Este trabalho é uma pesquisa sobre os três problemas clássicos da geometria (duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo) cujo objetivo é Para atingir o objetivo especificado, desenvolvemos os conceitos de anéis, corpos, polinômios e extensões de campo para apresentar o conceito de números construtíveis e observamos mais de perto as três técnicas clássicas de problemas para apresentar demonstrações de impossibilidades clássicas. Devido a esta importância, os três problemas ficaram conhecidos como “os três problemas clássicos da geometria”.
Ainda do mesmo autor, apenas no século XIX se teve conhecimento da evidência de que seria impossível construir utilizando uma régua não graduada e medir os três problemas mencionados. No Capítulo 6, serão desenvolvidas demonstrações das impossibilidades dos três problemas de geometria clássica utilizando os conceitos desenvolvidos nos capítulos anteriores.
Anel
- Anel comutativo
- Anel com unidade
- Dom´ınio de Integridade
- Subanel
O conjunto de matrizes quadradas de ordem n com entradas em R (Mn(R)) definidas pelas operações usuais é um exemplo de anel unitário no qual não é comutativo. Observe que, se A é um anel e B é um subanel de A, temos como resultado da Proposição 2.1.1 e da existência do elemento oposto em B, que o elemento neutro aditivo de B é o mesmo que aquele de A. . Se B é um subanel de A, segue-se que B é fechado para operações de adição e multiplicação de A e B preserva a estrutura do anel.
Corpo
Subcorpo
Dizemos que L é um subcorpo de K se L for fechado para K operações e L preservar a estrutura do corpo. Assim como os subanéis, um corpo Q, além de ser um subanel de R, é um subcampo de R. Observe que se K é um corpo e L é um subcampo de Kent, então, por definição, os resultados das Proposições 2.1.1 e 2.1. 4, e a existência de inversos e opostos em L segue-se que a unidade e o elemento neutro aditivo de L coincidem com os de K.
Se L é um subcampo de K, então L é fechado para operações de adição e multiplicação em K e preserva a estrutura do campo.
Ideais e homomorfismos
- A noc¸ ˜ao de ideal
- Ideais gerados por um n ´umero finito de elementos
- Anel quociente
- Homomorfismo de An ´eis
Se S =< a1 >, ou seja, gerado por um único elemento, esse ideal é chamado de ideal principal de A. Optamos por apresentar apenas os resultados mais importantes deste tópico e indicaremos as referências onde o leitor poderá encontrar essas demonstrações. Outras demonstrações acontecerão no decorrer do trabalho, das quais citaremos apenas as referências.
Nessas condições, se f é bijetivo, então f é dito um isomorfismo de anel. Observe que, além dessa função ser um homomorfismo, ela também é um isomorfismo. Portanto, concluímos que f é um homomorfismo de anel bijetivo, ou seja, um isomorfismo.
Observe que dois anéis isomórficos diferem apenas nos nomes de seus elementos e operações. Essencialmente, eles são o mesmo anel e cada um deles pode ser considerado uma “cópia” um do outro. Portanto, quando dizemos que “R ⊂C”, o que na verdade está acontecendo é um isomorfismo representado pela função log.
Divisibilidade em Z
Além das definições básicas de polinômios, apresentamos também o algoritmo de divisão em K[x], os polinômios irredutíveis e o critério de Eisenstein para verificação de irredutibilidade. Estes conceitos serão de grande importância para a construção da teoria da extensão corporal e para as provas de impossibilidades clássicas.
Polin ˆomio Constante e Polin ˆomio Identicamente Nulo
O polinômio em que o coeficiente do maior grau é igual à unidade é chamado de polinômio mônico.
An ´eis de Polin ˆomios
Divisibilidade em K [x]
Ideais em K [x]
Polin ˆomios Irredut´ıveis
Para mostrar que f(x) é irredutível sobre Q pelo Lema 3.2.1, basta provar que f(x) é irredutível sobre Z. Existem polinômios que são irredutíveis em Q, mas inicialmente não satisfazem o critério. Portanto, observando os casos possíveis vemos que q não satisfaz diretamente o critério de Eisenstein.
Neste capítulo, discutiremos os conceitos básicos de expansão de campo, como números algébricos, números transcendentais, expansão algébrica e grau de expansão. Os conceitos discutidos aqui serão muito importantes para mostrar as impossibilidades clássicas, especialmente o Teorema 4.4.2, que.
N ´umeros alg ´ebricos e transcedentes
Polin ˆomio Minimal
O corpo K [α]
Agora, com os resultados obtidos no Teorema acima e pelo Teorema 2.3.1, podemos concluir que K[θ] é um corpo. O campo K[θ] também pode ser usado para obter expansões adicionais como segue nos exemplos abaixo.
Grau de uma Extens ˜ao
O número de elementos de cada base de V é chamado de dimensão de V (notação: dimV). Diz-se também, neste caso, que V é um espaço de dimensão até o fim. Teorema da Invariância) Seja V um espaço vetorial n-dimensional, então toda base de V possui elementos. Voltando ao estudo das extensões, vamos definir o conceito de grau de extensão.
Se o grau de uma extensão E for finito, ela é chamada de extensão finita. Para concretizar esta relação é necessário estudar as construções com régua e compasso não graduados e os números construtíveis para que possamos avaliar com mais cuidado os teoremas dos problemas clássicos e demonstrar as impossibilidades. As construções que utilizavam linha reta e compasso seguiam regras rígidas, definidas pelos antigos geômetras gregos, que deveriam ser seguidas em todas as construções.
As construções presumiam que círculos e retas também poderiam ser dados e que a inclusão de novos pontos (adicionados ao conjunto inicial P) e outros objetos geométricos não poderiam ser adicionados arbitrariamente ou durante a construção. Para tanto, foram permitidas uma série de operações com régua (graduação) e compasso, as chamadas operações básicas com régua e compasso, que definiremos a seguir. i) Dados dois pontos podemos traçar uma linha reta que passa pelos dois pontos e estendê-la em ambas as direções até o infinito. ii) Dados dois pontos podemos traçar a linha reta que liga os dois pontos. iii). As construções foram as mais diversas, desde a construção de retas paralelas até a construção de segmentos proporcionais.
Na próxima seção apresentaremos algumas construções elementares com régua e compasso.
Construc¸ ˜oes elementares
- Construc¸ ˜ao de retas paralelas
- Construc¸ ˜ao do ˆangulo de 60 graus
- Construc¸ ˜ao da Bissecc¸ ˜ao de um ˆangulo
- Teorema de Tales
- Adic¸ ˜ao, produto e quociente
- Construindo uma soma
- Construindo um produto e um quociente
- Construindo ra´ızes quadradas
Desenhe um círculo centrado em AraioAB, depois com o mesmo raio desenhe um círculo centrado em B. Dado um ângulo com o vértice em A, construa uma linha que divida o ângulo em duas partes iguais. No entanto, veremos no próximo capítulo que nenhum ângulo pode ser trissectado.
Dada uma reta e um segmento de reta AB = 1aboutr, podemos usar operações elementares para desenhar um círculo com centro B e raio AB, encontrando o ponto C 6=A como a intersecção da reta e do círculo ˆence, formando o segmentoAC de comprimento2 . Para encontrar um segmento de comprimento 3, basta repetir o procedimento, desenhar um círculo com centro C e raio AB, e encontrar o ponto D6=B como a intersecção da reta com o círculo contendo o segmentoAD de comprimento 3. Portanto, por meio de operações elementares de construção com régua e compasso, podemos construir uma circunferência de centro emB e raio CD, obtendo os pontos E e F, como intersecção da reta com centro da circunferência emB e raioCD.
De forma semelhante ao procedimento de construção 5.1.5.1, podemos construir segmentos cujas medidas são valores absolutos de produtos e quocientes de números reais. Sejam α e β números reais tais que α, β > 0 e α e β são as medidas dos segmentos, construa segmentos com medidas α · β e α. Então desenhe uma reta t passando pelos pontos C e B, depois construa uma reta paralela até passar por D.
Seja M o centro do segmento AC e construa um semicírculo com centro em M e diâmetro AC.
N ´umeros construt´ıveis
Corpo dos N ´umeros construt´ıveis
Assim, produzimos números reais positivos λ1, λ2 que satisfazem as hipóteses do Teorema 5.3.2. Portanto, concluímos que é construtível. É importante ressaltar que para atingir o objetivo dessas demos utilizamos todo o conteúdo desenvolvido até o momento no trabalho. Ao desenvolver esses testes, podemos perceber quantos resultados foram necessários para que as demonstrações pudessem ser desenvolvidas de forma simples, o que torna os três problemas clássicos de grande importância para o desenvolvimento da matemática.
Duplicac¸ ˜ao do Cubo
A construção de um cubo cujo volume é igual ao de um dado cubo resume-se à construção de arestas a ∈ CR e b ∈ CR tais que a3 = 2·b3.
Quadratura do C´ırculo
Noc¸ ˜oes de trigonometria
Observe que este valor de x representa o ângulo ∠QOP no triângulo 4OP Q, pois o triângulo em questão é um triângulo retângulo.
Trissecc¸ ˜ao do ˆ Angulo
E ainda, como enfatizamos durante o trabalho, esses problemas evidenciam a característica colaborativa da Matemática, ou seja, que a Matemática é uma ciência construída socialmente por diferentes pensadores ao longo da história. Do nosso ponto de vista, essa visão da Matemática deve ser discutida desde a Educação Básica, para que os alunos tenham a oportunidade de conhecer esse lado da Matemática. Por fim, enfatizamos que este trabalho pode ser utilizado para estudos futuros na área de Álgebra ou Geometria, ou mesmo para apresentar aos alunos de Matemática ou professores de Matemática já atuantes a rica teoria que envolve os três problemas clássicos da Geometria.
Ainda, como indicador de pesquisas futuras, destacamos o desenvolvimento de atividades para a educação básica que incluam os três problemas clássicos, uma vez que segundo a Base Nacional Comum Curricular (2019) uma das competências específicas da disciplina de matemática no ensino fundamental consiste de conhecer a matemática como ciência humana resultante de necessidades e transformações históricas. Reconhecer que a matemática é uma ciência humana, resultado das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para a solução de problemas científicos e tecnológicos e para o apoio a descobertas e construções, incluindo impactos no mundo. de trabalho. Deste ponto de vista, é necessário desenvolver diferentes propostas que revelem esta característica da matemática aos alunos.
Extensões de campo e os três problemas clássicos de construção matemática. Como cada coeficiente de profundidade é elemento de K e K é um corpo, existe um elemento neutro para a operação de adição usual. Como cada coeficiente de fixação é um elemento de K, eK é um corpo, portanto existe o elemento oposto.
Portanto, como os coeficientes dep, q e f são elementos de K, que é um corpo, segue-se que distributivo e associativo são válidos para elementos de K.
