caracteriza as equações do movimento. Empreguemos os parâ­

metros qi e ponhamos L = T­\­ U. Será

igualdade donde se deduzem as equações de LAGRANGE. Uma transformação já empregada dá ainda

E(S0­(2 ^: *§­*)>i*

­J>[f­I(f)p.

+

donde se conclui, introduzindo a energia generalizada H =

(1)¾ = > 0(7, — Hot.

Mediante a transformação invertível (por hipótese) de­

POISSON

Pi = — ( » = 1 , 2 , . . . , « ) ,

<fy_dff tyj_ òH dt òp{ dt dQj

equivalentes às equações de LAGRANGE.

Vamos estabelecer as equações anteriores, servindo-nos da propriedade indicada do integral coj, o que nos levará à recí- proca que temos em vista. Seja o sistema diferencial

dql dqn dpl dPn dt

<?, ~ Qn Px ' P T _n

onde os denominadores são funções dos p, q, t, que admite o- invariante 1=\ 2,pòq — HM. Imaginemos no espaço dos p, q, t um tubo de curvas integrais parametrado por meio das variá- veis K, -, de sorte que X = const, represente uma curva integral.

Seja « o peiíodo de "k. A variável - pode escolher-se de modo que as curvas x = const, constituam uma sucessão escolhida.

Quando X varia do « a curva T = const, fecha-se. Ao longo duma curva integral ó

Ql T m'

onde \í ó uma função de ponto. A variação ofx corresponde a variação

dl— f _ V (dp^ — dqilpi)+ dlòH—dHU,

nula por hipótese, quaisquer que sejam a curva G e a função \>...

Concluímos

dpi + $5. dl = 0, —dqi+--dt=0, dH- — dt = Q;

Òq. dp{ dt

mas elevemos observar que a última equação é consequência das anteriores.

4. Transformações canónicas. — Um sistema de variáveis Xg, X|| ligadas a p^{, q^v t por 2 ?i equações, leva a um sistema de equações canónicas, se existe uma relação diferencial da forma

2^,-=^/,^,+ ^ + 32,

onde H0 e (-i são funções de todas as variáveis. É o que resulta de ser o sistema de equações canónicas o sistema associado do pfaffiano Y Pftyj — /ZSí. Para ligar este resultado ao princípio de CARTAN, escrevamos a relação

<2) £ ;;,. 57,. - J7SÍ = £ x< Sx,. - ( H - H0 ) Si + Sí>.

Tendo em vista que ao longo duma curva fechada 6 8Í2 = 0, vê-se imediatamente que 6

dx{ Ò(H-J[fí) dx,-

d*{ d(H-H0) dt

Ò(H-J[fí)

dx,- dt dir^

o a forma canónica ó, pois, conservada. A nova função caracte- rística é H—H0.

E clássica uma maneira de satisfazer á relação (2). Seja V uma função dos 2 n + 1 argumentos q, x, t, e ponhamos

dV _ dV

d² F , estas relações, que Se fôr diferento do zero o hesseano

Òq. ÒXj

são invertívois, definem uma transformação canónica. A nova função característica 6 H-\- dV/õt. Quando a função curactorls-

tica é conservada, tem-se uma mudança completamente canónica.

A importância das transformações dos sistemas canónicos leva- -nos a apresentar ainda os dois parágrafos seguintes.

5. Transformações diversas. —Tomando 2?! variáveis quais- quer zlt /2, . . . , z2n ligadas a p, q, t, um cálculo fácil leva às equações transformadas

(3) ^-+[zk,t]+J\-L[zk,zl] = 0,

óz,. í-i dt

onde introduzimos os conhecidos parêntesis de LAGRANGE. Estas dz{

equações são sempre resolúveis om ordem às derivadas — • dt Os parêntesis podem substituir-se (ANDOYER, Mécanique Céleste). Designemos com u, v, ... as variáveis zk, t, e seja K uma função arbitrária de u, v, . •. ; pondo

i

as equações anteriores dão imediatamente

s

àJ.u ^ dz, , àJtb à.T òzk òt Li dt \ òz, dzk 1

Suponhamos que as variáveis z se partem em dois grupos:

dum lado x. o doutro -., sondo J_ = 0 e Jy unicamente função dos z. e do tempo. As equações anteriores cindom-se igual- mente em dois grupos

se pusermos ~' =J.^A, temos o novo sistema canónico

rf~fc _ òH> <l\ _ ÒH'.

<U ò'k dt òr.^

e a transformação será completamente canónica na hipótese J^t=0.

Assim, s9 supusermos os q{ unicamente funções dos x. e do tempo, outro tanto sucedendo a K, não temos mais do que asso- ciar aos x. as variáveis J x . » ^ - " + J P < -rj-, para termos uma transformação canónica. Se os q{ forem lineares e homogéneos dos x⁽., com coeficientes constantes, tomaremos Z = 0, de sorte que, sendo x. = £ Pt -£ , é verificada a relação £ -. x. = ^ p. q,. Estas últimas transformações constituem um caso particular das trans- formações homogéneas, para as quais é Yp^hdq^h= y r.^hdx^h.

6. Aplicação. —Para fazermos uma aplicação da fórmula geral (3), útil em Mecânica Celeste, tomemos o sistema canónico

djci òF rfy,- dF

dt= da;. ( ' - 1 , 2 , . . . , » ) ,

e suponhamos que em F figuram duas séries de parâmetros a', P', . .. dum lado, |i/, v', . .. doutro lado, podendo os da pri- meira série figurar isoladamente e oncontrando-so os da segunda pelas combinações i¥' = m't + \L', N' = n't + v', ..., onde m', n'...

são funções de a', j3',... . Suponhamos mais que, depois de feita a integração do sistema, as constantes de integração se partem em dois grupos análogos a, P , . . . , |x, v, . . . figurando as do segundo grupo sob a forma M = mt+\>., JV=n< + v , . . . ondo m, n, . . . são funções do a, p ,. , ,, «', p', . . . . Quanto às do pri- meiro grupo, podem figurar isoladamente.

Representemos com u, v, ... as quantidades t, «', [}', . .. , M', N',..., a, (3,..., il/, JV, . .. e seja Tf uma função arbitrária de u, v,.... Introduzamos os símbolos 3 e d de derivadas par- ciais, o primeiro a empregar quando as funções se exprimem sem substituir x{, y, pelos resultados da integração, e o outro quando essa substituição se faz. É

du ÒIÍ A-1 \ txi òn òw, ÒH )

e, atendendo ao sistema canónico,

(4) ÈL

K

,

V

[

» ] + Y m> [ M<, «],

OU OU *"J L-x

onde os S S têm significado evidente.

Continuando a empregar as funções J, ponhamos

J

= F + * - %mJ

- J]"

'*

""

onde <1> ó uma função de w, t> Esta relação restringe a função K e, mediante ela, a igualdade (4) escreve-se

dt 8« du £-J òu i-i ou

Atendendo a que é

i •

Z J V dM' Li ' òM> ) vê-so que é

<lK TI , ,i. V *"' rf< ^ ' dl

e esta relação, pondo de parte uma função de a, p a1, j3', . .. r

escolhida que seja a função (I>, determina K.

Se as funções m', n', . .. m, ? i ,... , são identicamente nulas, e tomarmos para (i> uma função independente de t e das cons- tantes de integração, a fórmula (5) mostra que os J J relativos às mesmas constantes (que agora representaremos com jí,, j3 , . . ., P2)l) são constantes. Como consequência, vè-so que a mesma pro- priedade cabe aos parêntesis [j3fc,' |5J. Deste modo, se tomarmos no sistema canónico

dt òyi dt òx{

para novas variáveis as constantes de integração do sistema pri- mitivo, o sistema transformado fica sob a forma

d ( g - F ) , y ( ô \ dJ?j\<l?J_0

áfc, ) dt '

*k y V <ty dPfc

onde sao independentes de tf os coeficientes das derivadas —— • dt O integral generalizado da energia 6 consequência da rela-

„- dF ZF çao — = —.

dt Si

Quando as funções m',..., m,.. . não são nulas, tomemos <I>

unicamente função de a, [3,.. . , a', J3',... . Conclui-se que os «7^

são constantes e que os J^a, J j j ,. .. são funções lineares do tempo, resultado que deve aproximar-se do anterior. O integral da ener- gia 6 substituído do modo seguinte: ó

dJt

~dt

t IF d ( „ ., . , \ - — = — [ F—l m¹ J^M,

Zt dt \ M )

de sorto que, se F não contòm o tempo a não sor por intermédio do M'^t N',. . . , a função F— ^ m'J^M, <5 constante

Passemos agoia a dar algumas proposições gerais relativas- à integração dos sistemas canónicos. Suporemos tratar-se dum sistema da forma primeiramente indicada

^i—ÈE.

-

dl òp{ dt ()</,.

7. Método de Hamilton-Jacobi. — Tomemos para a função V do § 4 um integral completo da equação

.(„ £,.)+f=0.

Um tal integral depende de n constantes x,, x2, .. . , x)( e é dife- . O sistema trans- rente de zero o determinante y =

formado admito o integral geral

òq{ d*j

, , . = 6,,

onde o. e 6(. são constantes. O sistema proposto admite o in- tegral

dV dV

onde os x., TC. são as constantes a., b{.

No caso de ser H independente do tempo, deu POINCARÉ o método seguinte:

Transformemos a equação (G) pela relação V= — Et + W, sondo E constante e W uma função independente do tempo.

Tomos

e basta procurar um integral W dependente de ?! constantes x<

d2\V

e tal que seja y,

àQi àx} 4= 0. O segundo membro deve con- sidérasse uma constante, que mais tarde 6 uma função das

•constantes x..

jACOm procedeu de modo diferente:

Determinemos um integral de (7) que dependa do ?i — 1 cons-

d2\V

tantes e tal que seja y' =

dg{ òxj 4=0 (*,; = !, 2 , . . . , 7 , - 1 ) . Facilmente se verifica, considerando E como a constanto de ordem ??, que é \ $ 0. Suponhamos 41 0- Temos, com L E V I -

-ClVITA,

d2 W 1

dff

dP„

dff d2 II' d ff ò*W

dq[ d/í

-ÍJL

òq.,ÒE

d ff d2 i r

dP„ 00„dxi dJ'n ò(lndy-l òJ>n °1,iÒE

determinante no qual os elementos da última linha podem subs- tituir-se pelos seguintes

dff à*\\ ?\v _{dff à*W dff à-W} y OH v >r Y «ff ° " V dff o » Li dpt òq^' Li dp{ dg,.dx2 ' ' Li ~dp. ' dqt ÒE ' Ora a equação (7) mostra que o primeiro membro è indepen- dente dos qq e das constantes x; depois da substituição do inte- gral TF. Assim, as quantidades anteriores são nulas, à excepção da liltima, que 6 igual à unidade, e podemos escrever

v = v':dff/d;,^(>, donde so conclui o teorema em questão.

Fazendo intervir os integrais completos, há necessidade de

•dar ao monos uma proposição geral que leve à sua determina- ção. Partamos dos resultados seguintes:

são sempre os integrais comuns dum sistema completo de CLEBSCH,

que é equivalente a um sistema jacobiano (GrOURSAT, Cours d'Ana- lyse Mathématique) (*);

|î) A integração dum sistema completo de r equações como as anteriores ó redutível à integração duma equação linear homo- génea cora n— r + 1 variáveis independentes.

8. Sistemas não lineares. — Tratando de sistemas não linea- res, vamos supor, o que é sempre possível, que não intervém a função desconhecida. Seja o sistema

*'i(<cvxil,...,œn;pl,ps,...,pH)=:0, -—-—Pi» («=b 2,..., r<n).

Um integral do sistema é integral das equações (Fa, Fa) = 0, cujos primeiros membros são os parêntesis do POISSON.

Juntando às equações propostas as equações distintas dolas da forma (Fa, i<p) = 0, e repetindo o método sobro o novo sis- tema assim formado, chega a reconhecer-se a impossibilidade do problema ou a formar-se um número m<n de equações tais que as novas relações (Fa, .Fp) = 0'são consequências delas, quando não são relações idênticas. Se ao sistema proposto so substituir o sistema equivalente quo resulta de resolver as equações em

(1) O sisloma cm quostilo diz-so completo, eo os primoiros mombros 'Ins cqunçOos JY,- [ Xk ( f)~] — X,. | A',. ( f)~\ = 0 silo oombinaçCos linoaros dos primeiro! membro* IIUH equn<;.ões do tiistomn. E diz-so jacobiano, so as igiml- dndos aaterlorei sito Identidades.

3

ordem a r das derivadas p{ (o que é sempre possível, como ê- sabido da teoria dos determinantes funcionais), obtemos, por exemplo, o sistema

Pi~ 9{(xii x2f-*xH'>Pr+v- 'P,,) = ° ( i = 1, 2 ,. . . , >•);

e aplicando o método anterior, obtêm-se equações distintas, se não são identicamente verificadas. Resolvendo todas as novas equações em ordem a algumas das derivadas pr4l, ... , pn, cujos valores se substituirão nas equações anteriores, e continuando,.

ou se reconhece que o problema não é possível, ou se formam m<n equações tais que todas as relações (Fa, F$) = 0 são iden- tidades. Somos assim levados sempre a um sistema em involução.

Seja um tal sistema

(8) h — ai ( i = l , 2,...,«),

resolúvel em ordem aos pr onde as constantes a. são quaisquer.

Neste caso de tantas equações quantas as variáveis independen- tes, podemos fazer a integração por quadraturas. Consideremos, na verdade, as n funções p. definidas por (8). E

dxk Y dPl dxk

dFt dFj y ÕF{ dFj òp(

dar»

t dxk dPk ifi ^ÒPI dPk dxk

£ft àPt dpk V dxfc dr, ) dpt dpk

donde se conclui a igualdade = -—i pois é

òxk dxl

rx.F^F, F„) + o

D(pt,pt,...,pH)

Reconhecemos que <** = />, áxi^­pi dx2 + ...+pndxné uma dife­

rencial exacta; e a função z assim definida depende das constan­

tes a. e duma constante aditiva. Se tomarmos agora nas r pri­

meiras equações (8) valores determinados para os «,., chegamos deste modo a formar um integral completo z dessas r equações, o qual depende das n ­ r constantes ar+,,..., an e da constante aditiva. Podemos dispor destas n — r constantes de modo que, se for (x°i} p°) um sistema do valores satisfazendo a Fa=0 ( a = l ,. . . , r), a função z admite derivadas p. que se tornam p°. para xt = x\.

Se fôr

z = <D (asn ..., x„, ar + 1,. . . , an) + an+l,

das relações p.= ­ ­ p o d e m deduzir­se r equações independen­

tes de ar+1, . . . , an. O número dos parâmetros que figuram em <I>

è bem n — r.

Tratando agora do sistema em involução

*;. = «,. ( i = l , 2 , . . . , r < « ) ,

onde os ai são dados, formaremos um integral completo jun­

tando ao sistema proposto n — r equações

Fr+j = ar+j 0 ' = ! , . . . , n — r),

que constituam com as anteriores um sistema análogo a (8). As constantes ar + . serão arbitrárias.

Consideremos para isso o sistema linear e homogéneo w (*«•*) r ° (« = i,2,..., r),

onde a incógnita / será determinada em função dos x{ e dos^).

Necessitamos unicamente q u e / s e j a distinta de F}, F2, ... , F Este sistema é jacobiano, como resulta da identidade de POISSON

((*}■*}), f) ­I­ ((*}, f), F<) + ((f, Ft), Fj\ « 0

o do próprio sistema. Obtida uma solução Fr+l do (9), formamos o novo sistema jacobiano

o assim ató

( í i , n = 0 ( 1 = 1 , 2 , . . . , » • + ! ) ,

{Fitf)=0 (i = l, 2, . . . , « ­ !

Finalmente liá que encontrar o integral geral do sistema

^ = ai . Fr+j = ar+j' /■="«• ( i = l , 2 , . .. , , ­ ) , 0 = 1, 2, . . . , M ­ r ­ 1 ) .

Para as aplicações à integração dos sistemas canónicos tomos de supor r = l . Consideremos então o caso de em (8) somente a^x ter u m valor determinado. A função <I» satisfaz à relação

Ó²(P

da,, da­j * o ^{» =} 2 , 3 , . . . , «

. 7 = 2 , 3 n.

Na verdade, dados x0 e pQ) podemos supor q u ey \ ó a única quan­

tidade a doterminar compativelmente. Como as relações

■í» = °.

doterminam a² aⁿ, a demonstração ó imediata.

9. Separação de variáveis.—Posto o resultado geral pre­

cedente, vamos tratar um caso notável, devido a S T À C K E L , no qual se chega a formar efectivamente o integral completo por meio de quadraturas, usando dum método de separação do va­

riáveis.

Seja o determinante A= || <p..(y.) II (i, j=l, 2, ... , «), onde o elemento 'f(.. (de cruzamento da linha de ordem i e da coluna de ordem ;') depende unicamente de «., e consideremos um sis- tema 2' para o qual é

2T=

Í~

%

---

Í^' U=--<í>

V

^<t>

U

...+'3>

U

,

onde <I>t. representa o reciproco do elemento tpn. e Uk depende unicamente de qk. A equação de HAMILTON-JACOM pode escre- ver-se

. ( òW\ , íòWY

< = 1 k = l » = l

onde os x^ são constantes, para o que basta atender à defini- ção de ¢..

Procuremos um integral da forma

W=W

(q

)+W

(q

)+...-£W

(q

)

ÒW dWi

e ponhamos, por simplicidade. = = W,.

dq{ dq{

Vemos, imediatamente, que basta determinar W{ pela relação

n — 1 k = l

Para demonstrar agora que a função W é bem um integral com­

pleto, temos de verificar que é y'%0 (§ 7). Suporemos a esco­

lha feita dos <pcp dependente da condição ■—­ * 0 e que é 4 + 0.

A condição v' * 0 resulta da sua própria expressão:

dW'f i tu ■ • • ¥ l , M ­ l (J> A

dW'f

KK ■•■<­!

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< P » ­ 1 , 1 • • ­ ^ , , ­ 1 , , , ­ 1

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O caso do LlOUVlLLE, correspondente às hipóteses

2T= [ ^ ( 8 , ) + . . . + 4 , ( ¾ ) ] [5i(íi)«i' + . . . + S „ ( ^ ) « ; * ] ,

g_ ^ , ( g , ) + ­ . . + g,(g,)t

4, + 4 . + ... + 4,,

está incluído no anterior e será tratado adiante sob uma forma diferente.

Equivalência dinâmica. Princípio da menor acção

1. Generalidades. — E bem sabido que os desenvolvimen- tos taylorianos ilimitados se generalizam inteiramente às funções vectoriais. Partindo deste resultado, estabelece-se facilmente, por via de desenvolvimento em série, que, dada a forma quadrática definida positiva

du2 = Edu2 -f 2Fdu dv+G dv2,

-escrita à moda clássica, e pondo de parte as transformações métricas do espaço ordinário, existe uma infinidade de superfi- cies deste espaço admitindo aquele elemento linear. As diferen- tes superfícies têm a mesma métrica euclideana local e dizem-se isométricas.

Ao estabelecer-se tão importante proposição, fazem-so inter- vir relações onde figuram elementos do espaço no qual a super- fície so encontra mergulhada; todavia, ó possível eliminar a métrica externa. BOULIGAND (Leçons de Géométrie Vectorielle) -estuda directamente esta questão.

Anotemos a propósito que, se juntarmos ao elemento linear a forma métrica externa, continuando a pôr de parte simetrias e deslocamentos, determinamos uma única superfície, mediante condições do integrabilidade. (Vejam-se as nossas « Notas de Cál- culo Vectorial*).

Imaginemos agora um sistema - ' com dois graus de liber- dade, de força viva

2T=gu q'2 + 2p12 q\ q2 + g22 q'2 (gik indopondonto do tempo)

e solicitado por forças que realizam o trabalho virtual

d?, dq2

Se considerarmos um ponto, de massa unitária, móvel sem atrito- sobre uma superfície do elemento linear

(2) ds2 = g11 dq2 + 2,,12 dq, dq, + g" dq2,

e solicitado por forças realizando o mesmo trabalho virtual, os dois sistemas dinâmicos são regidos pelas mesmas equações de

LAGRANGE e dizem-se equivalentes. Na função de força pode figurar o tempo. Em tal caso, o campo escalar U, delinido sobre a superfície, 6 determinado em cada instante.

Adoptemos as notações de EGNELL (l'Ochématique, Gau- thier Villars et C.io). As componentes generalizadas da força são- dadas sob forma covariante

- ^ = R0 ihU, ^ = R mu,

dql 9 l dq2 ««

onde ikU é o gradianle de U sobre a superjicie. A funçSo U, que- figura em (1), necessita ser definida unicamente sobre a super- fície.

Este modo do interpretar o movimento é permanente, neste- sentido, que precisaremos adianto: dado um sistema S/, de n graus de liberdade, o seu movimento ó realizado polo do um ponto num determinado espaço. Tendo em vista quo o emprego do algoritmo»

de LAGRANGE 6 um cmétodo dos parâmetros omnibus» (Bou- LIGAND, Précis de Mécanique Rationnelle), percebe-so imediata-

mente que podemos tratar o elemento (2) pondo do parte o pro- blema concreto em estudo.

2. Transformação do elemento linear.—E sempre possível determinar duas funções de ponto, «, e Vj, tais que no elemento linear

rfs2 = Et du\ -\- 2í\ dux dvl + Gl dv\

os coeficientes de GrAUSS verifiquem duas relações arbitrárias distintas da relação y Ex G1 — F]2 = 0. Designando com 6 o ângulo

(AMii Ari)> a s duas relações podem escrever-se í", [(A»1)2.(A«'i)2.^o]=0,

(3)

Í J [ ( A W I ),. ( A « ' I ),. < » » M = 0 ,

para o que basta atender às relações (EGNELL)

B = (A'-i)2 f G = ( A " i )2 r

-' (AWi)?ÍA«?i)'^-(A«i*-A,'i)'' ' ( A «1)2( A í ' , )í ^- ( A « I « A « ' l ): i ,

- A"i • A"i ( A » i )! !( A ',i )1 !- ( A ' « iíA ' ' i )

Podemos dar a (3) a forma

(4) ( A " i )2= f [ ( A " i ) - ] , n»0=ff[(A«l)*], donde se deduz a igualdade

A"! ,0 A»i

= e

■entre dois vectores unitários. Deste modo será

Conhecida uma função ult que satisfaça a esta equação às deri­

vadas parciais, a primeira equação (4) define vr Na hipótese de

ser Q = —, as coordenadas «,, vi são rectangulares e a equação

anterior toma a forma

Tratemos como aplicação o caso particular importante que corresponde às relaçOes

( A » i ) * = ( A « i ) * . 6 = 1:/2.

O beltramiano de ul 6 nulo; e sendo /ivl — i£ul, ó igualmente nulo o beltramiano de vl. O elemento linear tomará a forma ãs = E1(du1' ­+­ dv~) o os parâmetros ult t>, dizem­se isotérmicos.

Conhecido um sistema de parâmetros, obtóm­se facilmente o sis­

tema geral.

Seja (u, v) o sistema conhecido. Se <p 6 uma coordenada do sistema geral, é uma função harmónica; e se considerarmos a função harmónica conjugada <j>, as igualdades

da , do àu àv

. <M . M

ou àv

levam à relação £ $ ~ ' A?­

O elemento linear pode ser expresso pela igualdade ds —

= Edu -\-Qdv e o sistema (u, v) ser isotérmico. É necessário e basta que seja E/G = 0(u)/z(v), onde 6 e r. sSo duas funções quaisquer. Que a condição é necessária vê-se imediatamente.

Para mostrar que ó suficiente, ponhamos

"1 = j V 0(") du> vi = J V *(«0 dv-

Vem logo

0(„)V » » l

Dado um sistema (u, v), as curvas <p(w, i>) = constante fazem parte dum sistema isotérmico so existe uma função 0(<p) tal que seja A" 0 = 0. E como ó

* „ • M » \ rf2° . .2 . rfO | A 0 = A ' T~AT = T T ( A ? ) + —A«P. \ rf'f / rftp rf<p

vê-se que a razão - deve ser unicamente função de ». Esta condição ó suficiente, porque a igualdade

rt20/rf<f>2 : dOld<f = - A²<P/( Af)2

determina 0 de sorte que ó A 0 = 0.

3. Caso de Integrabilidade de Liouville. — Seja uma super- fície de LIOUVILLE, isto ó, roalizando a força viva de LlOUVILLE

Os parâmetros qv q2 são isotérmicos, de modo que podemos i ginar sempre a força viva sob a forma

2ï'=[e

(

) + H

(

)](^

^

.

Na ausência de solicitação, as equações de LAGRANGE são

Fazendo intervir o integral das forças vivas (8, + 82) (qf -f qr) = 2hr

deduzimos

onde a. è constante. Verifica-se, de resto, que é a, = - «,. A inte- gração ultima-se por quadraturas, escrevendo

'fy '!<].. dt

i - i = rf"'

V 2/iHi + °i V 2/<«2 - a, B, + H2

onde u è uma variável auxiliar.

4. Princípio da menor acção.—Na Mecânica Racional de

LEVI-OIVITA encontra-se demonstrada uma fórmula variacional devida a HOLDER, aplicável mesmo aos sistemas não holónoraos, da qual se deduz imodiatamonto o princípio da acção estacioná- ria. O aspecto dôslo princípio no caso dos sistemas 2' constitui o principio da menor acção.

de,

= - ^ + ¾2).

àq2

E fácil resumir a exposição do LEVI­CIVITA. Dado o movimento natu­

ral M dum sistema, dofine­so um movimento assíncrono Ma, fazendo cor­

responder à posição P. do sistema, cm M, a posiçfio P{ + 8P(., em M . Ao mesmo tempo os instantes correspondentes sorfto, respectivamente, t e t , sondo ta — t­\­it. Na passagem do M para Ma, uma funçSo <I> do tempo e da posiçSo do sistema sofro uma variaçSo ò**!1, que é idêntica à variaçflo 5<I> obtida na passagem de M a um movimento síncrono Ma (do trajectó­

ria idêntica à de Ma) quando <1> não depende do tempo. Para ao ver o quo sucedo no caso geral, tomomos, por exemplo, a velocidade v, dum ponto do P . . . É

j » . rfCPH­òP,.) dPjdt + dCoP^/dt dU

dt + dit = " x + du,dt =v. ­v. ­r f7 + o v"

ou seja

Dêsto modo temos

■v* ,. dtt

JV

S * 2 ' = 8 2 ' ­ y >»,ví — St = 5 2 ' ­ 2 2 ' — 5í;

Li * * dt dt

« = i

o o princípio do HAMILTON leva a escrever a igualdado

S

dt

Uma limitação da lei temporal sobre Ma nSo restringe as trajectórias com­

paradas, quo continuam a sor arbitrárias, contanto que sojam compatí­

veis com as ligaçõos. Os movimentos Ma dizom­so isoenevgétkos quando ó 6 T= L1, igualdado quo definirá a funçHo ot, desde quo os SP,­ sojam deter­

minados. Para tais movimentos, a relaçilo anterior dá

C 2 ( 5 * 2 ' + 2 ' — Zt)dt = f1 S*(22WÍ) = 0.

J i dt J t

'o lo

Diz­so acção o integral A = I 22WÍ. A fórmula do HOLDER ó expressa 'o

pela igualdado o A : = 0 , quo ó nflo sòmcnto necossária mas ainda 8it/iciente

para caracterizar o movimento natural em confronto com os movimentos varia- dos assíncronos isoenergéticos.

Notemos quo a dosignaçfio do movimentos isoonorgéticos provém do que, na hipótese de existir uma funçSo do força U, indopondento do tempo, elos são caracterizados pela rolaçfio 8* ( T— U) = 0.

Tratemos a questão directamente e partamos do integral das forças vivas T=U+h. Atribuindo à constante h am valor determinado, vamos mostrar que, se compararmos o movimento natural, que leva o sistema do ponto M0{ql°, q2°) ao ponto

^ M í i i it) n u m intervalo de tempo conhecido, com os movi- mentos variados virtuais que, no mesmo tempo o para o mesmo valor de h, levam o sistema da mesma configuração inicial à mesma configuração final, o movimento natural realiza as con- dições extremais de primeira ordem do integral

A=í ' V U+hds,

J M

chamado acção de Af0 a Ml ao longo da trajectória.

Como U é independente do tempo e ds ê o elemento linear do superfície, o integral A tem um carácter geométrico.

Determinemos as trajectórias pondo íi = ?(V), j , = <p(X),

onde X. ó uma função do parâmetro privilegiado /. Ponhamos dqt . dq2

~dk = 5l ' ~inT ~ 5s ' e e s c r o v a m o s ° integral A sob a forma A=\ * V í/' + A V» dl,

pondo, para abreviar, 9 = g11 q* + 2g12 qx q2 4 g22 q.2.

(1) Pondo do parto a constante 4, esta doíiniolto ostá contida na defi- nição geral anterior.

As condições extremais do nosso integral são

PJL V»(ff + h) 1 -J- Ve (U+1,) = 0,

L oq, J d?,

-^\~yJe(u+h)]-±yJtí(u+h)=o.

dk L òq., 1 dq2

d_

dl (5)

É fácil ver que são as equações de LAGRANGE, depois de feita a mudança de variável independente. Tomos, por exemplo,

rft WH / d⁵ⁱ dg, rft dg, A?, \dt ) de sorte que a primeira equação de LAGRANGE

d_

dl

(àT\ àT _ dU

\ dg< J djj d^9l dá imediatamente

d_ í òe^dX\ d\_ à8_ í dl\2_ 0 ÒU dl \ dg, dt ) dt dg^t \dt)~" dq^l ' ou, tendo era vista que è \ 2 (Z7+ /i) = \ Q —, ã&

,u

d\

ou

-\\l

ÈÊ. I - A / ^ +

^.—A/

— = o

d / U+h dH\ 1 dé d(Z7+/íf|

— - . - — | (U + h) + 8 — l = 0r

que ó a primeira equução (5).

No caso do sor U=0, a trajectória natural entro dois pontos realiza as condiçOos extremais do comprimento de arco-

de curva da superfície. As trajectórias correspondentes a um valor de h (feixe) tornam-se independentes de h; o número total de parâmetros baixa de uma unidade. Sobre cada trajectória -é possível uma infinidade do movimentos, os quais correspondem aos diferentes valores atribuídos a h.

A propriedade extremai a que acabamos de aludir caracte- riza as linhas geodésicas da superfície; e, portanto, se não há forças activas, a acção ó efectivamente mínima (polo menos quando os deslocamontos do sistema são suficientemente peque- nos). E o que demonstraremos para o caso geral.

Para verificar o princípio da menor acção, no caso de ser U$0, basta notar que a superfície de elemento linear <7o* =

= {U+h)ds" (onde h tem um valor determinado) realiza as tra- jectórias pelas suas geodésicas. Ê^te raciocínio poo igualmente

em evidência a intervenção do parâmetro h. Conhecida uma tra- jectória, a lei do movimento é geralmente determinada.

5. Regresso ao caso de Liouville. Transformação de Dar- boux. — Se existe uma função de força de LIOUVILLE

r_ P i ( 9 i ) + q,(q,)

somos levados a procurar as geodésicas do elemento

rfo2= [ ( r , + ft At) + (U.2 + ft A,) ] (B, dq* + Btdqt*), que ó um elemento do LIOUVILLE.

Para dar a transformação de DARBOUX, consideremos o novo sistema para o qual o ds* ó da forma (aU+$)ds2 e a função de força ó do tipo i——-. As trajectórias são as geodésicas do

aU+ p elemento

da* -( T + ahi) (U+ - — -) dê*

•e coincidem com as do primeiro sistema pondo h = ^1 + "■. Ao

a/ij ­\­ f

feixe h = a corresponderá o feixe \ = av onde a e a, se corres­

pondem pela relação anterior.

Passemos aos sistemas com n graus de liberdade, para o que

•começaremos por lembrar certos resultados da geometria de

KlEMANN.

6. Deslocamento paralelo e derivação absoluta. — AVEYL

■(Temps, Espace, Matière, tradução francesa de JUVET) apresenta a teoria do deslocamento paralelo do modo que vai seguir­se e que é reproduzido por BOULIGAND na < Géométrie Vectorielle».

Dada uma multiplicidade riemanniana Bn, façamos corres­

ponder ao vector contra variante £., ligado ao ponto M, o vector Ç,­ + rf?,. ligado ao ponto M' infinitamente vizinho daquele. Supo­

nhamos linear essa correspondência e redutível à transformação idêntica quando M' tende para M. Poremos

<

) <~rj%*>, «

subentendendo os índices mudos r, s, como sempre faremos. Se fôr possível paramétrai' a multiplicidade de modo a anular em M as funções de ponto F," (símbolos de CHRISTOFFEL de 2." espé­

cie), diremos tratar­so dum deslocamento paralelo. Esta defini­

ção implica a simetria de d£. com respeito a Í/M e ?,.. Na ver­

dade, se a transformação

xi = Ti(xl,xi!,...,xn)

leva de £,. a £,. de modo que seja dÊ. = 0, da relação E. »—*.&■

deduzimos

drfcàrA K * '

(1) ' i . •••>•'„ s«o na cooriloundns do ospnço. Vojam­so GrALBBUM (Introduction <t la théorie de la Relativité) a SCIPIAO DE CAIIVALIIO (AS cur­

vaturas das linhas num espaço riemanniano).

que traduz a simetria apontada. Doutro lado, se é

1 i — L i '

procuremos n funções x.{x^lt . . ., x^H) de modo que seja

dxk (0 se (i * It), àxrdxg

Da relação

Ar,­ . o x,

tendo em vista (6), deduz­se ^ = 0.

WEYL, postula em seguida que os produtos escalares nãc­

são alterados pelo deslocamento paralelo. Nessas condições, o deslocamento é unívoco e uma simples diferenciação dum pro­

duto escalar leva à determinação dos símbolos de CHRISTOFFEL.

Introduzindo os símbolos de 1.' espécie pelas igualdades V '

^g^V", temos as relações conhecidas 1 /df dgka dg' 2 \ Ar. A»_ òx^k J Ò mesmo postulado leva também às igualdades

e a definição de tensores por oposição permite estabelecer a fór­

mula geral da derivação covariante

»,».>■■■ >qt r,r9­<­r„ *­, », « a " '8, , „ • '

r

i

»­

P [ y t*ri r

ÒX. fcJ « ^ r , ••• rv_ , í rv , t ••• r rv = »"i

"</

*1 «2 ••• * v _ i ' * v + I " ' 'q . , " v ' ' l

»v — ' i

Ë fácil definir agora a derivação absoluta. Nesta opera- ção passa-se dum tensor de certa ordem para outro tensor da mesma ordem, para o que bastará efectuar o produto contraído do tensor obtido na derivação covariante pelo vector unitário dxt

— . E o que representaremos com igualdades como a seguinte da

.rf*.

n Jm Jm$"us /m».

onde A significa a direcção da diferenciação definida pelo vector unitário $s.

Seja \fss-— um vector obtido supondo as coordenadas xl,...,xH funções dum parâmetro t, A derivada absoluta do vector \. em ordem ao mesmo parâmetro ó o vector

dxm dl i dx„ dx, ' * dt dt ' dt dt

Opera-se assim a passagem da velocidade para a aceleração.

7. Ponto móvel num espaço de Riemann. — Imaginomos, conforme uma generalização evidente, uma função de força U definida em liH. Um ponto móvel de massa unitária desloca-se na multiplicidade sob a acção da força que deriva de U quando a aceleração 6 idêntica ao gradiante de U. As equações do movi- mento serão pois

i ÒU li = — ,

ox{

ou, desenvolvendo e substituindo x. por q{ para conformidade de notaçOes com o que vai seguir-se,

O algoritmo de LAGRANGE 6 aplicável. Pondo cora efeito

dl \ dq'i ) òq( d^ dl dt

vamos verificar que ó P —Y- . E

; 1 dan ; d*q,. ' i fògis ògir dgr'\

ai

Este resultado mostra bem a equivalência entre o movi- mento dum sistema material 2 e o dum ponto num espaço de RIEM ANN. Dada a força viva 2T = g'kq'iqlk, 6 sobre a variedade d./ = gikdqidqkqvLe é realizável o movimento.

Para demonstrar o princípio da menor acção temos de reco- nhecer a propriedade do mínimo nas linhas geodésicas dum Bn. O estudo destas curvas pode fazer-se, como no espaço ordinário, pela comparação de arcos variados da multiplicidade.

8. Variação do comprimento dum arco de curva. Linhas geodésicas. — Comecemos por uma nota preliminar: se o ponto M da variedade é função do dois parâmetros 0 e t, a derivada abso- luta D- — ó i"ual a Do — . O valor comum das derivadas é na

w dO dz

verdade

d2a;. dx, òx.

dOdx ' dO d-

Para estudar agora a variação do integral

-i:v(f)

suporemos o ponto M1 função não só do arco s mas ainda dum parâmetro X tal que a família de curvas definidas fazendo variar X reproduza a curva inicial quando X = 0. A derivação de L' em ordem a X obtém-se anotando que a derivação abso- luta dum escalar coincido com a derivação ordinária e que a derivação absoluta dum produto escalar segue a regra ordi- nária da derivação dum produto. Temos assim

-f ^A WS?) -SM")h

onde A e B representam os pontos extremos do arco inicial.

E deduz-se

(8) í C a i u / ^ T á ^ T i K - f n

(*™-\m<h,

onde T ó o tangente da curva e oM é o vector que defino o ponto variado do ponto inicial M.

Como em geometria euclideana, as linhas geodésicas são as curvas para as quais o termo integral desaparece. Ao longo delas é nulo o vector Ds ( -— j, o que podemos ainda exprimir dizendo que o vector unitário tangente se desloca paralelamente.

O sistema diferencial das linhas geodésicas será assim

.. dx• rhk

as ds (»)

(f x, dx, dxk

(h- J ds ds

devendo considerar-so i o h como índices mudos e escrever-se n equações semelhantes à segunda o correspondentes aos diferen-

tes valores do indico /. As equações anteriores não são todas dis- tintas. Derivando a primeira, lemos

dg* dx, dxk .k d-x{ dxk dxt dixk_ ds da ds ds ds ds ds ou, por uma coordenação de índices,

(

que ó uma identidade.

O teorema de ^OAUCHY mostra que em cada ponto passa uma geodésica tangente a uma direcção, mas os valores iniciais de — devem satisfazer à primeira das equaçOes (9). Sendo, por dx-

ds

outro lado, invariante para a'mudança de s em s + C ( C = cons- tante arbitrária) o mesmo sistema (9), conclui-se que as geodé- sicas dependem de 2 n —2 parâmetros.

Posto isto, consideremos uma (n — 1) — variedade da multi- plicidade inicial o as geodésicas ortogonais correspondentes, que constituirão uma família a n — 1 parâmetros. Marcando um dado comprimento s sobre as diferentes geodésicas, a partir do ponto P da(«—1) — variedade, obtém-se uma nova (n—í) — variedade, que se diz paralela à primeira, por sor perpendicular às mesmas geo- désicas, como o mostra (8). Tomemos como coordenadas o arco s o os (n — 1) parâmetros que definem os pontos da (w — 1) — varie- dade inicial. Atendendo à definição do tensor fundamental, será r/M" = d*2-M'M2, onde d'M é ura vector infinitamente pequeno da variedade s = const. Concluímos daqui que a propriedade do mínimo é realizada pelas linhas geodésicas, polo menos numa região de Rn suficientemente pequena contendo a (n — 1) — varie- dade inicial.

9. Conclusfio. — Retomemos agora o sistema 2f com n graus de liberdade. Para cada valor da constante h das forças vivas,

o movimento natural entre duas configurações conhecidas realiza as condições extremais do integral rfo= I uU+hds, e o ponto representativo do movimento na multiplicidade ãa = (77+A)dí*

•descreve uma geodésica. Fica demonstrado completamente o princípio da menor acção e bem assim que a totalidade dos parâ­

metros de que dependem as trajectórias ó 2n —2 + l = 2w —1

■quando for U$0 e 2n — 2 quando íôr [ 7 = 0 .

A uma última conclusão nos levam as equações (7) e (9):

quando fôr 17=0, as linhas geodésicas são percorridas com movi­

mento uniforme.

Estabilidade. Os dois métodos de Liapounoff

1. Generalidades. — É bera conhecido o teorema de LA- GRANGE sobre a estabilidade do equilíbrio. Diz o teorema que, dado um sistema £', 6 estável toda a posição de equilíbrio que confere à função de força um máximo no sentido estrito (Veja-se APPELL, Mécanique Rationnelle). A proposição recíproca tem sido demonstrada parcialmente. Neste capítulo referir-nos-emos aos resultados dados por LlAPOUNOFF na sua importante memória

*Sur l'instabilité de l'équilibre dans certains cas où la jonction des forces n'est pas un maximum», publicada no « Journal de Jordan *.

O primeiro método de LIAPOUNOFF ó baseado na conside- ração das soluções assintóticas de certas equações diferenciais,, soluções que foram introduzidas pelo eminente matemático russo e por PoiNCARÉ. Trataremos a questSo com EMILE PICARJ>

(Traité d'Analyse), desenvolvendo convenientemente a análise a empregar. O segundo método será tratado tendo em vista a memória citada e a exposição feita por E. GOURSAT no seu

'Cours d'Analyse».

2. Nota preliminar. — Sejam os p números inteiros e posi- tivos wi,, ma, . . . , m e as quantidades reais ou imaginárias

\ , \ , . . ., X}).

(jEm que condiçOos sorá do módulo superior a um número

. . ^i(>»i—l) + X„»i.,-t-... 4-X IH

conveniente (não nulo) o cociente a = ——-— \ P P t